Divulgación Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

[inakigarber]

Buenas noches;

Llevo algún tiempo leyendo (y tratando de entender) la mecánica cuántica de Cohen Tannoudji, pero me he perdido en lo referente a la ecuación de Schrodinger. En el apartado B "MATERIAL PARTICLES AND MATTER WAVES". En los primeros párrafos habla de la hipotesis de de Broglie (aspecto que entiendo), pero me pierdo cuando se refiere a la ecuación citada. Es cierto que es la primera vez que me enfrento a esta ecuación y estoy un tanto perdido. Bien vamos a ver si a través de un ejemplo sencillo empiezo a entender.
Supongamos por ejemplo el caso de una onda senoidal, por ejemplo un campo eléctrico. $E_{x,t}=E_0\ cos (kx-\omega t)$
¿Como se aplicaría este caso a la ecuación de Schrodinger? ¿Como debo encararlo para entenderlo entenderlo?

Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Hola!

Supongamos por ejemplo el caso de una onda senoidal, por ejemplo un campo eléctrico. $E_{x,t}=E_0\ cos (kx-\omega t)$
¿Como se aplicaría este caso a la ecuación de Schrodinger? ¿Como debo encararlo para entenderlo entenderlo?

Primeramente comentar que estás mezclando cosas distintas, la ecuación de Schrödinger y el campo eléctrico. Si bien es cierto que el campo eléctrico sigue una ecuación de onda, no tiene nada que ver esta ecuación con la ecuación de Schrödinger la cuál rige el comportamiento de los electrones.

Si ya conoces un poco de mecánica matricial habrás visto que se toma la igualdad de matrices (matrices infinitas):

$$H=\frac{1}{2m}P^2+V(X)$$

Y la relación de Born: $[X,P]=i\hbar$
Imaginemos ahora un vector propio de la energía: $Hu=Eu$ donde $E$ es un número real positivo. Entonces aplicando $u$ a la ecuación anterior:

$$Eu=\frac{1}{2m}P^2u+V(X)u$$

Si has leído sobre mecánica matricial, sabrás que los vectores del espacio representan los posibles estados del sistema.

Pero, ¿y si por comodidad trabajamos con operadores en un espacio de Hilbert dado por las funciones de cuadrado integrable $\int_{-\infty}^{+\infty} |\phi(x)|^2 dx < + \infty$? Hemos de encontrar dos operadores $X$ y $P$ que cumplan la relación de Born, el ejemplo más típico y sencillo es $X=x$ (multiplicar la función por x) y $P=-i\hbar\frac{d}{dx}$ (derivar la función respecto de x y multiplicarlo por $-i \hbar$). Si sustituimos esto en la ecuación para hallar autovalores y autovectores de la energía, y dándonos cuenta que ahora nuestro vector es una función $u=\Psi(x)$, nos queda:

$$E\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}+V(x)\Psi(x)$$

La ecuación de Schrödinger.


No sé si con esta transición de la mecánica matricial a la ondulatoria se ve mejor el significado de la ecuación.

Saludos

[Mossy]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

La ecuación de Schrödinger describe la evolución de la función de onda $\psi (\vec{r},t)$ para una partícula de masa $m$. Un campo eléctrico se propaga como una onda de masa cero, y por tanto no evoluciona con la ecuación de Schrödinger (concretamente, evoluciona con la ecuación de ondas).

Para entender bien esta ecuación es interesante estudiar su resolución en los casos más típicos: partícula libre (V=0), partícula en una caja (libre + condiciones de contorno), barrera y salto de potencial (V=cte, efecto túnel), oscilador armónico (V ~ $x^2$), átomo de hidrógeno (V ~ 1/r), etc.
No conozco mucho el Cohen (personalmente me gustaban más otros libros), pero tiene que tener como mínimo estos casos resueltos.

Es importante notar que la ecuación de Schrödinger junto con las condiciones de contorno te permiten obtener dos soluciones: las posibles funciones de onda que puede tomar la partícula (y con esto, su distribución espacial) y su espectro energético (es decir, las energías que puede tomar). El estudio de ambas te permitirá obtener un conocimiento más profundo de la mecánica cuántica.

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Gracias a ambos por vuestras respuestas.

Hola!

Primeramente comentar que estás mezclando cosas distintas, la ecuación de Schrödinger y el campo eléctrico. Si bien es cierto que el campo eléctrico sigue una ecuación de onda, no tiene nada que ver esta ecuación con la ecuación de Schrödinger la cuál rige el comportamiento de los electrones.

