1r ciclo Momento Angular

[natanael]

Necesito que me ayuden con una cosita de fisica general, estoy empesando en la universidad y ahora sí que estoy aprendiendo física de verdad, pero algo me inquietó hoy en clases (algo con lo que no estoy muy de acuerdo pero bueno...), entonces quisiera discutirlo con ustedes haber que tal.

En el resnick colocan esta imagen:



Y luego el autor nos dá dos ecuaciones:

$\dst \vec{L}=\vec{r}\times\vec{P}$

$\dst \vec{L_z}=I\times\vec{w}$

Si por ajemplo hacemos un ejercicio sencillo, supongamos una particula de masa $\dst m=1\,Kg$ que está girando en torno al eje Z, y que en un momento dado se encuentra en la posición $\dst \vec{r}=2\hat\jmath+2\hat k$, y con una velocidad $\dst \vec{v}=-\hat\imath$, calculemos entonces el momento angular.

Si me dejo guiar por las formulas diría que el momento angular es, sabiendo que $\dst \vec{P}=m\vec{v}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y por la formula $\dst \vec{L_z}=I\vec{w}$, sabiendo que $\dst \vec{w}=\vec{r}\times \vec{v}$ y la inercia para una masa puntual es $\dst I=mr^2$ y $\dst r$ es simplemte la componente $\dst \hat\jmath$ de ese vector posición, luego tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces la cosa dá dos resultados distintos.

Ahora lo voy hacer como yo creo que es, primero por la formula $\dst \vec{L}=\vec{r}\times\vec{P}$ y sabiendo que $\dst \vec{P}=m\vec{v}$, y $\dst \vec{r}$ sería sólo la componente en $\dst \hat\jmath$ del vector posición (o el radio de la circunsferencia que describe la trayectoria), entonces no quedaría:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y por la otra formula $\dst \vec{L_z}=I\vec{w}$ donde ya sabemos que $\dst \vec{w}=\vec{r}\times \vec{v}$ y la inercia para una masa puntual es $\dst I=mr^2$, donde el valor vectorial $\dst \vec{r}$ y escalar de $\dst r$ es simplemte la componente $\dst \hat\jmath$ de ese vector posición, luego tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces la cosa sigue sin cuadrar, así que si alguién vé el error, por favor... sin anestesia dígalo que yo recibiré la correción con .

[Blasco]

Re: Momento Angular

Creo que se trata basicamente de un despiste, entiendo que estas tomando w=vr en vez de $\vec{v}=\vec{w} \wedge \vec{r}$
Debe salirte creo $\vec{L}=2\hat{k}$ en ambos casos.
Suerte y espero que esto te ayude.

[natanael]

Re: Momento Angular

Bueno para ser sincero no sé como se despeja una ecuación vectorial, pero imagino que si tenemos las leyes del pruducto cruz entre unitarios, si tenemos $\dst \hat k=\hat\imath \wedge \hat\jmath$ y queremos "despejar" $\dst \hat\imath$ entonces $\dst \hat\imath=\hat\jmath \wedge \hat k$, de manera análoga creo que se puede hacer para la ecuación $\dst \dst \vec{v}=\vec{w}\wedge \vec{r}$ donde $\dst \dst \vec{w}=\vec{r}\wedge \vec{v}$.

Por otro lado ya somos dos que estamos de ecuerdo en que debe salir $\dst \vec{L}=2\hat{k}$ como resultado, seguramente debe ser un despiste como dices, seguramente el problema es, o que estoy ciego , o como siempre mal interpretando las cosas, bueno ya llegará alguien que lo vea .

[Blasco]

Re: Momento Angular

Así puedes despejar $w$, podría haber supuesto tres componentes (x, y , z) pero al tener la dirección del eje z la he simplificado.

$\vec{w}=\vec{r}\wedge \vec{v}$ no es correcto.


$\vec{V}=\vec{w}\wedge \vec{r}$

(-1,0,0)=$\begin{pmatrix}<br /> \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\<br /> 0 & 0 & w\\<br /> 0 & 2 & 2<br /> \end{pmatrix}$

$-2w=-1$

$w=\frac{1}{2}$

$\vec{w}=\frac{1}{2} \hat{k}$

[natanael]

Re: Momento Angular

Gracias, eso soluciona todo, pero sabrías porque $\dst \vec{w}=\vec{r}\wedge \vec{v}$, no es correcto?

Sé que ya es como mucho pedir, pero la curiosidad me mata.

[Blasco]

Re: Momento Angular

w=rv No es correcto en absoluto.
Por muchas razones, pero una forma de comprobarlo sería dimensionalmente.
v=wr (ambos miembros de la igualdad tienen las mismas dimensiones m/s)
w=vr (el primer miembro sería 1/s y el segundo m2/s que no puede ser)

[Faradie]

Re: Momento Angular

La razón por la que no es correcto es porque te estás basando en los productos vectoriales de vectores unitarios (i, j, k), mientras que los módulos de w,r y v son diferentes de uno, por lo cual no puedes cambiarlos así como así, algún módulo tendría que acabar dividiendo para que diera un resultado coherente.

