1r ciclo Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

[Visitante]

[FONT=Times New Roman]Buenas noches a todos.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Alguien puede explicarme como calcular el tiempo que transcurre[/FONT]
[FONT=Times New Roman]desde que suelto un cuerpo en caida libre desde una altura D0 hasta[/FONT]
[FONT=Times New Roman]una altura D0-E teniendo en cuenta una aceleración de la gravedad[/FONT]
[FONT=Times New Roman]variable con la altura?[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Yo he intentado hacerlo usando la formula:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Dif.E = (G*M/D^2)*T*Dif.T [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Y un programa informatico.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Por ejemplo:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Primer ciclo. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(0) = 0 Ya que T(0)=0 y Dif.T = constante. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Segundo ciclo.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(1) = (G*M/D0^2)*T(1)*Dif.T Siendo T(1)=1*Dif.T[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Tercer ciclo.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(2) = (G*M/(D0-Dif.E(1))^2)*T(2)*Dif.T T(2)=2*Dif.T[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Cuarto ciclo.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(3) = (G*M/(D0-Dif.E(1)-Dif.E(2))^2)*T(3)*Dif.T T(3)=3*Dif.T[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Y asi sucesivamente [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Cuando (D0-Dif.E(1)-Dif.E(2)-Dif.E(3)-…..) < (D0-E) hago STOP.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Y T = n * Dif.T[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Pero los resultados que obtengo no me convencen.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Muchas Gracias y un Saludo.[/FONT]

[arivasm]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Si usas la conservación de la energía tienes una ecuación diferencial de primer orden que es relativamente fácil de integrar.

Llamaré r a la distancia al centro de la masa M. Si el cuerpo parte del reposo desde una distancia $r_0$, la conservación de la energía toma la forma

$$\dst\frac{1}{2}v^2-G \frac{M}{r}=-G \frac{M}{r_0}$$

y entonces

$$v=-\dst\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2 G M}\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}}=\sqrt{\frac{2 G M}{r_0}}\sqrt{\frac{r_0-r}{r}}$$

Por tanto,

$$\dst-\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}\dd r}=\sqrt{\frac{2 G M}{r_0}}\int_0^t{\dd t}$$

La integral de la izquierda, es un poco pesada de realizar. Yo he hecho el cambio de variable $u^2=r/(r_0-r)$. Finalmente me sale

$$\dst-\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}\dd r}=r_0\left(\frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0}\right)$$

y entonces

$$t(r) = \dst\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left( \frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right)$$

[Al2000]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

...
[FONT=Times New Roman]Yo he intentado hacerlo usando la formula:[/FONT]
...
[FONT=Times New Roman]Pero los resultados que obtengo no me convencen.[/FONT]
...

Si deseas hacerlo por aproximaciones usando un programa de computadora, el ciclo iterativo sería algo así (para una sola dimensión, aunque fácilmente generalizable a 3D):

' Establece las condiciones iniciales
r <-- r0
v <-- v0 ' No necesariamente cero
t <-- 0
Dt <-- 1E-3 ' Algun intervalo convenientemente pequeño
LOOP
  a <-- g(r)
  v <-- v + a * Dt
  r <-- r + v * Dt
  t <-- t + Dt
UNTIL alguna condición, p.ej., r <= rfinal
RETURN t

Saludos,

Al

[Visitante]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

[FONT=Times New Roman]Hola Arisvasm.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Gracias por tu respuesta.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si hago: Rd=50, R=49.5, G=10^-7, M=10^7[/FONT]
[FONT=Times New Roman]La formula (5) que me envias, da:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T(49.5)=0.9983…[/FONT]
[FONT=Times New Roman]O sea:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T(49.5)=0.9983…=5.0*(1.5707…-1.4706…+0.09949…)[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Y creo que esto no es posible.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si hago aceleración de la gravedad constante, con los mismos[/FONT]
[FONT=Times New Roman]datos. Con la formula:[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]E=1/2*((G*M)/Rd^2)*T^2[/FONT]
[FONT=Times New Roman]E=Rd-R[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T(49.5)=50.0[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Aquí falla algo!!! [/FONT]
[FONT=Times New Roman]No veo razonable tanta diferencia.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Un Saludo.[/FONT]

[Al2000]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Creo que arivasm se "comió" algún factor cuando calculaba la integral. Fíjate que la ecuación (4) no es dimensionalmente consistente; tiene unidades de longitud en el miembro izquierdo y el miembro derecho es adimensional. El error dimensional es arrastrado a la ecuación (5), en la cual el miembro derecho tiene unidades de [T]/[L].

Saludos,

Al

PD. Resolví la integral y en efecto el amigo arivasm extravió un factor $r_0$ en el valor de la integral. La expresión final quedaría $\dst t(r) = \sqrt{\frac {r_0}{2 G M}} \cdot r_0 \left[\frac \pi 2 - \tan^{-1} \sqrt{\frac r {r_0 - r}}+ \frac{\sqrt{r(r_0 - r)}}{r_0} \right]$. Recuerda que $r$ y $r_0$ se miden desde el centro de Tierra, si vas a comparar con el caso de aceleración constante.

[arivasm]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Efectivamente, veo que al tratar de ahorrar tiempo copiando y pegando en las expresiones Latex me comí un cubo en el interior de la última raíz de la derecha (que equivale a comerse el factor que dice Al). He editado el post para arreglarlo. Muchas gracias Al.

Edito: veo que había otro error más, en la línea anterior y que también he arreglado. Ay!, que rollo es esto de ir haciéndose "mayor".

[Visitante]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Hola Arivasm y Al.
Muchas Gracias por vuestras respuestas.
Esto ya SI es correcto.
Voy a continuar por el 'hilo' 'problema con 3 masas'...
Un Saludo.

[Al2000]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

...
y entonces

$$t(r) = \dst\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left( \frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right)$$

Una referencia a esta ecuación en otro hilo reciente hizo que me percatara de que la podemos escribir en la forma un poco menos aparatosa

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Otra variante interesante

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right)$$

o también

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left[\sqrt{\frac r {r_0}\left(1 - \frac r {r_0}\right) } + \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right]$$

y

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0}{2GM}}\left[\sqrt{r (r_0 - r )} + r_0 \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right]$$

Favor pasar al buffet...

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Sí señor! Además, de lo más evidente! Magnífico, Al, como siempre.

[kramer]

Problema de caída libre (aceleración variable)

Hola a todos.
Me gustaría plantear una cuestión de física, a ver si alguien sabe resolverla.

Pretendo resolver un problema de caída libre con aceleración variable sin tener que recurrir a las fórmulas de la energía.

Supongamos la ausencia de rozamiento por el aire. Tenemos un objeto "puntual" en reposo a 100 km de altura sobre la superficie terrestre, y quiero calcular la velocidad que tendrá dicho objeto al llegar al suelo y el tiempo que tardará.

Si suponemos aceleración constante de 9,8 m/s² el objeto tarda 142,857 s en caer, con una velocidad final de 1400 m/s. (Mediante cinemática y energía, da igual)
Pero claro, a 100 km de altura la aceleración producida por la fuerza gravitatoria no es 9,8; sino 9,51 m/s² .

Planteando el problema mediante la hipótesis de conservación de la energía (usando la fórmula de la E_p gravitatoria) me sale una velocidad final de 1390,1 m/s. (menos que la anterior, lo cuál es una cifra creíble teniendo en cuenta que la aceleración al principio del movimiento es menor).

Pues bien, ahora me gustaría hacerlo desde el punto de vista de la cinemática ... pero no sé cómo. Ando un poco perdido, la verdad.



Sabemos que la aceleración es variable durante la caída, de forma que en cada momento ...


que constituye una función dependiente de la variable r, o sea, a = f(r). Que es la distancia al objeto desde el centro de la Tierra.
Y sabemos que ...


Por tanto ...



El problema es que "a" no depende de t, depende de r.

¿Cómo puedo hacer un cambio de variable para que r esté expresado en función de t, o cambiar dt por un dr?

Espero que los físicos del foro me echen un cable.

Un saludo a todos.


PD: Se me olvidaba. Os dejo el valor de las constantes que estoy utilizando, para que no perdáis tiempo en buscarlas:

Radio de la Tierra: 6370 km
Masa de la Tierra: 5,97 x 10²⁴ kg
G = 6,67 x 10^-11

[Sheldoniano]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Intenta descomponerlo en más diferenciales $\dst{a=\frac{dv}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}}$

[javier m]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

además, mira este articulo del usuario guibix.

[arivasm]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Estás ante una ecuación diferencial de segundo orden

$$\dst\frac{\dd r^2}{\dd t^2}=-G\frac{M}{r^2}$$

Lo más sencillo para resolverla, con diferencia, pasa por la conservación de la energía, es decir, que $\dst \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{r_0}$, es decir

$$\dst \frac{1}{2}v^2-G\frac{M}{r}=-G\frac{M}{r_0}$$

Fíjate que si derivas respecto del tiempo esta expresión tienes $\dst v a+G\frac{M}{r^2}v=0$.