La ecuación de Schrödinger describe la evolución de la función de onda $\psi (\vec{r},t)$ para una partícula de masa $m$. Un campo eléctrico se propaga como una onda de masa cero, y por tanto no evoluciona con la ecuación de Schrödinger (concretamente, evoluciona con la ecuación de ondas).

Bien está claro que me he equivocado, a ver si voy entendiendo. La ecuación de Schrodinger determina la probabilidad de encontrar un electrón (por ejemplo) en una determinada posición ¿es así?

Vamos a ver si a partir de lo que entiendo (o eso creo) puedo determinar lo que no entiendo.
Supongamos un electrón en un pozo de potencial infinito de longitud L. Para simplificar supondré que tiene una única dimensión,es decir, tiene dos grados de libertad (izquierda y derecha, por ejemplo). Desde el punto de vista de la física clásica el problema tiene poca relevancia, el electrón es una partícula y no una onda y puede encontrarse en cualquier lugar (dentro de los límites del pozo) y desplazarse a cualquier velocidad, es decir con cualquier energía cinética.

En física cuántica eso no es así. El electrón es una partícula y una onda a la vez una onda estacionaria dentro del pozo. Una onda estacionaría dentro del pozo puede tener infinitos valores de longitud de onda pero estos estarán cuantizados en función de la expresión

$$\lambda_n=\dfrac{2L}{n},\ n=1,2,3,.....etc$$

Donde L es la longitud del pozo y n un número entero igual ó mayor que 1.

Bien, por otra parte de Broglie relaciona una magnitud dinámica (asociada al movimiento y la energía cinética) con una magnitud ondulatoria como la longitud de onda gracias a la relación;
$P=\frac{h}{\lambda}$
De manera que va a haber una serie de momentos y de energías permitidos;

$$P_n=\frac{hn}{2L}$$

$$E_n=\dfrac{(hn)^2}{8L^2m_e}$$

Donde $m_e$ es la masa del electrón.
Esto es todo lo que llego a entender de mecánica cuántica.

Es más que nada, al menos me permite entender porque a nivel de mecánica cuántica se habla de niveles permitidos y de un nivel de energía mínimo a partir del cual un electrón no puede ceder más energía.

No obstante, sigo pensando que en física cuántica, continua escapándoseme lo fundamental de la cuestión.

¿Que debo hacer para seguir adelante?

[Mossy]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Sí, está bien. Sólo "caben" ciertas longitudes de onda en la caja, por lo tanto sólo están permitidos ciertos momentos y energías para la partícula. Es una solución bastante sencilla que tiene bastantes aplicaciones a la hora de modelar problemas más complejos.

Una vez conoces las energías, puedes graficar la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en la caja (haciendo el módulo cuadrado de la función de onda). Estas vienen dadas por $\psi _n (x) = \sqrt{2/L} \sin{(k_n x)}$ si mal no recuerdo. Es interesante recuperar el límite clásico en estos modelos, que se hacen poniendo $n>>1$ (es decir, cuando las energías son muy grandes y no hay mucha diferencia energética entre un nivel y el anterior $E_n \approx E_{n-1}$). Intuitivamente cuando la energía sea muy grande la oscilación del seno será tan rápida que recuperarás una densidad de probabilidad uniforme (como pasaría con una pelota de tenis en el mismo problema).

Si no tienes ningún software para hacer gráficas, te recomiendo Geogebra que es online y gratuito. Una vez hayas entendido e interiorizado el problema, puedes pasar al siguiente de los que te he mencionado o de los que traiga tu libro. Siempre es interesante graficar las soluciones, recuperar el límite clásico del problema y poner valores para obtener las energías y ver de qué orden de magnitud hablamos (recuerda que las distancias en física cuántica suelen ser nanométricas). También la realización de los ejercicios del libro te ayudará a interiorizar conceptos.

[arivasm]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Antes de nada: sobre cómo introduce Cohen la ecuación de Schrödinger, fíjate que dice que no demuestra de dónde sale o cómo se propone. Digamos que lo más sencillo es aceptar que toma esa forma. Por otra parte, también señala que se trata más adelante, en el capítulo 3. Por cierto, préstale atención a los elementos que constituyen la formalización en el apartado 2 (Funciones de onda. Ecuación de Schrödinger). Quédate con la idea de que la ecuación de Schrödinger proporciona la metodología para determinar las funciones de onda válidas.

