Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

[Mariano2585]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Yo tuve la misma duda (expresión matemática de la posición en función del tiempo de dos cuerpos bajo interacción gravitatoria mutua) y no pude encontrar la respuesta, parece que no la hay (nada es imposible mi joven padawan). Este enlace lo explica muy bien también:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/di...eal.htm#Caída bajo la fuerza de atracción mutua.

[pod]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

A ver, yo supoingo que para cada t = 1, 2, 3, 4, ... etc. podré construir con (5) una ecuación de tipo f(r) = 0, y utilizando el método iterativo de Newton-Raphson, o el de la Secante o alguno otro sacar r con la precisión que quiera.

Esa es la idea. Si tienes acceso a software especializado probablemente podrás automatizar el proceso y no tener que hacerlo a mano.

El problema es ... ¿no se puede sacar la función analítica de la curva descrita?

Muy probablemente no. No todas las funciones posibles se pueden expresar combinando funciones con nombres conocidos. Podrás conseguir aproximaciones con muchas precisión, por ejemplo sacando algunos puntos e interpolando entre ellos (por ejemplo con splines).

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

No tienes más que apreciar en (7), es decir, en la expresión de t(r) que no tiene una inversa analítica.

Ya veo, ya.
Lo que yo andaba buscando ahora es una nueva vuelta de tuerca, y es sacar la ecuación de una trayectoria orbital (cualquiera) en un plano, y=f(x), para ello lo que quería era despejar de "x" y de "y" el tiempo, pero si no se puede hallar r(t) ... pues nada, tendré que buscar otra forma.

No obstante, hay métodos numéricos que te pueden ayudar a encontrar el valor con tanta aproximación como quieras. Si se hace de forma repetida, incluso te pueden dar la gráfica.

Pues sí, justo eso estoy buscando. ¿Alguna idea?

- - - Actualizado - - -

A ver, yo supoingo que para cada t = 1, 2, 3, 4, ... etc. podré construir con (5) una ecuación de tipo f(r) = 0, y utilizando el método iterativo de Newton-Raphson, o el de la Secante o alguno otro sacar r con la precisión que quiera.
El problema es ... ¿no se puede sacar la función analítica de la curva descrita?

[pod]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

No tienes más que apreciar en (7), es decir, en la expresión de t(r) que no tiene una inversa analítica.

No obstante, hay métodos numéricos que te pueden ayudar a encontrar el valor con tanta aproximación como quieras. Si se hace de forma repetida, incluso te pueden dar la gráfica.

[arivasm]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

No tienes más que apreciar en (7), es decir, en la expresión de t(r) que no tiene una inversa analítica.

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Hola, justo 1 año más tarde me vuelvo a interesar por esta cuestión ... debo tener un pensamiento cíclico .
La cuestión de hallar la velocidad y el tiempo quedó totalmente resuelta.

Pero me sigue llamando la atención una cuestión: ¿no es posible hallar r(t)?

Estás ante una ecuación diferencial de segundo orden

$$\dst\frac{\dd r^2}{\dd t^2}=-G\frac{M}{r^2}$$

Lo más sencillo para resolverla, con diferencia, pasa por la conservación de la energía, es decir, que $\dst \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{r_0}$, es decir

$$\dst \frac{1}{2}v^2-G\frac{M}{r}=-G\frac{M}{r_0}$$

Fíjate que si derivas respecto del tiempo esta expresión tienes $\dst v a+G\frac{M}{r^2}v=0$.

En resumen, el primer paso para resolver (1) sería hacer el cambio de variable $\dst E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2-G\frac{M}{r}$, pues la ecuación (1) equivale a $\dst\frac{\dd E}{\dd t}=0$, cuya solución evidente es $E=\rm cte$, donde el valor de la constante lo determinas por las condiciones iniciales, $v=0$ y $r=r_0$.

Fíjate que el sentido físico (conservación de la energía) es una guía notable para encontrar la solución matemática.

A continuación hay que integrar (2), es decir

$$\dst -\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$$

donde el signo menos se debe a que aquí $v=-\dd r/\dd t$

En este caso no podremos encontrar $r(t)$, pero sí $t(r)$, pues simplemente se trata de hacer la integral

$$\dst t=-\int_{r_0}^r \frac{\dd r}{\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}}$$

cuya solución es.

$$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Dejo para ti que hagas los números, si estás interesado en valores concretos.

Terminaré comentando que esta cuestión ya fue tratada en este hilo, donde verás con más detalle cómo realizar la integral anterior.


Perdón: no había visto que otros compañeros estaban contestando al mismo tiempo que yo.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, aprovecho para comentar que no veo las ecuaciones del artículo de guibix.

