Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

[Alriga]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi=E\Psi$

El primer término correspondería a la energía cinética ¿Es asì? ...

Según yo creo medio entender, el corchete es el Hamiltoniano cuántico que es el observable que representa la energía total del sistema, como dice en ese enlace, formalmente se define como un operador autoadjunto definido sobre un dominio denso en el espacio de Hilbert del sistema.

El primer sumando del corchete corresponde a la energía cinética de la partícula y el segundo a la energía potencial. Los posibles valores de la energía "E" de un sistema físico vienen dados por los valores propios del operador hamiltoniano, recuerda que en álgebra un valor propio "E" de un operador [H] es el que cumple

$[\bold{H}] \ (\Psi) = E \cdot (\Psi)$

De acuerdo con esta ecuación, a cada valor propio $E_n$ le corresponde un vector propio $\Psi_n$ Estas funciones propias $\Psi_n$ forman una base algebraica del Espacio de Hilbert, de tal manera que cualquier función de onda permitida se puede expresar como combinación lineal de las funciones de la base, (de la misma manera que en un Espacio Vectorial cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de una base)

Los valores propios son $E_n=\dfrac{h^2}{8mL^2}n^2$

Los vectores propios son $\Psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Saludos.

[alexpglez]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+0\right]\Psi=E\Psi$
El primer término correspondería a la energía cinética ¿Es asì? (aunque no entiendo el signo negativo)

Corresponde a la energía cinética, pero por lo que preguntas, creo que no lo estás entendiendo. Me remito a mi mensaje #2.

Antes de responder me gustaría preguntarte, ¿entiendes la mecánica matricial de Heisenberg y las ecuaciones $[X,P]=i\hbar$, $H=\frac{P^2}{2m}+V$? No me refiero a saber filosóficamente qué significan (que no lo sé ni yo exactamente), sino sólo a como jugar con ellas para obtener resultados en mecánica cuántica.

[carroza]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Hola.

He seguido este hilo, y tengo la impresión de que iñakigarber tiene una duda más básica, y más dificil de responder, que la ecuación de schrodinger y la forma de resolverla. Voy a empezar desde el principio, a ver si hay suerte, y no complico más la cosa para iñakigarber.

Voy a replantear la pregunta de iñakigarber: Si yo quiero estudiar cómo se mueve una partícula, qué c... tiene eso que ver con la ecuación de Schrodinger?

1. En mecánica clásica, si quiero describir el movimiento de una partícula, que tiene una coordenada x que varía con el tiempo, tengo que obtener x(t).

2. Para obtener x(t), tengo que resolver una ecuación que me describe el movimiento. para ello, puedo usar la ecuación de Newton, $m x'' = F(x) = -{d V(x) \over dx}$

3. Alternativamente, puedo usar las ecuaciones de hamilton. para ello introduzco el momento de la partícula p, que también es una función del tiempo, defino el hamiltoniano $H(p,q) = {p^2 \over 2m} + V(x)$, y utilizo las ecuaciones de hamilton $x' = {\partial H \over \partial p}$ y $p' = -{\partial H \over \partial x}$. Puedo ver que, si elimino p, estas ecuaciones son equivalentes a la Ecuación de Newton.

4. Si, por el motivo que fuera, y siempre clásicamente, no conozco bien la posición y el momento de la partícula en un instante dado, no puedo conocer la posición de la partícula en un instante posterior. Sin embargo, si tengo una distribución de probabilidad P(x,p,t) de tener en cada instante la particula en una posiciób x y con un momento p, puedo ver cómo cambia esta distribución de probabilidad con el tiempo. La función P(x,p,t) satisface unas ciertas ecuaciones, de manera que si logro resolverlas, puedo ver cómo varía con el tiempo la distribución de probabilidad.

Puede verse que en etas ecuaciones que gobiernan la evolución de P(x,p,t), el hamiltoniano tiene un papel muy importante: https://en.wikipedia.org/wiki/Liouvi..._(Hamiltonian)

de hecho ${\partial P(x,p,t) \over dt} = \{ H , P \}$

No entro en más detalles técnicos. Lo que interesa es que en mecánica clásica, la distribución de probabilidad, es una función de la coordenadas, el mo0mento y el tiempo que cambia según una ecuación diferencial que está gobernada por el hamiltoniano.


