Demostración de la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares

[QED]

Las leyes de Kepler son las siguientes:

1ª Ley de Kepler

Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que está ubicado en uno de los focos de la elipse.

2ª Ley de Kepler

El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

3ª Ley de Kepler

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales al cubo de su distancia media que los separa del Sol:

$$T^2 = Kr^3$$

Nota: Ésta ley no es válida únicamente para los planetas del Sistema Solar sino para cualquier satélite que orbite alrededor de su cuerpo principal ( ejemplos: la Luna respecto la tierra, Titán respecto Saturno, un satélite geoestacionario respecto la Tierra, etc ).


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Y a continuación realizaré la demostración de la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares:

La aproximación que realizo ya está comentada y es considerar las órbitas de los planetas ( satélites ) circular, para ello tomaré la distancia media de los planetas respecto al Sol ( o satélites respecto a su cuerpo principal ). La demostración la abordaré para cualquier satélite no sólo el caso planetas-Sol.

La clave está en apreciar que la fuerza centrípeta de los satélites ( que como sabemos la expresión es $F_c = m\dfrac{v^2}{r}$ ) respecto al cuerpo que orbitan es la fuerza gravitatoria, por tanto:

$$F_c = F_g$$

Desarrollamos ( en módulo ) teniendo en cuenta a qué son iguales:

$$m\dfrac{v^2}{r} = G\dfrac{Mm}{r^2}$$

$$v^2 = G\dfrac{M}{r}$$

Siendo:

la constante de gravitación universal de valor $6,67 \cdot 10^{-11} N m^2 kg^{-2}$.
velocidad orbital del satélite.

Ahora bien tenemos en cuenta que la velocidad orbital del satélite también se puede expresar así:

$$v = \dfrac{2\pi r}{T}$$

Siendo el período de revolución del satélite.

Sustituimos (1.4) en (1.3), desarrollamos y aislamos el período:

$$\left ( \dfrac{2\pi r}{T} \right )^2 = G\dfrac{M}{r}$$

$$\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = G\dfrac{M}{r}$$

$$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G M}r^3$$

Y si hacemos que $K = \dfrac{4\pi^2}{G M}$ tenemos:

$$\boxed{T^2 = Kr^3}$$

Siendo $K$ una constante, que no varía si no cambiamos el cuerpo principal.


Vemos que (1.8) es igual a (1) por tanto ya está demostrado mediante la mecánica clásica.



Subdemostraciones de conceptos empleados en el hilo:

-Energía potencial gravitatoria.

-Fuerza centrípeta.


Demostraciones relacionadas:

-Primera ley de Kepler.

-Segunda ley de Kepler.

-Tercera ley de Kepler ( órbitas elípticas ).


Saludos

Muchas gracias, me sirvió