[arivasm]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

El paso que has dado, es en realidad el teorema del trabajo y la energía cinética. En otras palabras, puedes verlo como que has llegado al resultado sin usar energías, o también como que has hecho lo mismo que conduce a esa magnitud. Es decir, los conceptos de energía cinética y potencial proceden de integrar la 2ª ley de Newton de manera que se tenga $v(\vec r)$.

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Bueno, esta mañana dándole vueltas a esto me ha venido la inspiración, un poco tarde, porque el planteamiento es el mismo que el que acaba de escribir Breogan arriba, pero escrito de una forma distinta:

Sabemos que la aceleración, como bien ha especificado arivasm es ...



o también ...



al igualar términos nos queda:



que constituye una ecuación diferencial de primer orden, con función "v" y variable independiente "r".
Por tanto, integramos a ambos lados respecto de r, y nos queda ...



que si nos fijamos el sentido físico que tiene es el de conservación de la energía ... pero hemos llegado a ello desde la cinemática, que es lo que yo quería.
Para saber cuánto vale C, simplemente sustituimos los valores que conocemos en el punto inicial, antes de soltar el objeto ...



Que al sustituir por los valores del problema sale que efectivamente v al llegar al suelo es 1390,1 m/s.

Bueno, pues la parte de la velocidad ya está resuelta desde la cinemática, ahora queda resolver el tiempo (también desde la cinemática), algo que todavía no he hecho, y de momento no sé cómo abordar.
Si tenéis alguna idea es bienvenida ...

Me pregunto si habrá alguna forma más sencilla de hacerlo que la de arivasm.

Un Saludo a todos.

[Breogan]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Hola:

Creo que lo que queres hacer pasa por lo siguiente:

La aceleracion de la gravedad es:

$\dst a=-G \frac M {r^2}$

expresado diferencialmente:

$\dst dv=-G \frac M {r^2}dt$

pero se sabe que $\dst v=\frac {dr}{dt}$$\Rightarrow \dst dt=\frac {dr}{v}$, (es lo que te dijo Sheldoniano)

por lo cual queda:

$\dst dv=-G \frac M {r^2} \frac {dr}{v}$

agrupamos variables en esta y queda:

$\dst v \ dv=-G \frac M {r^2} dr$

Creo que si no me equivoque el resultado sale en forma inmediata, espero no haberme equivocado.


Suerte

[kramer]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Intenta descomponerlo en más diferenciales $\dst{a=\frac{dv}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}}$

¿De dónde podría sacar r(t)? ¿Cómo abordarías el problema?

además, mira este articulo del usuario guibix.

Muchas gracias, le voy a echar un buen vistazo luego, tiene buena pinta.

Estás ante una ecuación diferencial de segundo orden

$$\dst\frac{\dd r^2}{\dd t^2}=-G\frac{M}{r^2}$$

Lo más sencillo para resolverla, con diferencia, pasa por la conservación de la energía, es decir, que $\dst \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{r_0}$, es decir

$$\dst \frac{1}{2}v^2-G\frac{M}{r}=-G\frac{M}{r_0}$$

Fíjate que si derivas respecto del tiempo esta expresión tienes $\dst v a+G\frac{M}{r^2}v=0$.

En resumen, el primer paso para resolver (1) sería hacer el cambio de variable $\dst E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2-G\frac{M}{r}$, pues la ecuación (1) equivale a $\dst\frac{\dd E}{\dd t}=0$, cuya solución evidente es $E=\rm cte$, donde el valor de la constante lo determinas por las condiciones iniciales, $v=0$ y $r=r_0$.

Fíjate que el sentido físico (conservación de la energía) es una guía notable para encontrar la solución matemática.

A continuación hay que integrar (2), es decir

$$\dst -\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$$

donde el signo menos se debe a que aquí $v=-\dd r/\dd t$

En este caso no podremos encontrar $r(t)$, pero sí $t(r)$, pues simplemente se trata de hacer la integral

$$\dst t=-\int_{r_0}^r \frac{\dd r}{\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}}$$

cuya solución es.

$$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Dejo para ti que hagas los números, si estás interesado en valores concretos.

Terminaré comentando que esta cuestión ya fue tratada en este hilo, donde verás con más detalle cómo realizar la integral anterior.


Perdón: no había visto que otros compañeros estaban contestando al mismo tiempo que yo.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, aprovecho para comentar que no veo las ecuaciones del artículo de guibix.

Muchísimas gracias por la respuesta, desde luego es un procedimiento acertado ... pero yo sigo emperrándome en no recurrir a la conservación de la energía, manías que tiene uno.

