Divulgación Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

[inakigarber]

Buenas noches;

A vueltas con "El Cohen" de cuántica me encuentro con el siguiente texto que me plantea dudas;
En la página 35 del capítulo 1 Ondas y partículas dice lo siguiente;
1 Separation of variables. Stationary states;
The wave function of a particle whose potential energy V(r) is not time dependient must satisfy the Schrodinger equation"
Que yo interpreto de la siguiente manera; (No sé si correctamente).
1 Separación de variables;
La función de onda de una partícula cuya energia potencial V(r) no es dependiente del tiempo debe satisfacer la ecuación de Schrodinger. El subrayado es mio.

A continuación aparece;
$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi{(\vec{r} ,t)}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\vec{r} ,t)+V(\vec{r} )\psi(\vec{r} ,t)$

Bien, entonces me pregunto, si estamos hablando de algo que no es dependiente del tiempo, considero que es independiente del tiempo. Entonces, si es independiente del tiempo ¿Porque aparece la variable t en en los paréntesis que definen las variables?

Por otra parte, Cohen no lo explica (supongo que lo hará más adelante, o tal vez los da por sabidos) que significan exactamente los términos de la ecuación.
a primera vista veo la base de los números imaginarios (luego tenemos un resultado imaginario). Tenemos la constante reducida de Planck $\hbar$, la derivada parcial respecto al tiempo de una función $\Psi$ (sí la ecuación es independiente respecto al tiempo esta derivada parcial ¿no debiera ser cero?, supongo que el vector $\vec{r}$ representa la posición del objeto. La letra m representa a la masa ¿es así?

Quisiera poder tener una explicación detallada de lo que significan los términos que aparecen en ella.

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

La ecuación de Schrödinger debe satisfacerse en todos los casos.

El texto que mencionas entiendo que es una entradilla para justificar el desarrollo que le sigue, consistente en separar la función de onda, $\Psi(\vec r,t)$ como producto de dos funciones, una dependiente solo de las coordenadas y la otra dependiente solo del tiempo. Permíteme usar mi propia notación, y no tener que subir un par de pisos a buscar mi ejemplar del Cohen: $\Psi(\vec r,t)=\psi(\vec r)\cdot\chi(t)$ (ojo, estate atento, no confundas $\Psi$ con $\psi$)

De este modo, al substituir en la ecuación de Schrödinger nos queda lo siguiente: $i\hbar\psi(\vec r)\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=-\chi(t)\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)\chi(t)$.

Ahora procederemos a separar ambas variables, dividiendo previamente ambos miembros por $\psi(\vec r)\chi(t)$:

$\dfrac{i\hbar}{\chi(t)}\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=\dfrac{1}{\psi(\vec r)}\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)\right]=E$

donde hemos escrito la igualdad con la constante $E$ porque en cada lado de la primera igualdad tenemos funciones de variables diferentes, con lo que dicha igualdad solo es posible si cada uno de ambos términos es una constante (y además la misma, obviamente).

Así tenemos dos ecuaciones, al tomar la segunda igualdad resulta la archiconocida ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, $\dst -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec r)+V(\vec r)\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$ (que usualmente abreviamos como $\hat H\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$) y que es la que empleamos para conocer los estados estacionarios (los independientes del tiempo) del sistema.

La segunda la tenemos al considerar la igualdad $\dfrac{i\hbar}{\chi(t)}\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=E$ y nos da, $\chi(t)$, es decir la parte temporal de $\Psi(\vec r,t)$, cuya solución inmediata es $\chi(t)=\ee^{-i(E/\hbar)t}$ (en realidad multiplicada por una constante arbitraria).

A modo de ejemplo podemos considerar el caso típico del átomo de hidrógeno. Cuando se resuelve la ecuación $\hat H\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$ y encontramos los famosos orbitales atómicos, $\psi(\vec r)$, en realidad solo estamos prestando atención a una parte de la función de onda, $\Psi(\vec r,t)$, cuya forma completa es $\dst\ee^{-i(E/\hbar)t}\psi(\vec r)$

[carroza]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

A continuación aparece;
$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi{(\vec{r} ,t)}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\vec{r} ,t)+V(r)\psi(\vec{r} ,t)$

Bien, entonces me pregunto, si estamos hablando de algo que no es dependiente del tiempo, considero que es independiente del tiempo. Entonces, si es independiente del tiempo ¿Porque aparece la variable t en en los paréntesis que definen las variables?

