1r ciclo vectores covariantes y contravariantes

[leo_ro]

Un vector puede ser escrito como una combinación lineal de vectores, los cuales son linealmente independientes y constituyen una base del sistema. Dichos vectores base son multiplicados por un vector, de manera tal que

$v= {x}_{i} {e}^{i}$.

Si hacemos una rotación o alguna transformación sobre el sistema de referencia los vectores base cambian de manera tal que:

${e}^{i}' = {M}_{ij} {e}^{i}$

Pero también deben cambiar los factores que multiplican a cada vector base. Si la transformación resulta en que los factores cambien con la misma matriz que los vectores bases

${x}_{i}' = {M}_{ij} {x}_{i}$

Se dice que el vector es covariante. En cambio si transforman con la inversa de la matriz de las bases se dice que es contravariente.

${x}_{i}' = {{M}_{ij}}^{-1} {x}_{i}$

¿es correcto?

[Weip]

Re: vectores covariantes y contravariantes

Si hacemos una rotación o alguna transformación sobre el sistema de referencia los vectores base cambian de manera tal que:

No necesitas sistemas de referencia para definir vectores covariantes y contravariantes, basta con tener bases de espacios vectoriales.

El resto de lo que dices es correcto pero normalmente algunos índices se ponen arriba y otros abajo. Aquí tienes estas otras notaciones.

[leo_ro]

Re: vectores covariantes y contravariantes

Es que de ahí saqué la definición. Según lo que dice el documento de wikipedia los vectores covariantes transforman la base y sus coeficientes con la misma matriz de transformación y los vectores contravariantes transforman los coeficientes con la inversa de la matriz de transformación de sus bases. ¿es correcto esto?

Ahora porqué un vector se expresa con los índices de los coeficientes y de sus bases uno arriba y otro abajo?

Saludos.

[Weip]

Re: vectores covariantes y contravariantes

Es que de ahí saqué la definición. Según lo que dice el documento de wikipedia los vectores covariantes transforman la base y sus coeficientes con la misma matriz de transformación y los vectores contravariantes transforman los coeficientes con la inversa de la matriz de transformación de sus bases. ¿es correcto esto?

Sí, es correcto.

Ahora porqué un vector se expresa con los índices de los coeficientes y de sus bases uno arriba y otro abajo?

Es solo notación. Por ejemplo en vez de llamar $a_{ij}$ a los elementos de una matriz pues se les llama $a_j ^i$, los sumatorios se simplifican poniendo un indice abajo y otro arriba... De hecho esto lo has usado en tu primer mensaje:

$v= {x}_{i} {e}^{i}$.

Pero luego has seguido con la notación típica de las matrices haciendo alguna que otra mezcla extraña. Pero bueno son solo distintas formas de ponerlo. Aquí tienes las reglas para usar esta notación con ejemplos.

[leo_ro]

Re: vectores covariantes y contravariantes

gracias weip, ya entendí la definición de lo que es un vector covariante y uno contravariante pero me queda la duda lo que es la notación.

• upper indices represent components of contravariant vectors (vectors),
• lower indices represent components of covariant vectors (covectors).

y luego hace esta expresión


¿La base es contrabariante y los factores o componentes covariante? no lo entiendo, no es que decir que un vector sea covariante o contravariante hace referencia a todo el vector. Entonces para saber si el vector es covariante o contravariante me tengo que fijar en los índices de las bases?

Saludos.

[Weip]

Re: vectores covariantes y contravariantes

¿La base es contrabariante y los factores o componentes covariante?

Al revés, la base es covariante y las componentes del vector es contravariante. Los superíndices se usan para la contravarianza y los subíndices para la covarianza. Si te lías piensa que la covarianza y la contravarianza son duales entre sí.

no lo entiendo, no es que decir que un vector sea covariante o contravariante hace referencia a todo el vector.

Aquí no sé muy bien a qué te refieres.

Entonces para saber si el vector es covariante o contravariante me tengo que fijar en los índices de las bases?

Si están usando esta notación te has de fijar en los índices de las componentes. También hay que fijarse bien en los convenios que usa el texto que estés leyendo.

[leo_ro]

Re: vectores covariantes y contravariantes

Nuevamente te agradezco weip

Al revés, la base es covariante y las componentes del vector es contravariante. Los superíndices se usan para la contravarianza y los subíndices para la covarianza. Si te lías piensa que la covarianza y la contravarianza son duales entre sí.

Es esto mismo lo que no entiendo, se dice que un vector es covariante si sus componentes transforman bajo la misma matriz que los vectores base. Y luego me dices que la base es covariante y las componentes son contravariantes o al reves.

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Escrito por leo_ro
no lo entiendo, no es que decir que un vector sea covariante o contravariante hace referencia a todo el vector.

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Aquí no sé muy bien a qué te refieres.

Es decir, como te dije anteriormente si un vector está conformado por el producto entre las componentes y los vectores base, y si transforman ambos con la misma matriz entonces el vector es covariante, el vector complejo, con sus componentes y sus bases. No entiendo porque dices que la base es covariantes y las componentes contravariante

[alexpglez]

Re: vectores covariantes y contravariantes

Hola, perdona pero no puedo escribir en latex ya que no estoy escribiendo con el ordenador..
Yo sólo se lo más básico acerca de ellos. Imaginate una funcion vectorial y'(y). Calcula un diferencial dy'=dy'/dy dy, (los dos terminos serian vectoriales dependiendo de y' mientras que y se sumaría, por la regla del calculo en varias variables). Ahora hagamos una transformacion del gradiente: d/dy' = dy/dy' d/dy (evidentemente pasa lo mismo que antes, seria un veftor y habria una sumatoria, que con el convenio de sumacion de einstein se evita escribir el simbolo de sumacion)
Lo primero constituye a una transformacion contravariante y el gradiente de forma covariante.
Es decir que A'^i=dy'^i/dy^j A^j seria la transformacion contravariante y A'_i=dy^j/dy'^i A_j.

[Weip]

Re: vectores covariantes y contravariantes

Es esto mismo lo que no entiendo, se dice que un vector es covariante si sus componentes transforman bajo la misma matriz que los vectores base. Y luego me dices que la base es covariante y las componentes son contravariantes o al reves.

Vale vamos a poner orden a la cosa. En cuanto notación:

-Las componentes de un vector contravariante se expresa con un índice arriba. En el ejemplo de poner un vector en combinación lineal con una base: $v=v^i e_i$.
-Las componentes de un vector covariante se expresa con un índice abajo. En el ejemplo de poner un vector en combinación lineal con una base: $v=v_i e^i$.

Es decir, como te dije anteriormente si un vector está conformado por el producto entre las componentes y los vectores base, y si transforman ambos con la misma matriz entonces el vector es covariante, el vector complejo, con sus componentes y sus bases. No entiendo porque dices que la base es covariantes y las componentes contravariante

Creo que ahora entiendo lo que te está liando. El vector $v$ en sí no es nada. Aunque las componentes de $v$ pueden cambiar dependiendo de la base elegida pero el vector siempre es el mismo. Por eso no lleva índices. Lo que es contravariante o covariante son sus componentes. Y la base va a parte. El problema es que en vez de ir diciendo todo el rato "las componentes del vector" abusamos del lenguaje y decimos "el vector".

si un vector está conformado por el producto entre las componentes y los vectores de la base

Mejor di combinación lineal. No olvides que hay un sumatorio implícito en la expresión.

el vector complejo

Aquí no estamos hablando de espacios vectoriales concretos.