Imposibilidad de la creación de pares electrón – positrón en el vacío

[Alriga]

Si un fotón gamma posee una energía superior a 1022 keV puede desintegrarse creando un par electrón – positrón, puesto que la masa mínima necesaria para crear a cada uno de ellos es de 511 keV. La carga eléctrica se conserva puesto que electrón y positrón tienen exactamente la misma, siendo la del electrón negativa y la del positrón positiva.

$\boldsymbol{ \gamma} \ \bold{\rightarrow \ e^{-} \ + \ e^{+}}$

Este mecanismo de producción de pares, que es la vía dominante de interacción de los fotones individuales de muy alta energía con la materia no puede darse en ausencia de ésta, pues como se va a demostrar a continuación, es imposible que en el vacío en una transformación como la descrita se conserven simultáneamente la energía y el momento lineal. (Tanto para la energía como para la cantidad de movimiento se van a utilizar las expresiones generales que proporciona la Relatividad Especial)

Para la demostración se va a usar el método del contrarrecíproco es decir, se va a demostrar que si se aceptan como premisas iniciales que la reacción tiene lugar en el vacío, conservándose energía y cantidad de movimiento, el desarrollo conduce a una contradicción.

ESTADO INICIAL

Fotón en el vacío que vamos a suponer que se desplaza en el eje x hacia la derecha

-Momento lineal inicial

Fotón: $\vec p_f=\dfrac{h \ \nu}{c} \ \vec i$

-Energía inicial

Fotón: $E_f= h \ \nu$


ESTADO FINAL.

El fotón ha desaparecido completamente creando:

-un electrón (1), que se desplaza en una dirección que forma un ángulo $\boldsymbol \theta$ hacia arriba con respecto del eje x.

-y un positrón (2), que se desplaza en una dirección que forma un ángulo $\boldsymbol \phi$ hacia abajo con respecto del eje x.

-Momento lineal final

Electrón: $\vec p_1=p_1 \cos \theta \ \vec i + p_1 \sin \theta \ \vec j$

Positrón: $\vec p_2=p_2 \cos \phi \ \vec i - p_2 \sin \phi \ \vec j$

$p_1 \ y \ p_2$ son respectivamente los módulos de los momentos lineales del electrón y del positrón. (Obsérvese que los nombres son intercambiables, es decir que $p_1$ puede ser el positrón y $p_2$ el electrón)

-Energía final

Electrón: $E_1=\sqrt{m^2 c^4 + p_1^2 c^2}$

Positrón: $E_2=\sqrt{m^2 c^4 + p_2^2 c^2}$


CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL

$$\vec p_f = \vec p_1 + \vec p_2$$

$$\dfrac{h \ \nu}{c} = p_1 \cos \theta + p_2 \cos \phi$$

$$0 = p_1 \sin \theta - p_2 \sin \phi$$

El valor matemático máximo posible del segundo miembro de la ecuación (2) se daría cuando $\cos \theta=1$ y al mismo tiempo $\cos \phi=1$ Ello permite deducir a partir de la ecuación (2) la siguiente desigualdad:

$$\boxed{\dfrac{h \ \nu}{c} \ \leq \ p_1 + p_2}$$

(Obsérvese que $p_1 \cos \theta + p_2 \cos \phi \ \leq \ p_1 + p_2$ es sólo la expresión de algo tan conocido como la desigualdad triangular, que afirma que la suma de módulos es mayor o igual que el módulo de la suma)

CONSERVACION DE LA ENERGIA

$h \ \nu = E_1 + E_2$

$(h \ \nu)^2 = (E_1 + E_2)^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 = 2m^2c^4+p_1^2c^2+p_2^2c^2+2E_1E_2$

$\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + \dfrac{2E_1 E_2}{c^2}$

$\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + \dfrac{2}{c^2}\sqrt{(m^2c^4+p_1^2c^2)(m^2c^4+p_2^2c^2)}$

$\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + 2\sqrt{p_1^2 p_2^2+p_1^2 m^2 c^2+p_2^2 m^2 c^2+m^4 c^4}$

En esta igualdad todos los sumandos del interior del radicando son no negativos con $m^4c^4$ mayor que cero, como también lo es $2 m^2 c^2$ lo que nos permite deducir rigurosamente la siguiente desigualdad estricta:

$\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 > p_1^2 + p_2^2 + 2 m^2c^2 + 2\sqrt{p_1^2 p_2^2}$

$\left (\dfrac{h \ \nu}{c}\right )^2 > p_1^2 + p_2^2 + 2 \ p_1 \ p_2 = (p_1 + p_2)^2$

Y finalmente, como todos los términos son positivos:

$$\boxed{\dfrac{h \ \nu}{c} > p_1 + p_2}$$

Las expresiones (4) y (5) expresan una contradicción matemática, lo que permite afirmar que es imposible que un fotón gamma, (aunque posea la suficiente energía), pueda crear en el vacío un par electrón – positrón respetando todas la leyes de conservación que se le aplican.

Evidentemente la misma demostración es aplicable para cualquier otro par partícula-antipartícula, por ejemplo pares protón-antiprotón. Solo hay que adjudicar a la masa "m" el valor correspondiente: 511 keV para electrones, 938 MeV para protones,...

Como resumen: La creación de pares reales partícula - antipartícula a partir de un fotón en el vacío es un acontecimiento que no sucede en la Naturaleza. La formación de pares a partir de fotones individuales solo puede acontecer en presencia de materia, cuya intervención es imprescindible para permitir la conservación simultánea de la Energía y de la Cantidad de Movimiento.

Título en inglés: Proof that pair production is not possible in vacuum. (Proof that pair production is not possible in empty space)

En el ámbito del estudio de las interacciones de la radiación con la materia, una vía argumental muy similar a ésta se utilizó aquí ( Interacción fotón – electrón ) para demostrar que los electrones libres no pueden absorber fotones.

Otros artículos del mismo autor en La web de Física

[Alriga]

... Si no estoy equivocado es debido a la conservación del momento angular, ¿no? ...

Sí, así es. Perdona, no había leído bien lo que decías: debido a la conservación del momento LINEAL, (cantidad de movimiento), no momento angular

... la causa debe ser el electromagnetismo, ¿no?. Si fueran bolas de billar rebotarían ...

Sí. La Electrodinámica Cuántica (QED) es la que explica que un electrón y un positrón interaccionan desapareciendo ambos, y dando lugar a una pareja de fotones.

Saludos.

[inakigarber]

Gracias por esta interesante demostración;

Yo la he visto más clara desde este otro punto de viasta.

Partiendo de por una parte de

$$\dfrac{hf}{c}\leqslant(p_1+p_2)$$

y por otra parte de la ley de conservación de la energia $hf=E_1+E_2$
donde $E_1=\sqrt{(mc^2)^2+(p_1 c)^2}$ y $E_2=\sqrt{(mc^2)^2+(p_2 c)^2}$

[FONT=Tahoma]
Podemos simplificar sacando factor común de $c^2$ y sacando finalmente $c^2$ de las raíces obtenemos;[/FONT]

$hf=c\left(\sqrt{(mc)^2+p_1^2}+\sqrt{(mc)^2+p_2^2}\right)$[FONT=Tahoma]
[/FONT]
por tanto;

$$\dfrac{hf}{c}=\sqrt{m^2 c^2 +p_1^2}+\sqrt{m^2 c^2 +p_1^2}$$

Ahora bien, ¿bajo que condiciones podríamos igualar (1) y (2)?
$p_1+p_2=\sqrt{m^2 c^2+p_1^2}+\sqrt{m^2 c^2+p_2^2}$

Esta igualdad se cumplirá solo bajo la condición de que $m=0$ ¿un electrón sin masa? No es posible. Por otra parte, como $p\propto m$, tanto para $p_1$, como para [FONT=Tahoma]$p_2$, [/FONT]a masa 0, los momentos lineales lo serán también, y no habrá intercambio ni de momentos ni de energías.

[Alriga]

Hola Iñaki, acabo de ver tu comentario hoy, cuando he enlazado este artículo en un post, se me pasó cuando lo escribiste perdón.

Bueno, si tú lo ves más claro argumentando "a tu manera", que en este caso es correcta, me parece bien. Corrigiendo el gazapo de que en tu (2) el $p_1$ de la derecha ha de ser $p_2$ partiendo de tu expresión

$$\dfrac{h\nu}{c}=\sqrt{m^2 c^2 +p_1^2}+\sqrt{m^2 c^2 +p_2^2}$$

también puedes argumentar sencillamente que como la masa m>0 y la velocidad de la luz c>0 son mayores que cero, entonces se debe cumplir necesariamente que:

$\dfrac{h\nu}{c} > \sqrt{p_1^2}+\sqrt{p_2^2}$

Y por lo tanto

$$\dfrac{h\nu}{c} > p_1+p_2$$

Que está en contradicción con la demostración obtenida de la conservación del momento lineal que imponía que debía cumplirse

$$\dfrac{h\nu}{c} \leq p_1+p_2$$

Y como la manipulación algebraica de la parte de la energía que tú acabas de aportar parece más sencilla que la manipulación que yo he puesto en el artículo, tal vez la cambie.

Gracias y saludos.