[natanael]

Re: Momento Angular

Así puedes despejar $w$, podría haber supuesto tres componentes (x, y , z) pero al tener la dirección del eje z la he simplificado.

$\vec{w}=\vec{r}\wedge \vec{v}$ no es correcto.


$\vec{V}=\vec{w}\wedge \vec{r}$

(-1,0,0)=$\begin{pmatrix}<br /> \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\<br /> 0 & 0 & w\\<br /> 0 & 2 & 2<br /> \end{pmatrix}$

$-2w=-1$

$w=\frac{1}{2}$

$\vec{w}=\frac{1}{2} \hat{k}$

Oye Blasco siguiendo tu procedimiento, me puse a tratar de generalizarlo pero no pude, mira lo que hice, tal vez halla algún error...

Tengamos por ejemplo $\dst \vec{A}=\vec{B}\times\vec{C}$, y quiero saber el valor de $\dst \vec{C}$, entonces:

$\dst A_x\hat{\imath}+A_y\hat{\jmath}+A_z\hat{k}=\begin{vmatrix}<br /> \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\<br /> B_x & B_y & B_z\\<br /> C_x & C_y & C_z<br /> \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}<br /> B_y & B_z \\<br /> C_y & C_z<br /> \end{vmatrix}\hat{\imath}-\begin{vmatrix}<br /> B_x & B_z \\<br /> C_x & C_z<br /> \end{vmatrix}\hat{\jmath}+\begin{vmatrix}<br /> B_x & B_y \\<br /> C_x & C_y<br /> \end{vmatrix}\hat{k}$

$\dst A_x\hat{\imath}+A_y\hat{\jmath}+A_z\hat{k}=\left(B_yC_z-B_zC_y\right)\hat{\imath}-\left(B_xC_z-B_zC_x\right)\hat{\jmath}+\left(B_xC_y-B_yC_x\right)\hat{k}$

después sale el sistema de ecuaciones:

$\dst \begin{aligned}<br /> B_yC_z-B_zC_y & = A_x \\<br /> -B_xC_z+B_zC_x & = A_y \\<br /> B_xC_y-B_yC_x & = A_z<br /> \end{aligned}$

Pero cuando saco la determinante del sistema, me da cero, es decir, creo que no se puede resolver ese sistema de ecuaciones.

$\dst \Delta s=\begin{vmatrix}<br /> -B_y & B_x & 0 \\<br /> B_z & 0 & -B_x\\<br /> 0 & -B_z & B_y<br /> \end{vmatrix}=B_zB_xB_y-B_zB_yB_x=0$

Bueno me imagino que debe ser por la diagonal de puros ceros.

[Al2000]

Re: Momento Angular

Tal vez vale la pena mencionar la identidad vectorial $\boldsymbol A \times (\boldsymbol B \times \boldsymbol C) = \boldsymbol B (\boldsymbol A \boldsymbol \cdot \boldsymbol C) - \boldsymbol C (\boldsymbol A \boldsymbol \cdot \boldsymbol B)$ de manera que al hacer el producto vectorial $\boldsymbol j \times \boldsymbol k = \boldsymbol i$ podríamos considerar que estamos haciendo un caso particular del caso mas general:

$$\boldsymbol j \times (\boldsymbol i \times \boldsymbol j) = \boldsymbol i (\underbrace {\boldsymbol j \boldsymbol \cdot \boldsymbol j}_1) - \boldsymbol j (\underbrace {\boldsymbol j \boldsymbol \cdot \boldsymbol i}_0) = \boldsymbol i$$

Pero en el caso mas general, cuando los vectores no sea necesariamente unitarios ni ortogonales entre sí, como el caso discutido, se tendría:

$$\boldsymbol r \times \boldsymbol v = \boldsymbol r \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r) = \boldsymbol \omega (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol r) - \boldsymbol r (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol \omega) = r^2 \boldsymbol \omega - (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol \omega) \boldsymbol r$$

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Momento Angular

...
Pero cuando saco la determinante del sistema, me da cero, es decir, creo que no se puede resolver ese sistema de ecuaciones.

$\dst \Delta s=\begin{vmatrix}<br /> -B_y & B_x & 0 \\<br /> B_z & 0 & -B_x\\<br /> 0 & -B_z & B_y<br /> \end{vmatrix}=B_zB_xB_y-B_zB_yB_x=0$

Bueno me imagino que debe ser por la diagonal de puros ceros.

Con lo cual estás comprobando que dados los vectores $\boldsymbol A$ y $\boldsymbol B$, el vector $\boldsymbol C$ no está unívocamente determinado.

