Ecuación de Posición en MAS

[M_Odes]

buen dia, quisiera saber de donde sale el echo de que la Ecuación de Posición del Mas sea

$x(t) = A \sin (\omega_o t + \alpha)$

Es que tengo curiosidad, ya que en las partes que he buscado no encuentro respuesta a mi pregunta
Muchas Gracias

[deneb]

Re: Ecuación de Posición en MAS

$\ddot x+\omega^2 x=0$
es la ecuación del movimiento (sale de escribir la ecuación de Newton con $\omega^2\equiv \frac{k}{m}$). Si resuelves la ecuación diferencial te salen las soluciones

$x(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}$

y mediante una elección apropiada de las constantes llegas a tu solución, o a la solución más conocida

$x(t)=Ccos(\omega t)+Dsin(\omega t)$

ambas igualmente válidas.

[pod]

Re: Ecuación de Posición en MAS

Pues hay multitud de formas de demostrarlo. La que más me gusta a mi es a través de la ley de conservación de la energía. La energía total de un MAS es:

$E = \frac12 m v^2 + \frac12 k x^2 \ .$El primer término es la energía cinética, el segundo la potencial. Procedemos a aislar la energía de esta expresión:

$v = \sqrt{ \frac1m \big( 2E - k x^2\big) } \ .$Sabemos que la velocidad es igual a la derivada de la posición respecto del tiempo, $v = \mathrm{d}x / \mathrm{d} t$, lo que nos permite escribir la ecuación anterior como una ecuación diferencial de variables separadas:

$\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ \frac1m \big( 2E - k x^2\big) }} = \mathrm{d}t \ ,$con lo cual sólo nos queda integrar a lado y lado de la igualdad,

$t - t_0 = \int_{x_0}^{x} \mathrm{d}x \,\frac{1}{\sqrt{ \frac1m \big( 2E - k x^2\big) }}\ .$La integral es sencilla, pero hay que arreglar las constantes,

$t - t_0 = \sqrt{\frac m{2E}} \int_{x_0}^{x} \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{k}{2E} x^2 }}\ .$Ahora sí, la integral está en la lista de inmediatas, no es más que un arco-seno,

$\displaystyle t - t_0 = \left. \sqrt{\frac {m}{2E}} \sqrt{\frac{2E}{k}} \, \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x \right) \right|_{x_0}^x=$.

$\displaystyle\sqrt{\frac {m}{ k}} \left\{ \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x \right) - \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x_0 \right) \right\}\ .$.

Lo que nos queda es aislar la $x$,

$x = \sqrt{\frac{2E}{k}} \sin\left[\sqrt{\frac k m}(t - t_0) + \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x_0 \right) \right]\ .$Ahí lo tienes, si comparas con tu solución, puedes obtener los parámetros del MAS en función de cantidades físicas como la energía y la posición inicial:

$A = \sqrt{\frac{2E}{k}} \ ,$$\alpha = - \sqrt{\frac k m} t_0 + \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E}} x_0 \right) \ .$

[M_Odes]

Re: Ecuación de Posición en MAS

que bella demostración !, me parece mucho mejor que tener que aceptarle a mi profesor que la ecuación de Movimiento es

$x(t) = A \sin (\omega _o t + \alpha)$

como si se tratase de creer en "el espiritu santo" o "la santa trinidad"

Muchas Gracias.

[deneb]

Re: Ecuación de Posición en MAS

Benditas constantes del movimiento, bendito Hamilton-Jacobi.

[M_Odes]

Re: Ecuación de Posición en MAS

bueno etimados alumnos, hoy leeremos nuestra santa guía de movimientos oscilatorios, capitulo uno sección uno, Movimiento armonico simple, repitan despues de mi :

$x(t) = A \sin ( \omega_o t + \alpha)$, amén!!!