resorte hooke

[arivasm]

Re: resorte hooke

La fuerza elástica siempre será $-ky$, independientemente de cómo tomes los signos. Piénsalo un poco: compara las dos elecciones de signos y analiza los dos casos posibles para la y, positiva y negativa.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

creo que ahi lo vi mejor... entonces

Si tomo la direccion positiva hacia arriba tengo:

${f}_{e } - mg = ma$

$-ky -mg = ma$

$\dst \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}= -\frac{k}{ m}y - g$ EC. Diferencial

donde ${y}_{0 } = -\frac{mg}{k }$

Asi que haciendo el reemplazo que vos me dijiste llego a :

$\dst \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= -\frac{k}{ m}x$

Pero si tomo la direccion positiva hacia abajo tengo:

$mg - {f}_{e } = ma$

$mg - (-ky) = ma$

$mg +ky = ma$


$\dst \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}= \frac{k}{ m}y + g$ EC. Diferencial

donde ${y}_{0 } = -\frac{mg}{k }$

Asi que haciendo el reemplazo que vos me dijiste llego a :

$\dst \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= \frac{k}{ m}x$


En tu post 12 no te dan asi los signos puede ser que halla sido un error tuyo de tipeo eso?

En un momento en tu post 12 pusiste : $m\dst\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}=m g - k y$

Ambas ec diferenciales que plantie estan bien?

La soluciuon a ambas ecuaciones diferenciales es la misma?

$X = A \sin ( \omega t +\phi )$ esta estoy seguro que es para la primera que me dio -k/mx para la segunda es la misma solucion?

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

LUego de resolver esas dudas debo encontrar el valor de A w y el angulo fi?? esto no entendi como lo hiciste antes...

[arivasm]

Re: resorte hooke

Pero si tomo la direccion positiva hacia abajo tengo:

$mg - {f}_{e } = ma$

$mg - (-ky) = ma$

No, insisto. Sería $mg -ky = ma$

Asi que haciendo el reemplazo que vos me dijiste llego a :

$\dst \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= \frac{k}{ m}x$

Fíjate que esta ecuación ni siquiera sería un oscilador armónico. La solución sería una exponencial, en vez de una senoidal. La causa está en el error anterior. Insisto en que hagas el análisis que te recomendé en el post #16.

LUego de resolver esas dudas debo encontrar el valor de A w y el angulo fi?? esto no entendi como lo hiciste antes...

Piensa que $x=\pm A$ corresponde con los puntos de retroceso, es decir, de velocidad nula, uno de los cuales será el punto de partida. De ahí que $A=mg/k$. Sobre $\omega$ es $\sqrt{k/m}$ (lo que también te viene bien para entender de dónde sale lo que te dije en el hilo del resorte del automóvil). La fase inicial la obtienes a partir de las condiciones en el instante $t=0$, es decir, que $y(0)=0$ (traducido al valor que corresponda para $x$).

Por cierto, hablando de $x$ e $y$ fíjate en que el ejercicio te pide que lo expreses todo en función de $y$, con lo que también deberás deshacer el cambio de variable anterior.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

no entiendo...... o sea ${f}_{e } = -ky$ entonces -fe tiene que ser ky postivo.... no veo porque en la ecuacion anterior me decis que -fe lo tengo que reemplazar por -ky. se supone que fe= -ky siempre me dijiste independientemente de si y es positiva o negatica con lo cual -fe= ky siempre..... y yo en la ecuacion anterior tenia -fe por eso use ky

Por ejemplo si tomo positivo para arriba y tengo

${f}_{e } - mg = 0$

entonces quedaria

$-ky = mg$

y si tomo postivo para abajo seria:

$mg -{f}_{ e} = 0$

y como ${f}_{e } = -ky$ yo aca tengo un signo menos! entonces no seria ky????

$mg - (-ky)) = 0$

$mg = -ky$

[arivasm]

Re: resorte hooke

Veo que te sigues liando. Recordemos, $\vec F_{e}+\vec P = m\vec a$. En componentes $F_{e,y}+m g_y = m a_y$ Tomemos $y$ positivo hacia arriba, tenemos que $F_y=-ky$, es decir, cuando $y>0$ (la masa está por encima del punto de longitud natural del resorte) será $F_y<0$, la fuerza elástica apunta hacia abajo. Análogamente, si $y<0$ la fuerza elástica apunta hacia arriba. Al ser positivo hacia arriba, $g_y=-g$. La ecuación es $ma_y=-ky-mg$. Por tanto, el punto de equilbrio corresponde con $y_0=-mg/k$ (es decir, el punto de equilibrio está por debajo del $y=0$).

Tomemos positivo hacia abajo: $F_y=-ky$, es decir, cuando $y>0$ (la masa está por debajo del punto de longitud natural del resorte) será $F_y<0$, la fuerza elástica apunta hacia arriba. Análogamente, si $y<0$ la fuerza elástica apunta hacia abajo. Al ser positivo hacia abajo, $g_y=g$. La ecuación es $ma_y=-ky+mg$. Por tanto, el punto de equilbrio corresponde con $y_0=mg/k$ (es decir, como antes, el punto de equilibrio está por debajo del $y=0$).

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

mas alla de todo esto de los signos como es lo de encontrar A omega y fi? no lo entendi...

$w =\sqrt{k/m}$ eso lo se por la formula pero lo puedo asumir asi o tenog que encontrar esa formula a partir de lo que tengo?

y con que formulas encuentro lo demas?

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

una duda mas cuando tengo 2 resortes como en el caso del ejercicio del otro post sigue valiendo esto que decis? o sea

mas alla de que tenga F_e o -F_e reemplazo por -ky ??