5. Ahora, vas a mecánica cuántica. La distribución de probabilidad se expresa en términos de la función de onda (estrictamente, como la transformada de Wigner, mas detalles https://en.wikipedia.org/wiki/Wigner...y_distribution ). Y la función de onda varía con el tiempo de una forma directamente relacionada con el hamiltoniano. Eso es lo que nos da la ecuación de Schrodinger (dependiente del tiempo)

$i \hbar {\partial \Psi(x,t) \over \partial t} = H \Psi(x,t)$

En resumen, si quiero describir el movimiento de una particula en mecánica cuántica, no puedo hacerlo describiendo la trayectoria x(t), ya que no puedo determinar a la vez posición y momento en un instante dado. Puedo estudiar la evolución de la distribución de probabilidad, que dependerá del hamiltoniano, y eso me lleva a una cosa, que es la función de onda, que también cambia gobernada por el hamiltoniano, siguiendo la Ecuación de Schrodinger

Un saludo, y a ver si no lio más a iñakigarber

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Corresponde a la energía cinética, pero por lo que preguntas, creo que no lo estás entendiendo. Me remito a mi mensaje #2.

Antes de responder me gustaría preguntarte, ¿entiendes la mecánica matricial de Heisenberg y las ecuaciones $[X,P]=i\hbar$, $H=\frac{P^2}{2m}+V$? No me refiero a saber filosóficamente qué significan (que no lo sé ni yo exactamente), sino sólo a como jugar con ellas para obtener resultados en mecánica cuántica.

No entiendo, al menos lo bien que quisiera, la mecánica matricial de Heisenberg, ni las ecuaciones $[X,P]=i\hbar$, $H=\frac{P^2}{2m}+V$. La primera es la ecuación de Born y la segunda en un hamiltoniano (si no me equivoco). Mi interés en este momento se centraría en saber como obtener resultados con dichas ecuaciones.

[Weip]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

En mi humilde opinión la clave para entender todo esto es saber lo que son los valores y vectores propios. Si recuerdas cómo calcularlos con matrices y aplicaciones lineales entonces ahora tienes que hacer lo mismo con la diferencia que la ecuación que te permite obtener los valores y vectores propios ahora es una ecuación diferencial (la de Schrödinger). Si no lo recuerdas, sugiero que hagas primero algunos ejemplos con matrices dos por dos. Más que nada porque el procedimiento es mecánico y el resultado tiene una interpretación física muy clara que te hará ver la luz en el tema (espero). Luego una vez entiendas esto ya pasa a los operadores, espacios de Hilbert y demás maquinaria pero si estás empezando creo que toda esta parte la has de omitir y volver más adelante.

Como primer paso yo cogería los resultados de valores propios $E_n$ y vectores propios $\Psi_n$ que te han comentado los compañeros del foro y comprobaría que cumplen la ecuación de Schrödinger. Solo eso, no la resuelvas, solo comprueba que lo que te han dicho cumple con la ecuación. Luego haz las gráficas de las densidades de probabilidad (hacer módulo y elevar al cuadrado) para reconstruir los típicos dibujos del pozo de potencial con las ondas en cada nivel de energía y yo creo que con esto ya empezarás a entender.

[Alriga]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Gracias por tu explicación carroza.

Tengo una pregunta, cuando digo:

$[\bold{H}] \ (\Psi) = E \cdot (\Psi)$

De acuerdo con esta ecuación, a cada valor propio $E_n$ le corresponde un vector propio $\Psi_n$ Estas funciones propias $\Psi_n$ forman una base algebraica del Espacio de Hilbert, de tal manera que cualquier función de onda permitida se puede expresar como combinación lineal de las funciones de la base, (de la misma manera que en un Espacio Vectorial cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de una base)

Los valores propios son $E_n=\dfrac{h^2}{8mL^2}n^2$

Los vectores propios son $\Psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

No lo tengo claro, ¿Es correcto o estoy metiendo la pata?

Gracias y saludos.

[carroza]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

No lo tengo claro, ¿Es correcto o estoy metiendo la pata?

Es correcto. La cuestión siguiente es qué tiene esto que ver con el movimiento de una particula. Y la respuesta es que, si una partícula (en el pozo infinito que describes), viniera descrita en un instante inicial $t=0$ por una función de onda $\Psi(x)$ (por ejemplo, una gaussiana, o una delta, localizada en un punto), podríamos desarrollarla como

$\Psi(x) = \sum_n c_n \Psi_n(x)$, con lo cual la evolución en el tiempo de esta función de onda vendrá dada por

$\Psi(x,t) = \sum_n c_n \Psi_n(x) e^{-i e_n t /\hbar}$

Mi post anterior es relevante si alguno se pregunta cuál es el origen de estas expresiones, y qué tienen que ver con nuestras ecuaciones clásicas de movimiento.