Si yo tengo un movimiento con una aceleración variable, y dicha aceleración no depende de t sino de una distancia x, ¿cómo puedo plantear las ecuaciones del movimiento para llegar a resultados concretos de velocidad en tal punto y tiempo transcurrido?
Tan difícil no debe ser, pero ahora mismo no caigo.

[arivasm]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Estás ante una ecuación diferencial de segundo orden

$$\dst\frac{\dd r^2}{\dd t^2}=-G\frac{M}{r^2}$$

Lo más sencillo para resolverla, con diferencia, pasa por la conservación de la energía, es decir, que $\dst \frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{r_0}$, es decir

$$\dst \frac{1}{2}v^2-G\frac{M}{r}=-G\frac{M}{r_0}$$

Fíjate que si derivas respecto del tiempo esta expresión tienes $\dst v a+G\frac{M}{r^2}v=0$.

En resumen, el primer paso para resolver (1) sería hacer el cambio de variable $\dst E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2-G\frac{M}{r}$, pues la ecuación (1) equivale a $\dst\frac{\dd E}{\dd t}=0$, cuya solución evidente es $E=\rm cte$, donde el valor de la constante lo determinas por las condiciones iniciales, $v=0$ y $r=r_0$.

Fíjate que el sentido físico (conservación de la energía) es una guía notable para encontrar la solución matemática.

A continuación hay que integrar (2), es decir

$$\dst -\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$$

donde el signo menos se debe a que aquí $v=-\dd r/\dd t$

En este caso no podremos encontrar $r(t)$, pero sí $t(r)$, pues simplemente se trata de hacer la integral

$$\dst t=-\int_{r_0}^r \frac{\dd r}{\sqrt{2G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}}$$

cuya solución es.

$$\dst t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Dejo para ti que hagas los números, si estás interesado en valores concretos.

Terminaré comentando que esta cuestión ya fue tratada en este hilo, donde verás con más detalle cómo realizar la integral anterior.


Perdón: no había visto que otros compañeros estaban contestando al mismo tiempo que yo.

- - - Actualizado - - -

Por cierto, aprovecho para comentar que no veo las ecuaciones del artículo de guibix.

[javier m]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

además, mira este articulo del usuario guibix.

[Sheldoniano]

Re: Problema de caída libre (aceleración variable)

Intenta descomponerlo en más diferenciales $\dst{a=\frac{dv}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}}$

[kramer]

Problema de caída libre (aceleración variable)

Hola a todos.
Me gustaría plantear una cuestión de física, a ver si alguien sabe resolverla.

Pretendo resolver un problema de caída libre con aceleración variable sin tener que recurrir a las fórmulas de la energía.

Supongamos la ausencia de rozamiento por el aire. Tenemos un objeto "puntual" en reposo a 100 km de altura sobre la superficie terrestre, y quiero calcular la velocidad que tendrá dicho objeto al llegar al suelo y el tiempo que tardará.

Si suponemos aceleración constante de 9,8 m/s² el objeto tarda 142,857 s en caer, con una velocidad final de 1400 m/s. (Mediante cinemática y energía, da igual)
Pero claro, a 100 km de altura la aceleración producida por la fuerza gravitatoria no es 9,8; sino 9,51 m/s² .

Planteando el problema mediante la hipótesis de conservación de la energía (usando la fórmula de la E_p gravitatoria) me sale una velocidad final de 1390,1 m/s. (menos que la anterior, lo cuál es una cifra creíble teniendo en cuenta que la aceleración al principio del movimiento es menor).

Pues bien, ahora me gustaría hacerlo desde el punto de vista de la cinemática ... pero no sé cómo. Ando un poco perdido, la verdad.



Sabemos que la aceleración es variable durante la caída, de forma que en cada momento ...


que constituye una función dependiente de la variable r, o sea, a = f(r). Que es la distancia al objeto desde el centro de la Tierra.
Y sabemos que ...


Por tanto ...



El problema es que "a" no depende de t, depende de r.

¿Cómo puedo hacer un cambio de variable para que r esté expresado en función de t, o cambiar dt por un dr?

Espero que los físicos del foro me echen un cable.

Un saludo a todos.


PD: Se me olvidaba. Os dejo el valor de las constantes que estoy utilizando, para que no perdáis tiempo en buscarlas:

Radio de la Tierra: 6370 km
Masa de la Tierra: 5,97 x 10²⁴ kg
G = 6,67 x 10^-11

[arivasm]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Sí señor! Además, de lo más evidente! Magnífico, Al, como siempre.