Derivada de una Integral :)

[[Beto]]

Hola, en esta ocasión me he encontrado con un ejercicio y va así:

Sabiendo que $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función continua, el valor de:

$$\frac{\dd }{\dd t}\int_{x-t}^{x+t}h(s)\dd s$$

He estado buscando como resolverla y he encontrado algo a lo que llaman regla general del Leibniz y dice mas o menos así:

$$\frac{\dd}{\dd t}\int_{f_1(x)}^{f_2(x)}g(t,x)\dd t=g(f_2(x),x)f'_2(x)-g(f_1(x),x)f'_1(x)+\int_{f_1(x)}^{f_2(x)}\frac{\partial }{\partial x} g(t,x)\dd t$$

Lo que me gustaría saber es como se deduce la expresión (ii), o si es que hay otra forma de resolver (i).

Gracias de antemano

[Rolo]

Re: Derivada de una Integral

Acá encontré un lugar donde al parecer hacen una demostración...

http://www2.wiwi.hu-berlin.de/institute/wt1/lectures/design/06/download/presentation/presentation1.pdf

Disculpen que no hago un post medianamente digno explicando la demostración, pero la verdad es que hay algunas cosas que no entendí...
Hace 2 o 3 años que no veo nada de mucha matemática y estoy olvidado de la mayoría de las cosas... (Luego de esto he quedado un poco preocupado con la volatibilidad de mi memoria, sobre todo en estas cuestiones medias básicas!)

Al parecer el pique está en considerar a la integral como una función: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Y luego aplicar regla de la cadena.

Espero sirva de algo, saludos,
Rolo

[[Beto]]

Re: Derivada de una Integral

Ya se, ya se, esta duda va a parecer inocente pero alguien me podría explicar ¿como sale esto?:

$$\frac{\dd}{\dd x}G(x,f_1(x),f_2(x))={\frac{\partial G}{\partial x}}+{\frac{\partial G}{\partial f_1(x)}\frac{\dd f_1(x)}{\dd x}}+{\frac{\partial G}{\partial f_2(x)}\frac{\dd f_2(x)}{\dd x}}$$

Lo demás si me ha quedado lo suficientemente claro

[Rolo]

Re: Derivada de una Integral

Ya se, ya se, esta duda va a parecer inocente pero alguien me podría explicar ¿como sale esto?:

$$\frac{\dd}{\dd x}G(x,f_1(x),f_2(x))={\frac{\partial G}{\partial x}}+{\frac{\partial G}{\partial f_1(x)}\frac{\dd f_1(x)}{\dd x}}+{\frac{\partial G}{\partial f_2(x)}\frac{\dd f_2(x)}{\dd x}}$$

Lo demás si me ha quedado lo suficientemente claro

Esto es la regla de la cadena, o por aquí popularmente conocido como la regla de la cadena, no recuerdo su nombre más formal.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que aparece allí es su generalización para varias variables.
Saludos,
Rolo

[carroza]

Re: Derivada de una Integral

Hola, en esta ocasión me he encontrado con un ejercicio y va así:

Sabiendo que $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función continua, el valor de:

$$\frac{\dd }{\dd t}\int_{x-t}^{x+t}h(s)\dd s$$

Hola. Partiendo de la definición de derivada (dt es muy pequeño),

$dF(t)/dt = (F(t+dt)-F(t))/dt$

y de la definición de integral

$\int_a^{t+dt} h(s) ds = \int_a^{t} h(s) ds + dt \; h(t)$

a mi me sale inmediatamente que tu integral es h(x+t)+h(x-t)

[polonio]

Re: Derivada de una Integral

Efectivamente, es la regla integral de Leibniz. Mira por aquí, a ver si te sirve de ayuda:

http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

(viene demostrada).

[[Beto]]

Re: Derivada de una Integral

Gracias a todos, ahora ya me ha quedado claro

Pero:

a mi me sale inmediatamente que tu integral es h(x+t)+h(x-t)

No es tan inmediato

[pod]

Re: Derivada de una Integral

No es tan inmediato

Sí que lo es. Por la regla de Barrow, sabes que la integral es

$$\int_{x-t}^{x+t} \!\! \dd s \ h(s) = F(x+t)-F(x-t)\ ,$$

donde $\frac{\dd}{\dd s} F(s) = h(s)$. Derivar eso eso es muy sencillito

[[Beto]]

Re: Derivada de una Integral

Sí que lo es. Por la regla de Barrow, sabes que la integral es

$$\int_{x-t}^{x+t} \!\! \dd s \ h(s) = F(x+t)-F(x-t)\ ,$$

donde $\frac{\dd}{\dd s} F(s) = h(s)$. Derivar eso eso es muy sencillito