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Hilo: Ecuación de Posición en MAS

  1. #1
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    buen dia, quisiera saber de donde sale el echo de que la Ecuación de Posición del Mas sea

    x(t) = A \sin (\omega_o t + \alpha)

    Es que tengo curiosidad, ya que en las partes que he buscado no encuentro respuesta a mi pregunta
    Muchas Gracias
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  2. #2
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    Predeterminado Re: Ecuación de Posición en MAS

    \ddot x+\omega^2 x=0
    es la ecuación del movimiento (sale de escribir la ecuación de Newton con \omega^2\equiv \frac{k}{m}). Si resuelves la ecuación diferencial te salen las soluciones

    x(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}

    y mediante una elección apropiada de las constantes llegas a tu solución, o a la solución más conocida

    x(t)=Ccos(\omega t)+Dsin(\omega t)

    ambas igualmente válidas.
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  3. #3
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    Predeterminado Re: Ecuación de Posición en MAS

    Pues hay multitud de formas de demostrarlo. La que más me gusta a mi es a través de la ley de conservación de la energía. La energía total de un MAS es:

    E = \frac12 m v^2 + \frac12 k x^2 \ .El primer término es la energía cinética, el segundo la potencial. Procedemos a aislar la energía de esta expresión:

    v = \sqrt{ \frac1m \big( 2E - k x^2\big) } \ .Sabemos que la velocidad es igual a la derivada de la posición respecto del tiempo, v = \mathrm{d}x / \mathrm{d} t, lo que nos permite escribir la ecuación anterior como una ecuación diferencial de variables separadas:

    \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ \frac1m \big( 2E - k x^2\big) }} = \mathrm{d}t \ ,con lo cual sólo nos queda integrar a lado y lado de la igualdad,

    t - t_0 = \int_{x_0}^{x} \mathrm{d}x \,\frac{1}{\sqrt{ \frac1m \big( 2E - k x^2\big) }}\ .La integral es sencilla, pero hay que arreglar las constantes,

    t - t_0 = \sqrt{\frac m{2E}} \int_{x_0}^{x} \mathrm{d}x \,  \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{k}{2E} x^2 ...Ahora sí, la integral está en la lista de inmediatas, no es más que un arco-seno,

    \displaystyle t - t_0 =  \left. \sqrt{\frac {m}{2E}} \sqrt{\frac{2E}{k}} \, \arcsin\left( \sqrt{\....

    \displaystyle\sqrt{\frac {m}{ k}} \left\{ \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x \right) - \arcsin\l....

    Lo que nos queda es aislar la x,

      x = \sqrt{\frac{2E}{k}} \sin\left[\sqrt{\frac k m}(t - t_0) + \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}}...Ahí lo tienes, si comparas con tu solución, puedes obtener los parámetros del MAS en función de cantidades físicas como la energía y la posición inicial:

    A = \sqrt{\frac{2E}{k}} \ ,\alpha = - \sqrt{\frac k m} t_0 + \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x_0 \right) \ .
    Última edición por [Beto]; 09/10/2007 a las 03:28:32. Razón: Tratar de sanar un error LaTeX
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  4. #4
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    Predeterminado Re: Ecuación de Posición en MAS

    que bella demostración !, me parece mucho mejor que tener que aceptarle a mi profesor que la ecuación de Movimiento es

    x(t) = A \sin (\omega _o t + \alpha)

    como si se tratase de creer en "el espiritu santo" o "la santa trinidad"

    Muchas Gracias.
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  5. #5
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    Predeterminado Re: Ecuación de Posición en MAS

    Benditas constantes del movimiento, bendito Hamilton-Jacobi.
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  6. #6
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    Exclamation Re: Ecuación de Posición en MAS

    bueno etimados alumnos, hoy leeremos nuestra santa guía de movimientos oscilatorios, capitulo uno sección uno, Movimiento armonico simple, repitan despues de mi :

    x(t) = A \sin ( \omega_o t + \alpha) , amén!!!
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