El ejemplo de la partícula en la caja unidimensional de potencial infinito es uno de los más adecuados para introducirse en la ecuación de Schrödinger.

Hay varias formas de plantearlo, una de ellas procede del enfoque que hace Cohen en el apartado C (Descripción cuántica de una partícula. Paquetes de ondas): las soluciones para una partícula libre son combinaciones lineales de ondas planas. Como la densidad de probabilidad debe ser nula en las paredes del pozo, si nos centramos en las componentes formadas por una sola onda plana (que es lo mismo que plantearse cuáles son las bases para el espacio que resultan de las combinaciones lineales de las mismas) las válidas son aquellas ondas planas cuyo valor es nulo en esos puntos, lo que equivale a cuantizar los niveles permitidos (en concreto sólo son válidas aquéllas ondas planas tales que la anchura del pozo sea un múltiplo entero de la semilongitud de onda).

Otra alternativa es recurrir a la forma independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger (en el libro de Cohen es la D-9, D-10). Si te parece, vamos a considerar este enfoque. Por fijar ideas, sean los límites del pozo los puntos $x=0$ y $x=L$. Como la ecuación independiente del tiempo es

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi=E\Psi$

en el interior del pozo toma la forma

$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=E\Psi$

que enseguida identificamos con la forma de una ecuación diferencial armónica:

$\Psi''=-\omega^2\Psi$

con

$\omega^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}$

y cuyas soluciones son de la forma general

$\Psi(x)=A\sin(\omega x+c)$

Como $\Psi(0)=0$ tenemos que $c=0$. Como $\Psi(L)=0$ tenemos que $\omega L=n\pi$, lo que nos lleva de un golpe a las energías de los orbitales permitidos:

$E_n=\dfrac{h^2}{8mL^2}n^2$

y que las funciones de onda correspondientes son de la forma

$\Psi_n(x)=A\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Si además imponemos la condición de que las funciones de onda representen a través de su cuadrado la densidad de probabilidad (es decir, las normalizamos) entonces encontramos, como te decía Mossy, que

$\Psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Cualquier otro estado podemos representarlo mediante una combinación lineal de estas funciones: $\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n(t)\Psi_n(x)$. Al llevarlo a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo encontraremos las ecuaciones que describen la evolución de los coeficientes $c_n(t)$ (a los que además se les suele imponer la condición de que $\sum_{n=1}^\infty |c_n(t)|^2=1$ para mantener la normalización).

Fíjate que es lo mismo que has escrito tú, pero llegando de una manera diferente, y que refleja cómo se usa la ecuación de Schrödinger: lo único que cambia es el potencial (y entonces, también las dificultades que supone resolver la ecuación). Pero conceptualmente el proceso será el mismo, poco importa que se trate de una partícula en un pozo infinito de potencial unidimensional que sea un electrón en el potencial coulombiano del núcleo (átomo de hidrógeno). Al resolverla, las condiciones de frontera se traducirán en la selección de unas cuantas funciones de onda de "buen comportamiento", que vendrán caracterizadas por uno o más números cuánticos, y a cada una de las cuales le corresponderá una energía. El sistema, además, podrá encontrarse en superposiciones de esos estados, con probabilidades para cada uno de los estados (los $|c_n(t)|^2$) que oscilarán, según las reglas que se sigan de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

- - - Actualizado - - -

Acabo de darme cuenta de que aquí hay un gazapo:

Es interesante recuperar el límite clásico en estos modelos, que se hacen poniendo $n>>1$ (es decir, cuando las energías son muy grandes y no hay mucha diferencia energética entre un nivel y el anterior $E_n \approx E_{n-1}$). Intuitivamente cuando la energía sea muy grande la oscilación del seno será tan rápida que recuperarás una densidad de probabilidad uniforme (como pasaría con una pelota de tenis en el mismo problema).

En el caso del pozo unidimensional infinito las energías crecen con $n^2$, con lo que no es cierto que $E_n\approx E_{n-1}$. Al contrario, a medida que crece $n$ las diferencias aumentan más y más.

La clave está en que este sistema es ligado para todas las energías. El comportamiento que señala Mossy se produce si el sistema admite estados no ligados, es decir, aquéllos en los que existen energías para las cuales la partícula podría alcanzar el infinito. Un ejemplo, que se desarrolla en el Cohen, es el pozo unidimensional finito.

