Tercera Ley de Kepler (órbitas elípticas en general)

[QED]

Como ya fue demostrado en la segunda ley de kepler, para toda orbita descripta por un cuerpo como consecuencia de una fuerza central vale que:

$$A=\dfrac{L}{2m}t$$

Siendo que ya se demostro que que toda orbita producto de la fuerza gravitatoria es eliptica, podemos aplicar dicha relacion para esa forma en particular.
El area barrida al haber transcurrido un tiempo $T$ igual al periodo, sera el area de toda la elipse, ya que por definicion de periodo este es el tiempo que tarda el cuerpo en volver al mismo estado, y siendo que el cuerpo transcribe una orbita eliptica, es necesario que para volver al mismo estado recorra todo el perimetro de la elipse, o lo que es lo mismo, que el radiovector barra todo el area.
Como el area de la elipse es $A=ab\pi$, siendo $a$ el semieje mayor y $b$ el semieje menor, por lo ya dicho vale:

$$ab\pi=\dfrac{L}{2m}T$$

El momento angular $L=rmv \sin \alpha$ se mantiene constante (ver demostracion de la segunda ley de Kepler), y por lo tanto su valor es el que tenga en cualquiera de las posiciones que puede tomar. Tomemos el valor de $L$ en el apoastro, en donde entre el vector posicion y el vector velocidad hay [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Si llamamos $c$ a la distancia focal:

$$ab\pi=\dfrac{(a+c)v}{2}T$$

Despejando el periodo y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

$$T^2=\dfrac{4\pi^2a^2b^2}{(a+c)^2v^2}$$

Por otro lado, como sabemos que el momento angular es constante, podemos hallar la relacion entre las velocidades en el apoastro y en el periastro, posiciones en las cuales el vector posicion es perpendicular al vector velocidad:

$$(a+c)v=(a-c)v_1$$

Siendo $v_1$ la velocidad en el periastro.
Despejando $v_1$:

$$v_1=\dfrac{(a+c)v}{a-c}$$

Tambien podemos notar la relacion entre la energia cinetica y la energia potencial en cada una de estas posiciones, planteando la conservacion de la energia mecanica (ya que es un sistema cerrado):

$$\dfrac 12 mv^2-\dfrac{GMm}{a+c}=\dfrac 12 m v^2_1-\dfrac{GMm}{a-c}$$

Entonces:

$$\dfrac 12 (v^2-v^2_1)=GM\left(\dfrac 1{a+c}-\dfrac 1{a-c}\right)$$

Operando y sustituyendo por su expresion equivalente:

$$\dfrac 12 \left[v^2-v^2\dfrac{(a+c)^2}{(a-c)^2}\right]=GM\left[\dfrac{a-c-(a+<br /> c)}{(a+c)(a-c)}\right]$$

En la parte izquierda de la igualdad, sacamos factor comun $v^2$ y calculamos la expresion que queda entre parentesis:

$$\dfrac{v^2}2 \cdot \dfrac{(a-c)^2-(a+c)^2}{(a-c)^2}=-\dfrac{2GMc}{(a+c)(a-c)}$$

Despejando $v^2$:

$$v^2=\dfrac{-2GMc\left[2(a-c)^2\right]}{(a+c)(a-c)[(a-c)^2-(a+c)^2]}=-\dfrac{4GMc(a-c)}{(a+c)[(a-c)^2-(a+c)^2]}$$

Por el binomio de Newton sabemos:

$$(a-c)^2-(a+c)^2=a^2-2ac+c^2-a^2-2ac-c^2=-4ac$$

Entonces

$$v^2=\dfrac{-4GMc(a-c)}{-4ac(a+c)}=\dfrac{GM(a-c)}{a(a+c)}$$

Sustituyendo este valor en (4):

$$T^2=\dfrac{4\pi^2a^2b}{(a+c)^2\cdot \dfrac{GM(a-c)}{a(a+c)}}$$

Simplificando y haciendo la división:

$$T^2=\dfrac{4\pi^2a^3b^2}{GM(a+c)(a-c)}$$

como para todo $x,y$ se cumple $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ (diferencia de cuadrados)

$$T^2=\dfrac{4\pi^2a^3b^2}{GM(a^2-c^2)}$$

Valiendo para la elipse (por el teorema de pitagoras) $a^2=b^2+c^2$, y por lo tanto $a^2-c^2=b^2$

$$T^2=\dfrac{4\pi^2a^3b^2}{GMb^2}$$

Por lo que se concluye que:

$$\boxed{T^2=\dfrac{4\pi^2 a^3}{GM}}$$

Que es la tercera ley de Kepler

Subdemostraciones:

• Ecuacion del area de la elipse.

Demostraciones relacionadas:

• Primera ley de Kepler
• Demostración de la 2ª ley de Kepler.
• Tercera ley de kepler (orbitas circulares)