Que esto es así lo puedes comprender si recuerdas la definición de producto vectorial de dos vectores. Dado el vector $\boldsymbol A$, el semiplano en donde se encuentra el vector $\boldsymbol C$ queda definido, pero todavía puedes jugar con la magnitud de $\boldsymbol C$ y el ángulo $\theta$ que forma con $\boldsymbol B$ para satisfacer la definición de la magnitud de $\boldsymbol A$: $A = B C \, \mathrm {sen} \, \theta$.

Saludos,

Al

PD. Aquí se trató un asunto similar. De particular interés es la respuesta de pod.

[natanael]

Re: Momento Angular

Épa Al, sabes que he querido enviarte un mensaje privado pero no he podido, cuando lo intento dice "Al no quiere recibir mensajes privados", o algo así .

$$\boldsymbol r \times \boldsymbol v = \boldsymbol r \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r) = \boldsymbol \omega (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol r) - \boldsymbol r (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol \omega) = r^2 \boldsymbol \omega - (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol \omega) \boldsymbol r$$

Me imagino que si multiplicamos por la masa $\dst m$ no pasa nada verdad?

$\dst \boldsymbol L= m\boldsymbol r \times \boldsymbol v = m\boldsymbol r \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r) = m\left[\boldsymbol \omega (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol r) - \boldsymbol r (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol \omega) \right] =m\left[ r^2 \boldsymbol \omega - (\boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol \omega) \boldsymbol r \right]$

Sin embargo mira esta cosa loca, se me acurrió cuando leí el mensaje de Faradie,

La razón por la que no es correcto es porque te estás basando en los productos vectoriales de vectores unitarios (i, j, k), mientras que los módulos de w,r y v son diferentes de uno, por lo cual no puedes cambiarlos así como así, algún módulo tendría que acabar dividiendo para que diera un resultado coherente.

Si tenemos $\dst \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$ para despejar $\dst \vec{\omega}$ entonces:

$\dst \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\frac{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2}}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2}}\vec{\omega}\times\vec{r}\frac{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}}{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}}$

Voy a utilizar la notacion de un libro de calculo vectorial, porque las ecuaciones me estan saliendo muy grandes, por lo tanto sea $\dst \lVert \boldsymbol v \rVert=\left( \boldsymbol v\cdot \boldsymbol v \right)^{\frac{1}{2}}$ que me imagino debe ser lo mismo que $\dst \lVert \boldsymbol v \rVert=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

$\dst \lVert\vec{v}\rVert\overbrace{\frac{\vec{v}}{\lVert\vec{v}\rVert}}^{unitario}=\lVert\vec{\omega}\rVert\overbrace{\frac{\vec{\omega}}{\lVert\vec{\omega}\rVert}}^{unitario}\times\overbrace{\frac{\vec{r}}{\lVert\vec{r}\rVert}}^{unitario}\lVert\vec{r}\rVert$

$\dst \lVert\vec{v}\rVert\hat v=\lVert\vec{\omega}\rVert\hat \omega \times\hat r\lVert\vec{r}\rVert$

Ahora aquí si me imagino que se pueden aplicar las reglas de productos vectoriales de vectores unitarios (i, j, k), y pudiera concluir que:

$\dst \lVert\vec{\omega}\rVert\hat \omega=\frac{\lVert\vec{v}\rVert}{\lVert\vec{r}\rVert} \hat r \times\hat v \Rightarrow \lVert\vec{\omega}\rVert\frac{\vec{\omega}}{\lVert\vec{\omega}\rVert}=\frac{\lVert\vec{v}\rVert}{\lVert\vec{r}\rVert} \frac{\vec{r}}{\lVert\vec{r}\rVert} \times\frac{\vec{v}}{\lVert\vec{v}\rVert}\Rightarrow \vec{\omega}=\frac{1}{{\lVert\vec{r}\rVert}^2}\vec{r}\times \vec{v}$

Me imagino que debe estar bueno?, al parecer Faradie tenía razón.

[Al2000]

Re: Momento Angular

Sorry, no puedes. No basta que sean unitarios, para aplicar la "regla de productos vectoriales de vectores unitarios" los vectores, amén de ser unitarios, deben ser ortogonales entre sí.

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Momento Angular

No basta que sean unitarios, para aplicar la "regla de productos vectoriales de vectores unitarios" los vectores, amén de ser unitarios, deben ser ortogonales entre sí.

Oye tienes razón, pero tiene que ser estrictamente necesario?, porque puede no existir perpendicularidad entre $\dst \vec{\omega}$ y $\dst \vec{r}$, pero si existe entre $\dst \vec{v}$ y $\dst \vec{\omega}$, y $\dst \vec{v}$ y $\dst \vec{r}$, debería cumplirse, o no?.

Y me dejaron confundido tu pod con eso de la información del producto cruz, a qué se refieren con eso?