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Antes de nada: sobre cómo introduce Cohen la ecuación de Schrödinger, fíjate que dice que no demuestra de dónde sale o cómo se propone. Digamos que lo más sencillo es aceptar que toma esa forma. Por otra parte, también señala que se trata más adelante, en el capítulo 3. Por cierto, préstale atención a los elementos que constituyen la formalización en el apartado 2 (Funciones de onda. Ecuación de Schrödinger). Quédate con la idea de que la ecuación de Schrödinger proporciona la metodología para determinar las funciones de onda válidas....

Cuando escribí el pòst no había leído el capítulo completo, (aun no lo he leído). Lo que dice Cohen viene a ser algo así como "la ecuación de Schrodinger tiene la forma siguiente

$$\boxed{{i\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} (\Psi_{(r,t)}}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi_{(r,t)}}+V_{(rt)\Psi_{r,t}}}$$

no vamos de momento a explicarlo de momento, (o sea que de momento me conformo con creérmelo)"
Donde $\Delta=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}$ es un Laplaciano. Algo a lo que ya me enfrenté cuando el verano pasado me interesé por las ecuaciones de Maxwell. Aquí también tiene el mismo significado ¿Es así? (será un buen motivo para repasar el dichas ecuaciones). Bien para empezar a familiarizarme con la ecuación, de alguna forma me lo tomo como un juego. Vamos a jugar a la ecuación de Schrodinger, para eso necesito saber lo que significan los distintos elementos y como se usan.

¿Como se aplicaría esta ecuación al ejemplo que puse arriba del electrón en el pozo de potencial infinito (y unidimensional)?

[Alriga]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

... la ecuación de Schrodinger tiene la forma siguiente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Donde $\dst \Delta=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}$ es un Laplaciano. Algo a lo que ya me enfrenté cuando el verano pasado me interesé por las ecuaciones de Maxwell. Aquí también tiene el mismo significado ¿Es así? ...

Sí. $\Delta \equiv \nabla^2 \equiv$ divergencia del gradiente

... ¿Como se aplicaría esta ecuación al ejemplo que puse arriba del electrón en el pozo de potencial infinito (y unidimensional)?...

La partícula en el pozo de potencial infinito es justo lo que te ha posteado arivasm en el post #6 Puedes mirar también aquí: Partícula en una caja (pozo de potencial infinito)

Saludos.

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Buenas tardes,
He estado un tiempo apartado del foro, y no he podido avanzar mucho sobre lo arriba expuesto, pero no quiero dejar este tema abandonado. Por poner un ejemplo, en esta imagen que he obtenido de la wikipedia.

El electrón que está dentro del pozo, estará sujeto a unas energías permitidas de acuerdo con la expresión $E_n=\dfrac{h^2}{8mL^2}n^2$, la amplitud de onda respecto a la línea horizontal nos va a indicar la probabilidad de encontrarnos el electrón en esa zona. Por ejemplo para n=1 estará con más probabilidad en el centro del pozo, para n=2 será prácticamente imposible encontrarlo ahí. En todos los casos será practicamente imposible encontrarlo en los extremos.
¿Como debo utilizar la ecuación de Schrodinger para demostrar eso?

[arivasm]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

¿Como debo utilizar la ecuación de Schrodinger para demostrar eso?

Es la demostración que hice en el post #6.

Por fijar ideas, sean los límites del pozo los puntos $x=0$ y $x=L$. Como la ecuación independiente del tiempo es

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi=E\Psi$

en el interior del pozo toma la forma

$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=E\Psi$

que enseguida identificamos con la forma de una ecuación diferencial armónica:

$\Psi''=-\omega^2\Psi$

con

$\omega^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}$

y cuyas soluciones son de la forma general

$\Psi(x)=A\sin(\omega x+c)$

Como $\Psi(0)=0$ tenemos que $c=0$. Como $\Psi(L)=0$ tenemos que $\omega L=n\pi$, lo que nos lleva de un golpe a las energías de los orbitales permitidos:

$E_n=\dfrac{h^2}{8mL^2}n^2$

y que las funciones de onda correspondientes son de la forma

$\Psi_n(x)=A\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Si además imponemos la condición de que las funciones de onda representen a través de su cuadrado la densidad de probabilidad (es decir, las normalizamos) entonces encontramos, como te decía Mossy, que

$\Psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Buenos días,
Siento muco decirlo, pero me pierdo en los pasos, empezando por los dos primeros.