En resumen, el primer paso para resolver (1) sería hacer el cambio de variable $\dst E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2-G\frac{M}{r}$, pues la ecuación (1) equivale a $\dst\frac{\dd E}{\dd t}=0$, cuya solución evidente es $E=\rm cte$, donde el valor de la constante lo determinas por las condiciones iniciales, $v=0$ y $r=r_0$.

Fíjate que el sentido físico (conservación de la energía) es una guía notable para encontrar la solución matemática.

A continuación hay que integrar (2), es decir

$$\dst -\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$$

donde el signo menos se debe a que aquí $v=-\dd r/\dd t$

En este caso no podremos encontrar $r(t)$, pero sí $t(r)$, pues simplemente se trata de hacer la integral

$$\dst t=-\int_{r_0}^r \frac{\dd r}{\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}}$$

cuya solución es.

$$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Dejo para ti que hagas los números, si estás interesado en valores concretos.

Terminaré comentando que esta cuestión ya fue tratada en este hilo, donde verás con más detalle cómo realizar la integral anterior.


Perdón: no había visto que otros compañeros estaban contestando al mismo tiempo que yo.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, aprovecho para comentar que no veo las ecuaciones del artículo de guibix.

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Intenta descomponerlo en más diferenciales $\dst{a=\frac{dv}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}}$

¿De dónde podría sacar r(t)? ¿Cómo abordarías el problema?

además, mira este articulo del usuario guibix.

Muchas gracias, le voy a echar un buen vistazo luego, tiene buena pinta.

Estás ante una ecuación diferencial de segundo orden

$$\dst\frac{\dd r^2}{\dd t^2}=-G\frac{M}{r^2}$$

Lo más sencillo para resolverla, con diferencia, pasa por la conservación de la energía, es decir, que $\dst \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{r_0}$, es decir

$$\dst \frac{1}{2}v^2-G\frac{M}{r}=-G\frac{M}{r_0}$$

Fíjate que si derivas respecto del tiempo esta expresión tienes $\dst v a+G\frac{M}{r^2}v=0$.

En resumen, el primer paso para resolver (1) sería hacer el cambio de variable $\dst E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2-G\frac{M}{r}$, pues la ecuación (1) equivale a $\dst\frac{\dd E}{\dd t}=0$, cuya solución evidente es $E=\rm cte$, donde el valor de la constante lo determinas por las condiciones iniciales, $v=0$ y $r=r_0$.

Fíjate que el sentido físico (conservación de la energía) es una guía notable para encontrar la solución matemática.

A continuación hay que integrar (2), es decir

$$\dst -\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$$

donde el signo menos se debe a que aquí $v=-\dd r/\dd t$

En este caso no podremos encontrar $r(t)$, pero sí $t(r)$, pues simplemente se trata de hacer la integral

$$\dst t=-\int_{r_0}^r \frac{\dd r}{\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}}$$

cuya solución es.

$$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Dejo para ti que hagas los números, si estás interesado en valores concretos.

Terminaré comentando que esta cuestión ya fue tratada en este hilo, donde verás con más detalle cómo realizar la integral anterior.


Perdón: no había visto que otros compañeros estaban contestando al mismo tiempo que yo.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, aprovecho para comentar que no veo las ecuaciones del artículo de guibix.

Muchísimas gracias por la respuesta, desde luego es un procedimiento acertado ... pero yo sigo emperrándome en no recurrir a la conservación de la energía, manías que tiene uno.

Si yo tengo un movimiento con una aceleración variable, y dicha aceleración no depende de t sino de una distancia x, ¿cómo puedo plantear las ecuaciones del movimiento para llegar a resultados concretos de velocidad en tal punto y tiempo transcurrido?
Tan difícil no debe ser, pero ahora mismo no caigo.

[Breogan]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Hola:

Creo que lo que queres hacer pasa por lo siguiente:

La aceleracion de la gravedad es:

$\dst a=-G \frac M {r^2}$

expresado diferencialmente:

$\dst dv=-G \frac M {r^2}dt$

pero se sabe que $\dst v=\frac {dr}{dt}$$\Rightarrow \dst dt=\frac {dr}{v}$, (es lo que te dijo Sheldoniano)

por lo cual queda:

$\dst dv=-G \frac M {r^2} \frac {dr}{v}$

agrupamos variables en esta y queda:

$\dst v \ dv=-G \frac M {r^2} dr$

Creo que si no me equivoque el resultado sale en forma inmediata, espero no haberme equivocado.


Suerte