Demostración de la derivada de una función exponencial

[QED]

Pues en este nuevo artículo me propongo demostrar las derivadas exponenciales. Sabemos que la derivada de una función exponencial es igual a dicha función por el logaritmo natural de de la base por la derivada del exponente de la función. Para el caso en el que el exponente sea x, como la derivada de x es 1, al multiplicarlo por este, el término no se altera, por tanto decimos que:

$$\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=a^x \Longrightarrow f'(x)=a^x \cdot \ln{a}}}$$

Procedamos a demostrar la siguiente afirmación:

Recordemos la definición de derivada :

$$\displaystyle \boxed{f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$$

En primer lugar procedamos a sustituir $\dst f(x)=a^x$ en la definición de derivada, por tanto:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{a^{x+\Delta x} - a^{x}}{\Delta x}$$

Desarrollando:

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{a^{x}\cdot a^{\Delta x} - a^{x}}{\Delta x}$$

Sacando factor común ( $a^x$ ) :

$$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{a^x\left({a^{\Delta x}-1} \right) }{\Delta x}$$

Bien, ahora vamos a suponer la siguiente igualdad:

$$a^{\Delta x}-1=t\; \Rightarrow \;a^{\Delta x}=t+1$$

Aplicaremos el logaritmo neperiano en ambos miembros de esta última expresión, por tanto:

$$\ln{a^{\Delta x}}=\ln{(t+1)}$$

Conociendo la propiedad de los logartimos que dice que:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
Matemáticamente hablando lo podemos expresar como:

$$\dst \log_{a} x^n = n \cdot \log_{a} x$$

Por tanto, desarrollando la ecuación ( 7 )

$$\Delta x \cdot \ln{a}=\ln{(t+1)}$$

Despejamos $\Delta x$

$$\Delta x=\frac{\ln{(t+1)}}{\ln{a}}$$

Cuando $\Delta x$ tiende a 0, $t$ también tiende a 0.

$$\dst \Delta x\to 0\;\; \Longrightarrow \;\; t \to a^0 -1 = 0\;\; \Longrightarrow \;\; t\to 0$$

Si sustituimos ( 6 ) ( 10 ) y ( 11 ) en ( 5 ):

$$\dst f'(x)=a^x \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{t}{\displaystyle\frac{\ln{(t+1)}}{\ln{a}}}$$

Simplificando:

$$\dst f'(x)=a^x \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{\ln{a}}{\frac{1}{t} \cdot \ln{(t+1)}}= \dst a^x \cdot\ln{a} \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{1}{\frac{1}{t} \cdot \ln{(t+1)}}$$

Aplicando la propiedad de los logaritmos ( 8 ):

$$\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot\lim_{t\to 0}\; \dst\frac{1}{ \ln{(t+1)^{1/t}}}$$

Utilizando las propiedades de los límites:

$$\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot \dst\frac{1}{\dst \ln{\lim_{t\to 0}\;(t+1)^{1/t}}}$$

ATENCIÓN: Recordemos que "e" se puede definir como:

$$\dst e=\lim_{n\to \infty}\; \left( {1+\frac{1}{n}} \right)^n$$

O bien, mediante esta otra expresión:

$$\dst e=\lim_{n\to 0} \; \left({1+n} \right)^{1/n}$$

Si se fijan, en ( 15 ) tenemos una expresión igual que ( 17 )

$$\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot \dst\frac{1}{\dst \ln \underbrace{{\lim_{t\to 0}\;(t+1)^{1/t}}}_{e}}$$

Por tanto:

$$\dst f'(x) = a^x \cdot\ln{a} \cdot\frac{1}{1}= a^x \cdot\ln{a}$$

Por tanto, queda demostrado que:

$$\boxed{\boxed{\text{Si}\; f(x)=a^x \Longrightarrow f'(x)=a^x \cdot \ln{a}}}$$

Ah, se me olvidaba. Hay un caso particular, el el cual la base es el número e. En este caso se aplicaría la misma fórmula [$f'(x)=a^x \cdot \ln{a}}}$] , pero como el logartimo neperiano de e es 1, quedaría:

$$f'(x)=e^x \cdot \ln{e}}}= e^x \cdot 1 = e^x$$

Por tanto al derivar $e^x$ obtenemos la misma expresión.

Espero que lo hayan entendido

Saludos

[pod]

Camilo, la propiedad que usted aplica es completamente incorrecta. Usted afirma:

$$(1+n)^{1/n} = \frac1{(1+n)^n} ,$$

Esto es un error clamoroso. Invertir el exponente no es igual a invertir la base. De hecho,

$$\frac1{(1+n)^n} = (1+n)^{-n} \neq (1+n)^{1/n}.$$

No desconfío en que usted realmente sea estudiante de matemáticas puras, pero...

que pena ... e cometido un error ... puesto q si desarrollamos la ecuación e = lim n ->0 de (1+n)^1/n por propiedades de potenciacion e= lim n-> 0 de la raiz n de (1 + n) lo cual es completamente distinto a (1+ 1/n)^n lo q en realidad es e ... ahora si ... no ce si comprenda mejor.
att: Camilo Calderon estudiante de matemáticas puras

[pod]

Camilo, el límite que hace angel es totalmente correcto. Compruebe este software matemático online: http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+n-%3E0%2C+%281%2Bn%29^%281%2Fn%29