Hola. El hecho de que el potencial ( la causa del movimineto) no dependa del tiempo, no implica que la función de onda (la descripción del movimiento), no pueda depender del tiempo.

Fijate lo que ocurre en mecánica clásica: Puedes tener un potencial que no depende del tiempo, como el potencial armónico $V(x) = 1/2 K x^2$, y sin embargo las trayectorias sí dependen del tiempo $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$.

Incluso puedes tener un potencial nulo, y aún así ña trayectoris sígue dependiendo del tiempo $x(t) = x_0 + v_0 t$.

Saludos

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

Gracias por la respuesta.

Hola. El hecho de que el potencial ( la causa del movimineto) no dependa del tiempo, no implica que la función de onda (la descripción del movimiento), no pueda depender del tiempo.

Fijate lo que ocurre en mecánica clásica: Puedes tener un potencial que no depende del tiempo, como el potencial armónico $V(x) = 1/2 K x^2$, y sin embargo las trayectorias sí dependen del tiempo $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$.

Incluso puedes tener un potencial nulo, y aún así ña trayectoris sígue dependiendo del tiempo $x(t) = x_0 + v_0 t$.

Saludos

No entiendo muy bien esta última frase. Si el potencial es nulo, entonces el potencial no es la causa del movimiento. Por otra parte, en el caso del potencial armónico por ejemplo de un resorte oscilante, este si dependerá del tiempo, ya que el potencial del resorte depende de la posición x (y de la constante K del resorte) y la posición varia con el tiempo. Vamos a ver si me aclaro. Supongamos dos puntos de energía potencial que fueran invariables con respecto al tiempo (por ejemplo los extremos de un condensador con una carga infinita). Supongamos que un electrón atraviesa estos extremos en un tiempo $\Delta {t}$, el electrón habrá experimentado una variación del potencial $\Delta {E}$ en ese tiempo. Puede que respecto a nuestro sistema de referencia los potenciales del condensador sean fijos en el tiempo (invariantes), pero no lo serán desde el sistema de referencia de la carga.

Creo que estoy haciéndome un lio.

[carroza]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

Hola. Estrictamente, el potencial sería la "causa del cambio de movimiento", mientras que la función de onda, en cuántica, o la trayectoria, en clásica, son la "descripción del movimiento".

Un potencial $V(x)$, que depende sólo de la posición (en un sistema de referencia dado), quiere decir que cualquier partícula que llegue a la posición $x$, adquiere una energía $V(x)$. Esto es independiente de que la partícula se mueva más o menos rápido, o que llegue a la posición$x$ antes o después.

Si una partícula clásica está sometida a un potencial $V(x)$, su ecuación de movimiento clásica satisface la ecuación $m {d^2 x \over dt^2}= - {d V(x) \over dx}$. Esta ecuación, junto con los valores de la posición y de la velocidad iniciales $x(0), {\dot x}(0)$, determinan la trayectoria clásica $x(t)$

Si una partícula cuántica está sometida a un potencial $V(x)$, su función de onda cuántica $\Psi(x,t)$ satisface la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo. Esta ecuación, junto con los valores iniciales de la función de onda $\Psi(x,0)$, determinan la funcion de onda en cualquier instante y en cualquier posición $\Psi(x,t)$

Un saludo

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

Hola. Estrictamente, el potencial sería la "causa del cambio de movimiento", mientras que la función de onda, en cuántica, o la trayectoria, en clásica, son la "descripción del movimiento"....

....Si una partícula cuántica está sometida a un potencial , su función de onda cuántica satisface la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo. Esta ecuación, junto con los valores iniciales de la función de onda , determinan la funcion de onda en cualquier instante y en cualquier posición ...

Creo que empiezo a entenderlo. Vamos a ver, el potencial (o mejor dicho, la diferencia de potencial) es la causa del movimiento y la trayectoria (en física clásica) define el movimiento en función del espacio y el tiempo. Ahora bien, en mecánica cuántica la trayectoria se sustituye por la Ecuación de Schrodinger que nos definiría para un tiempo dado la probabilidad de encontrar a la partícula en un lugar o en otro.

En cuanto a la segunda frase que he remarcado, mencionas la Ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo, yo preguntaba sobre la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.

- - - Actualizado - - -

...La segunda la tenemos al considerar la igualdad $\dfrac{i\hbar}{\chi(t)}\dfrac{\dd \chi(t)}{\dd t}=E$ y nos da, $\chi(t)$, es decir la parte temporal de $\Psi(\vec r,t)$, cuya solución inmediata es $\chi(t)=\ee^{-i(E/\hbar)t}$ (en realidad multiplicada por una constante arbitraria)...

Me pierdo en este paso. No entiendo de donde sale $\chi(t)=\ee^{-i(E/\hbar)t}$

[Ulises7]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

Me pierdo en este paso. No entiendo de donde sale $\chi(t)=\ee^{-i(E/\hbar)t}$

De resolver la ecuación diferencial. El dt lo llevas al otro lado de la ecuación, integras y te sale esa exponencial. Donde se ha tomado como constante de integración C=0.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

...A modo de ejemplo podemos considerar el caso típico del átomo de hidrógeno. Cuando se resuelve la ecuación $\hat H\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)$ y encontramos los famosos orbitales atómicos, $\psi(\vec r)$, en realidad solo estamos prestando atención a una parte de la función de onda, $\Psi(\vec r,t)$, cuya forma completa es $\dst\ee^{-i(E/\hbar)t}\psi(\vec r)$

Aunque sigo un poco despistado en como se obtiene $\dst\ee^{-i(E/\hbar)t}\psi(\vec r)$, entiendo que $\psi(\vec r)$ es la constante arbitraria a la que aludes arriba, cuyo valor varía en función de $\vec r$ y que determina la probabilidad de encontrar un electrón en un orbital determinado.

[arivasm]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

No. $\psi(\vec r)$ es la parte espacial de la función de onda. Por ejemplo, en un orbital 1s del átomo de hidrógeno $\psi(\vec r)=N\ee^{-r/a_0}$, donde $N$ es una constante de normalización y $a_0$ el radio de Bohr.

La constante arbitraria sería una, $A$, de manera que la función de onda completa sería $\dst\Psi(\vec r,t)=A\ee^{-i(E/\hbar)t}\psi(\vec r)$.

Por ejemplo, la función de onda completa de un orbital 1s del hidrógeno sería $\dst\Psi(\vec r,t)=AN\ee^{-i(E/\hbar)t}\ee^{-r/a_0}$. Como ves, $A$ y $N$ forman juntas una constante de normalización y por eso podemos "comernos" la $A$ al obtener la $\chi(t)$

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

No. $\psi(\vec r)$ es la parte espacial de la función de onda. Por ejemplo, en un orbital 1s del átomo de hidrógeno $\psi(\vec r)=N\ee^{-r/a_0}$, donde $N$ es una constante de normalización y $a_0$ el radio de Bohr.

La constante arbitraria sería una, $A$, de manera que la función de onda completa sería $\dst\Psi(\vec r,t)=A\ee^{-i(E/\hbar)t}\psi(\vec r)$.

Por ejemplo, la función de onda completa de un orbital 1s del hidrógeno sería $\dst\Psi(\vec r,t)=AN\ee^{-i(E/\hbar)t}\ee^{-r/a_0}$. Como ves, $A$ y $N$ forman juntas una constante de normalización y por eso podemos "comernos" la $A$ al obtener la $\chi(t)$

No entiendo a que se refiere eso de la "constante de normalización". Pero esto si me permite entender el comentario de Ulises 7. Cuando dice;

De resolver la ecuación diferencial. El dt lo llevas al otro lado de la ecuación, integras y te sale esa exponencial. Donde se ha tomado como constante de integración C=0.

[Lorentz]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

No entiendo a que se refiere eso de la "constante de normalización"

Para que se pueda interpretar de manera probabilística la función de onda (mejor dicho su módulo al cuadrado), la integral a todo el espacio de la función de onda debe ser 1. De este modo es necesaria esa constante para normalizar y que se cumpla dicha condición. El motivo de que sea 1 viene dado por los axiomas de Kolmogorov. Se impone.

Un saludo

[Ulises7]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

No entiendo a que se refiere eso de la "constante de normalización". Pero esto si me permite entender el comentario de Ulises 7. