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Hilo: Derivada de una Integral :)

  1. #1
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    Predeterminado Derivada de una Integral :)

    Hola, en esta ocasión me he encontrado con un ejercicio y va así:

    Sabiendo que h:\mathbb{R}\to \mathbb{R} es una función continua, el valor de:

    \frac{\dd }{\dd t}\int_{x-t}^{x+t}h(s)\dd s

    He estado buscando como resolverla y he encontrado algo a lo que llaman regla general del Leibniz y dice mas o menos así:

    \frac{\dd}{\dd t}\int_{f_1(x)}^{f_2(x)}g(t,x)\dd t=g(f_2(x),x)f'_2(x)-g(f_1(x),x)f'_1(x)+\int_{f_...

    Lo que me gustaría saber es como se deduce la expresión (ii), o si es que hay otra forma de resolver (i).

    Gracias de antemano

  2. #2
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Acá encontré un lugar donde al parecer hacen una demostración...

    http://www2.wiwi.hu-berlin.de/instit...sentation1.pdf

    Disculpen que no hago un post medianamente digno explicando la demostración, pero la verdad es que hay algunas cosas que no entendí...
    Hace 2 o 3 años que no veo nada de mucha matemática y estoy olvidado de la mayoría de las cosas... (Luego de esto he quedado un poco preocupado con la volatibilidad de mi memoria, sobre todo en estas cuestiones medias básicas!)

    Al parecer el pique está en considerar a la integral como una función: G(x,$\alpha$, $\beta$) siendo $\alpha$ = $f_{1}(x)$ y $\beta$ = $f_{2}(x)$. Y luego aplicar regla de la cadena.

    Espero sirva de algo, saludos,
    Rolo

  3. El siguiente usuario da las gracias a Rolo por este mensaje tan útil:

    [Beto] (30/04/2008)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Ya se, ya se, esta duda va a parecer inocente pero alguien me podría explicar ¿como sale esto?:

    \frac{\dd}{\dd x}G(x,f_1(x),f_2(x))={\frac{\partial G}{\partial x}}+{\frac{\partial G}{\partial f...

    Lo demás si me ha quedado lo suficientemente claro

  5. #4
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Cita Escrito por N30F3B0 Ver mensaje
    Ya se, ya se, esta duda va a parecer inocente pero alguien me podría explicar ¿como sale esto?:

    \frac{\dd}{\dd x}G(x,f_1(x),f_2(x))={\frac{\partial G}{\partial x}}+{\frac{\partial G}{\partial f...

    Lo demás si me ha quedado lo suficientemente claro
    Esto es la regla de la cadena, o por aquí popularmente conocido como la regla de la cadena, no recuerdo su nombre más formal.

     
 
$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)).g'(x) = \frac{d}{du}f(u).\frac{d}{dx}g(x)$ evaluado en $u = g...

    Lo que aparece allí es su generalización para varias variables.
    Saludos,
    Rolo

  6. #5
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Cita Escrito por N30F3B0 Ver mensaje
    Hola, en esta ocasión me he encontrado con un ejercicio y va así:

    Sabiendo que h:\mathbb{R}\to \mathbb{R} es una función continua, el valor de:

    \frac{\dd }{\dd t}\int_{x-t}^{x+t}h(s)\dd s
    Hola. Partiendo de la definición de derivada (dt es muy pequeño),

    dF(t)/dt = (F(t+dt)-F(t))/dt

    y de la definición de integral

    \int_a^{t+dt} h(s) ds = \int_a^{t} h(s) ds + dt  \; h(t)

    a mi me sale inmediatamente que tu integral es h(x+t)+h(x-t)

  7. El siguiente usuario da las gracias a carroza por este mensaje tan útil:

    [Beto] (30/04/2008)

  8. #6
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Efectivamente, es la regla integral de Leibniz. Mira por aquí, a ver si te sirve de ayuda:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

    (viene demostrada).

  9. El siguiente usuario da las gracias a polonio por este mensaje tan útil:

    [Beto] (30/04/2008)

  10. #7
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Gracias a todos, ahora ya me ha quedado claro

    Pero:

    Cita Escrito por carroza
    a mi me sale inmediatamente que tu integral es h(x+t)+h(x-t)
    No es tan inmediato

  11. #8
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Cita Escrito por N30F3B0 Ver mensaje
    No es tan inmediato
    Sí que lo es. Por la regla de Barrow, sabes que la integral es

    \int_{x-t}^{x+t} \!\! \dd s \ h(s) = F(x+t)-F(x-t)\ ,

    donde \frac{\dd}{\dd s} F(s) = h(s). Derivar eso eso es muy sencillito
    "No he fracasado, sólo he encontrado 10000 formas que no funcionan",Thomas Edison
    "Sólo aquellos que intenten lo absurdo conseguirán lo imposible", M.C. Escher
    @lwdFisica

  12. #9
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    Predeterminado Re: Derivada de una Integral :)

    Cita Escrito por pod Ver mensaje
    Sí que lo es. Por la regla de Barrow, sabes que la integral es

    \int_{x-t}^{x+t} \!\! \dd s \ h(s) = F(x+t)-F(x-t)\ ,

    donde \frac{\dd}{\dd s} F(s) = h(s). Derivar eso eso es muy sencillito

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