Otras carreras resorte hooke

[LauraLopez]

Una masa de 2 kg cuelga de un resorte que sigue la ley de Hooke con una costante elastica de 200 N/m.

a) ¿ Cual es la aceleracion de la masa en el instante inmediatamente despues de que se cuelga del resorte y se suelta?

b) Plantee la ecuacion diferencial asociada al movimiento de la masa y halle su solucion planteando correctamente las condiciones iniciales del movimiento

c) Halle la elongacion del resorte cuando la aceleracion de la masa es igual a cero ( es decir cuando el sistema pasa por la posicion de equilibrio)

d) Halle una expresion para la velocidad de la masa en funcion de la deformacion del resorte respecto de la posicion de equilibrio

Aca primero tengo una duda media teorica con los signos cuando el resorte esta vertical como este caso..

para el inciso a tengo que plantear la sumatoria en el eje y, si tomo como positiva la direccion hacia abajo tendria que la sumatoria de la fuerzas en la direccion y es:

$mg - {f}_{e } = -ma$ esta bien poner el signo menos a la aceleracion? porque la aceleracion seria para arriba no? aca me queda la duda...

Ademas ${f}_{e } = ky$ o ${f}_{e }= -ky$ ?? aca tambien me surge esa duda .....

Necesito saber esto de los signos para poder resolver este inciso asi despejo a e igualo y = 0 para el caso particular que me pide..

Para el resto de los incisos necesito antes sacarme esta duda..
Gracias!

[Julián]

Re: resorte hooke

La fuerza elástica se define como ${F}_{e} = -k x$ porque es la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo y siempre es de sentido contrario al desplazamiento $x$. Pero como sabés las fuerzas se ejercen de a pares y la fuerza que el otro cuerpo ejerce sobre el resorte para mantenerlo en esa posición es ${F}_{ext}= k x$.

a) La aceleración que experimenta el cuerpo inmediatamente despues que se deja libre es $\vec{g}$, ya que el peso es la única fuerza que experimenta el cuerpo en ese momento, salvo que el resorte en ese instante no se encontraba en la posición de equilibrio. La fuerza elástica existe cuando el resorte sufre una deformación y es proporcional a la constante elástica y al estiramiento.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

entonces cual tengo q usar? Ky o -Ky ???

Esta formula estaria bien entonces o no? defini la direccion positiva hacia abajo

$mg - {f}_{e } = -ma$


mas alla de que en este caso en particular la Fe sea cero para dejarlo mas generico y entender lo de los signos..

[Julián]

Re: resorte hooke

Para el caso particular de que existiera la fuerza elástica si estaría bien, ahi tomas el sentido hacia abajo como positivo y hacia arriba negativo. Si te parece mejor no hay drama, yo no me complicaría tanto y tomaría como positivo hacia arriba y negativo hacia abajo. En ese caso la fuerza elástica es positiva, porque el $\Delta y$ es negativo, y entonces ${F}_{e} = -k (- \Delta y)= k \Delta y$

Ah, y cuando plantees la ecuación de la dinámica del cuerpo y más si estás tratando de buscar la aceleración al término $m\vec{a}$ no lo pongas negativo. Porque si algo de ese término es puede llevar a ser negativo es la aceleración, la masa siempre es mayor a cero, y si no conoces la aceleración, simplemente dejalo $m\vec{a}$. Luego cuando ingreses los datos a la ecuación ahi obtendrás el sentido de $\vec{a}$

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

en realidad tengo dudas con esto de los signos...por eso no estaba segura ,porque la aceleracion es para arriba no? pero como me doy cuenta de si es para arriba o para abajo? en realdiad no lo se.... y en la ecuacion que plantie anteriormente no se si ahora la Fe la tendria que reemplazar por Ky o -ky...
haciendo como vos decis tomando positivo hacia arriba seria:

${f}_{e }- mg = ma$

y aca a Fe se reemplaza por -Ky o sea que siempre se reemplaza por -Ky o nunca por Ky no?

como en este caso ademas y es negativo queda -k(-y) = Ky

[Julián]

Re: resorte hooke

Que uses $-ky$ o $ky$ depende en que cuerpo estes haciendo el diagrama. En este caso el diagrama de cuerpo libro lo estás haciendo para el cuerpo, asi que la fuerza elástica es la que hace el resorte al cuerpo por lo que $-ky$ porque es "opuesta" al "desplazamiento". Si estiramos el resorte para un lado la fuerza que hace el resorte a nosotros es de sentido contrario al lado en que lo estiramos.
Ahora la fuerza que el cuerpo hace al resorte es la reacción y es de igual magnitud pero de sentido opuesto $ky$.

porque la aceleracion es para arriba no? pero como me doy cuenta de si es para arriba o para abajo?

Si no tenemos como dato la aceleración, llegamos a esta por la tan conocida segunda ley de newton en donde la sumatorias de fuerzas es igual a la aceleración en proporción a la masa del cuerpo. Las fuerzas son magnitudes vectorial, por lo que tienen un sentido asi que nos darán el sentido de la aceleración. por eso te dije anteriormente que cuando plantees la formula no le pongas el menos a $m\vec{a}$ ya que no sabes el sentido de la aceleración. Este te lo va a decir $\vec{a} = \frac{\sum \vec{F} }{m }$

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

ahh creo que ya entendi , si yo siempre hago el diagrama del cuerpo asi que deberia usar siempre -ky

para ver si entendi bien....

A)
${f}_{e } - mg = ma$

$- k (-y) - mg = ma$

$ky -mg = ma$

Pero para el instante que me pide calcular aca la aceleracion el resorte no esta estirado con lo cual y=0 asi que Ky =0 y entonces

$a = -g$

Como defini para arriba como la direccion positiva tengo que la aceleracion es hacia abajo no?

B)
como antes tengo

$ky - mg = ma$

$\frac{\mathrm{d} {y}^{2 } }{\mathrm{d} {t}^{2 } } - \frac{k}{m }y +g = 0$ esta es la ecuacion diferencial no?

y como seria la parte de encontrar su solucion plantenado correctamente las condiciones iniciales del movimiento?

C)$ky - mg = 0$

$y = \frac{mg}{k }$

D) este lo tenog que pensar un poco mas

[Julián]

Re: resorte hooke

El a) y el c) están bien. para el b) $m \frac{{d}^{2}y}{{dt}^{2} } - ky + mg = 0$ Pero no estoy muy seguro

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

cuando usaba resortes horizonales tenia que la ecuacion diferencial es

$\frac{\mathrm{d} {x}^{2 } }{\mathrm{d} {t}^{2 } } + \frac{k}{m }x = 0$

y para esta su solucion es:

$X = A \sin \omega t$

Pero para la ecuacion que obtengo antes nose cual es la solucion... y ademas me llama la atencion que me de el signo de k/m negativo en vez de positivo como en la otra....

[Julián]

Re: resorte hooke

La verdad que no se.
Tiene signo negativo ahora porque lo pase para el otro miembro al igual que al peso. Fijate que ahora el peso es positivo y antes negativo.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

no importa ya alguien mas del foro nos ayudara con este inciso . gracias julian me sacaste varias dudas igual

[arivasm]

Re: resorte hooke

Retomo la cuestión del principio, de los signos. En el post se decía que se elegía sentido positivo hacia abajo (aunque habría sido más cómodo elegirlo hacia arriba, por el motivo que diré más adelante). Por tanto, para aplicar el $\vec F=m\vec a$, que manejaremos en forma de componentes, $F_y=m a_y$, tenemos que la componente del peso es $mg$ y que la de la fuerza elástica restauradora es $-ky$, donde conviene que tengamos claro que $y=0$ corresponde a la posición en la que la longitud del resorte es igual a su valor natural. Como $\dst a_y=\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}$, la ecuación diferencial es

$m\dst\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}=m g - k y$

Para resolverla conviene tener presente que la posición de equilibrio corresponderá a $ky_0=mg$, de manera que si usamos la elongación $x=y-y_0$ nos encontramos con un simple oscilador armónico

$m\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=- k x$

cuya solución conocemos

$x=A\sin(\omega t+\theta_0)$

o bien

$x=A\cos(\omega t+\phi_0)$

Teniendo en cuenta que en el instante $t=0$ es $y=0$ (luego $x=-y_0$) y $v=0$, debes encontrar que $A=y_0$ y que $\theta_0=-\pi/2$ o bien $\phi_0=-\pi$.

Precisamente, lo que se habría vuelto más cómodo si se hubiese elegido el sentido positivo hacia arriba es que una de estas dos fases iniciales habría sido nula, concretamente $\phi_0$.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Holaen tu ecuacion diferencial no te falto la masa?

Si tomo como positiva la direccion hacia arriba no llego a lo mismo que vos porque tengo el signo cambiado o sea me quedaria:

${f}_{e } - mg = m \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}$

$-k(-y) - mg =m \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}$

$\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}= -\frac{k}{ m}y + g$

No seria asi con la masa la ecuacion diferencial? y ademas al quedarme con distinto signo o sea a lo que tenias vos porque pasa esto? cual es la solucion a este tipo de ecuacion diferencial? si es que esta bien

PD: y en tus resultados nos veo como hiciste desaparacer mg y porque hay necesidad de hacer un paso de variables a x...

[arivasm]

Re: resorte hooke

Sí, me he "comido" la masa. Procedo a corregirlo.

Tienes mal la fuerza restauradora: será $-ky$. Piensa que cuando sea $y>0$ deberá ser $f_e<0$ y viceversa. La ecuación será $\dst \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}= -\frac{k}{ m}y - g$ (también tenías un error con el signo que tiene $g$ en la última expresión que escribes).

Para continuar puedes hacer lo mismo que señalé antes: la posición de equilibrio (en la que la aceleración es nula) estará en $y_0=-mg/k$, y la ecuación se vuelve más simple si haces el cambio $x=y-y_0=y+mg/k$. El $mg$ desaparece porque $\dst -\frac{k}{ m}y - g =-\frac{k}{ m}\left(x-\frac{mg}{k}\right) - g=-\frac{k}{ m}x+g-g$.

Sobre si es necesario hacer el cambio de variable, no es imprescindible (si quieres te comento cómo se podría resolver la ecuación sin hacer el cambio), pero tiene dos ventajas. Por una parte, vemos claramente que se trata de un oscilador armónico exactamente igual que si no hubiese gravedad, pero cuya posición de equilibrio no corresponde a que el resorte tenga su longitud natural. Por otra, es más simple la solución de la ecuación diferencial.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Sigo sin entender lo de los signos entonces..... en los inicisos anteriores lo hice mal entonces?

ya sea que tome la direccion positiva hacia arriba o hacia abajo eso deberia ser indiferente a la hora de llegar al resultado no? porque me dan cosas distintas...

por ejemplo si tomo la direccion positiva hacia arriba tengo que

${f}_{e } -mg = ma$

y la fuerza elastica tenia entendido que se reemplazar por -ky. pero como tome la direccion positiva hacia arriba los "y" seran negativos cuando el resorte cae hacia abajo con lo cual Fe = -k (-y) = ky eso use para resolver los demas incisos porque esta mal?

o sea que me quedaria:

$ky -mg = ma$

En cambio si tomo la direccion positiva hacia abajo me tengo:

$mg -{f}_{e } = ma$

donde ahora Fe= -ky y los "y" con positivos porque cuando se mueve el resorte para abajo se mueve hacia los "y" positivos

$mg - (-ky) = ma$

$mg +ky = ma$

Alguna de las 2 formas que hice esta bien? o porque estan mal? no veo esto de los signos...