[Alriga]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

... me pierdo en los pasos, empezando por los dos primeros ...

Ecuación de Schrodinger:

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi=E\Psi$

Definición del pozo de potencial de la imagen:

$$x \leq 0 \Rightarrow \ V(x)=\infty$$

$$0 < x < L \Rightarrow \ V(x)=0$$

$$x \geq L \Rightarrow \ V(x)=\infty$$

Queremos resolver la ecuación de Schrodinger en el interior del pozo, o sea donde $0 < x < L \Rightarrow$ $V(x)=0$

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+0\right]\Psi=E\Psi$

$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi=E\Psi$

$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=E\Psi$

$\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=-\dfrac{2 m E}{\hbar^2} \Psi$

Definimos $\dfrac{2 m E}{\hbar^2}=\omega^2$

$\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=- \omega^2 \Psi$

$$\Psi''=- \omega^2 \Psi$$

... para n=1 estará con más probabilidad en el centro del pozo, para n=2 será prácticamente imposible encontrarlo ahí. En todos los casos será practicamente imposible encontrarlo en los extremos.
¿Como debo utilizar la ecuación de Schrodinger para demostrar eso?

arivasm te ha demostrado que la solución de esta ecuación diferencial, cumpliendo la condición de que las funciones de onda representen a través de su cuadrado la densidad de probabilidad (es decir normalizada), es:

$\Psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Por lo tanto:

$\Psi_n^2 (x)=\dfrac{2}{L}\sin^2\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Mira donde están los máximos para n=1, 2, 3, ...

Saludos.

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Bien, creo que estoy empezando a aclarar las cosas.
Una de las formas más lógicas de simplificar un problema en física es tratar de fijarnos en lo que permanece constante, para eso están las leyes de conservación, lo que permanece constante en este caso es la energía.
$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+0\right]\Psi=E\Psi$
El primer término correspondería a la energía cinética ¿Es asì? (aunque no entiendo el signo negativo) y el segundo a la variación de energía potencial (que en este caso permanece constante a lo largo de la caja), por lo que vale 0. (En cierto modo me recuerda a la ecuación de Bernoulli, o a la ley de las áreas de Kepler en las cuales se parte de la constancia de la energía o del momento angular).

Me pierdo cuando decis;
$\dfrac{2 m E}{\hbar^2}=\omega^2$

Seguiré dándole vueltas a la cuestión.

[Alriga]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

... Me pierdo cuando dices;
$\dfrac{2 m E}{\hbar^2}=\omega^2$

Iñaki es una definición. Al cociente $\dfrac{2 m E}{\hbar^2}$ yo puedo bautizarlo con la letra que me de la gana, $\omega^2$ o B, o P, o $\lambda^4$, o ... como quiera.

* Se elige algo al cuadrado para resaltar que $\dfrac{2 m E}{\hbar^2}$ es necesariamente positivo.

* Se elige la letra $\omega^2$ omega porque así la ecuación diferencial $\Psi''=- \omega^2 \Psi$ queda FORMALMENTE igual a la conocidísima ecuación del movimiento armónico simple, con lo cual podemos aprovechar todo lo que ya sabemos de como solucionar esa ecuación diferencial para solucionar la nuestra.

Saludos

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Iñaki es una definición. Al cociente $\dfrac{2 m E}{\hbar^2}$ yo puedo bautizarlo con la letra que me de la gana, $\omega^2$ o B, o P, o $\lambda^4$, o ... como quiera.

* Se elige algo al cuadrado para resaltar que $\dfrac{2 m E}{\hbar^2}$ es necesariamente positivo.

* Se elige la letra $\omega^2$ omega porque así la ecuación diferencial $\Psi''=- \omega^2 \Psi$ queda FORMALMENTE igual a la conocidísima ecuación del movimiento armónico simple, con lo cual podemos aprovechar todo lo que ya sabemos de como solucionar esa ecuación diferencial para solucionar la nuestra.

Saludos

Así si, yo había me había confundido, ya que pensaba en$\omega=2\pi f$, y no veía relación entre dicha fórmula y la frecuencia angular. Obviamente al ser un cuadrado, el resultado es siempre positivo (tratándose de números reales).
Ahora está todo más claro.

Saludos y gracias.