Un saludo

[inakigarber]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

...Otra alternativa es recurrir a la forma independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger (en el libro de Cohen es la D-9, D-10). Si te parece, vamos a considerar este enfoque. Por fijar ideas, sean los límites del pozo los puntos $x=0$ y $x=L$. Como la ecuación independiente del tiempo es

$\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right]\Psi=E\Psi$

en el interior del pozo toma la forma

$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=E\Psi$

que enseguida identificamos con la forma de una ecuación diferencial armónica:

$\Psi''=-\omega^2\Psi$

con

$\omega^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}$

y cuyas soluciones son de la forma general

$\Psi(x)=A\sin(\omega x+c)$

Como $\Psi(0)=0$ tenemos que $c=0$. Como $\Psi(L)=0$ tenemos que $\omega L=n\pi$, lo que nos lleva de un golpe a las energías de los orbitales permitidos:

$E_n=\dfrac{h^2}{8mL^2}n^2$

y que las funciones de onda correspondientes son de la forma

$\Psi_n(x)=A\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Si además imponemos la condición de que las funciones de onda representen a través de su cuadrado la densidad de probabilidad (es decir, las normalizamos) entonces encontramos, como te decía Mossy, que

$\Psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$

Cualquier otro estado podemos representarlo mediante una combinación lineal de estas funciones: $\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n(t)\Psi_n(x)$. Al llevarlo a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo encontraremos las ecuaciones que describen la evolución de los coeficientes $c_n(t)$ (a los que además se les suele imponer la condición de que $\sum_{n=1}^\infty |c_n(t)|^2=1$ para mantener la normalización).

Fíjate que es lo mismo que has escrito tú, pero llegando de una manera diferente, y que refleja cómo se usa la ecuación de Schrödinger: lo único que cambia es el potencial (y entonces, también las dificultades que supone resolver la ecuación). Pero conceptualmente el proceso será el mismo, poco importa que se trate de una partícula en un pozo infinito de potencial unidimensional que sea un electrón en el potencial coulombiano del núcleo (átomo de hidrógeno). Al resolverla, las condiciones de frontera se traducirán en la selección de unas cuantas funciones de onda de "buen comportamiento", que vendrán caracterizadas por uno o más números cuánticos, y a cada una de las cuales le corresponderá una energía. El sistema, además, podrá encontrarse en superposiciones de esos estados, con probabilidades para cada uno de los estados (los $|c_n(t)|^2$) que oscilarán, según las reglas que se sigan de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
...

Empiezo por citar este de arisvam, porque es el que mas me ha llamado la atención, y al que he prestado más atención últimamente.
Al llegar a la expresión

$$\omega^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}$$

confundí la letra $\omega$ con la frecuencia angular (ya que habitualmente se usa dicha letra para ello), lo cual me llevo por un camino equivocado, ya que el resultado es dimensionalmente imposible.
Por otra parte, las condiciones $\Psi_{(x)}=c=0$, (que supongo son las de una onda estacionaria en la caja), nos llevan a;

$$0=Asin(\omega x)$$

. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, y todas ellas serán del tipo

$$\omega x=n\pi \ (n=1,2,3....etc)$$

Bien, entonces tendremos ;

$$\omega=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x=\pi n$$

,
despejando;

$$E=\dfrac{\hbar^2n^2\pi^2}{2mx^2}$$

, como

$$\hbar=\dfrac{h^2}{(2\pi)^2}$$

, entonces si se llega a la conclusión

$$E=\dfrac{(hn)^2}{8mx^2}$$

De manera que parece que algo voy empezando a sacar claro de esta cuestión. Lo que ahora me parece más conveniente es no tanto el saber como se deduce la ecuación de Schrodinger, sino el saber como utilizarla.

Seguire dándole un poco de caña al asunto.

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Ecuación de Schrodinger y libro Cohen Tannoudji ¿hay alguna forma facil de entender?

Por otra parte, las condiciones $\Psi_{(x)}=c=0$, (que supongo son las de una onda estacionaria en la caja), nos llevan a;

$$0=Asin(\omega x)$$

. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, y todas ellas serán del tipo

$$\omega x=n\pi \ (n=1,2,3....etc)$$

Bien, entonces tendremos ;

$$\omega=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x=\pi n$$

,

La función de onda no debe anularse para todo x, sino sólo para x=0 y x=L. Lo correcto en lo que has escrito sería:

Por otra parte, las condiciones $\Psi_{(L)}=0$, (que supongo son las de una onda estacionaria en la caja), nos llevan a;

$$0=Asin(\omega L)$$

. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, y todas ellas serán del tipo

$$\omega L=n\pi \ (n=1,2,3....etc)$$

Bien, entonces tendremos ;

$$\omega=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}L=\pi n$$

,

Etc