Procedamos a demostrar la siguiente afirmación:
Recordemos la definición de derivada :
En primer lugar procedamos a sustituir en la definición de derivada, por tanto:
Desarrollando:
Sacando factor común ( ) :
Bien, ahora vamos a suponer la siguiente igualdad:
Aplicaremos el logaritmo neperiano en ambos miembros de esta última expresión, por tanto:
Conociendo la propiedad de los logartimos que dice que:
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
Matemáticamente hablando lo podemos expresar como:
Matemáticamente hablando lo podemos expresar como:
Despejamos
Cuando tiende a 0, también tiende a 0.
Si sustituimos ( 6 ) ( 10 ) y ( 11 ) en ( 5 ):
Simplificando:
Aplicando la propiedad de los logaritmos ( 8 ):
Utilizando las propiedades de los límites:
ATENCIÓN: Recordemos que "e" se puede definir como:
O bien, mediante esta otra expresión:
Si se fijan, en ( 15 ) tenemos una expresión igual que ( 17 )
Por tanto:
Por tanto, queda demostrado que:
Ah, se me olvidaba. Hay un caso particular, el el cual la base es el número e. En este caso se aplicaría la misma fórmula [] , pero como el logartimo neperiano de e es 1, quedaría:
Por tanto al derivar obtenemos la misma expresión.
Espero que lo hayan entendido
Saludos
Esto es un error clamoroso. Invertir el exponente no es igual a invertir la base. De hecho,
No desconfío en que usted realmente sea estudiante de matemáticas puras, pero...
att: Camilo Calderon estudiante de matemáticas puras