Porque me parece que no....con un cuerpo en el medio y un resorte de cada lado creo que tendria una fuerza elastica para cada lado con 2 deformaciones distintas F_e1 - F_e2 = ma

y aca si es como vos decis seria : -k1x1 -K2x2 = ma pero yo lo habia hecho como -k1x1 + k2x2 (tomando hacia la izq como positivo) cual es la correcta?

[arivasm]

Re: resorte hooke

Casi mejor contesto en el propio hilo.

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Bueno continuando con el inciso b)


Tenia la ecuacion diferencial : $\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=- \frac{k}{ m} x$

Cuya solucion es:

$x(t) = A \sin (\omega t + \phi )$

Tengo que determinar A, w y phi

Para A:
es la amplitud y la misma se alcanza en los puntos donde la velocidad es cero

La velocidad es la derivada de la posicion asi que es:

$v(t) = A \cos (\omega t + \phi )$

de aca tenog que encontrar A??

Para w:

Aca simplemente digo que $w= \sqrt{\frac{k}{ m} }$ por la formula que ya conozco?

Para phi?
Aca nose...

[arivasm]

Re: resorte hooke

Tenia la ecuacion diferencial : $\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=- \frac{k}{ m} x$

Cuya solucion es:

$x(t) = A \sin (\omega t + \phi )$

Para w:

Aca simplemente digo que $w= \sqrt{\frac{k}{ m} }$ por la formula que ya conozco?

Haz la substitución $x(t) = A \sin (\omega t + \phi )$ en la ecuación diferencial: como $\dd^2 x/\dd t^2=-\omega^2 A \sin(\omega t+\phi)=-\omega^2 x$ al comparar ves que $\omega^2=k/m$. Es de aquí de donde sale la fórmula.

Para la amplitud: el punto de partida (que era el de $y=0$) corresponde con velocidad 0, luego $A=|y_0|=mg/k$.

Para la fase inicial: si tomamos $t=0$ para el punto de partida tenemos que $x(0)=A\cos\phi$. Así pues, ahora sólo depende de la puñetera elección de signos que hayas hecho antes. Si has optado por positivo hacia arriba, el punto de partida estará en $x(0)=A$, de manera que $1=\cos\phi$ y entonces $\phi=0$.

Si prefieres positivo hacia abajo, será $x(0)=-A$, y entonces $-1=\cos\phi$ y $\phi=\pi$

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

la amplitud es A = mg/k o A= -mg/k dependiendo de como tome los signos

Pero tomas el valor absoluto de esto porque la amplitud siempre tiene q ser positiva no?

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Para phi:

yo tome $x(t) = A \sin (\omega t + \phi )$

Asi que para el calculo de phi en realidad seria $x(0)=A\sin \phi$ no?

POSITIVO HACIA ARRIBA:

$x(0)=A\sin \phi$

$\frac{mg}{k } = A \sin \phi$

Como $A = \frac{mg}{ k}$ entonces

$1 = \sin \phi$

$\phi = 90$

POSTIVIO HACIA ABAJO:

$x(0)=A\sin \phi$

$- \frac{mg}{k } = A \sin \phi$

Como $A = \frac{mg}{ k}$ entonces

$-1 = \sin \phi$

$\phi = -90$

Finalmente si positivo hacia arriba:

$x(t) = 0,0981 \sin (10 t + 90 )$

y si positivo hacia abajo:

$x(t) = 0,0981 \sin (10 t - 90 )$


Esta bien? la amplitud en ambos casos se pone positiva no?

[LauraLopez]

Re: resorte hooke

Por ultimo para el inciso d)

tomo POSITIVO HACIA ARRIBA:

$-ky - mg = ma$

Esto lo puedo llevar a

$\frac{( -ky -mg )}{ m} dx = v dv$

e integrar ambos miembros

$\int v dv = -\frac{1}{m } \int (ky + mg) dy$

y los extremos de integracion aca serian entre ${y}_{0 } = -\frac{mg}{ k}$ e y no?

porque me pide en funcion de la posicion de equilibro asi que reemplazo y tengo:

$\frac{{v}^{2 } }{2 } = -\frac{1}{m } (\frac{k}{2 } ({y}^{2 } - {(\frac{mg}{ k} })^{2 } ) + mg ( y + \frac{mg}{k } )$

Voy bien esa es la idea?

Si voy bien me termina quedando :

$V(y) = \sqrt{y(-\frac{k}{m }y + 2g ) - \frac{m{g}^{2 } }{k } }$

Resultado medio raro...

[arivasm]

Re: resorte hooke

Respecto de la amplitud: sí, se procura tomarla positiva.

Respecto de la fase inicial: lo que pones es correcto. Perdona por haber mezclado los cosenos (también se podrían usar y, en este caso, con más comodidad, al poder conducir a una fase inicial nula).

Sobre lo último que has escrito: la 2ª expresión que escribes no tiene buena pinta y el procedimiento lo encuentro innecesariamente complicado. La línea típica para este inciso es la siguiente: tienes la expresión para $y$ (la encuentras deshaciendo el cambio para $x$), en ella te aparece el seno de la fase (me refiero a $\sin(\omega t+\phi)$). Al derivar respecto del tiempo para tener la velocidad te aparecerá el coseno de la fase. Después simplemente basta con usar que $\sin^2(\omega t+\phi)+\cos^2(\omega t+\phi)=1$.

En términos de $x$ la relación es $v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$.

Otro enfoque es la conservación de la energía: $\frac{1}{2}mv^2+mgy+\frac{1}{2}ky^2=0$ (pues para $y=0$ es $v=0$). Comprueba que obtienes el mismo resultado de las dos maneras.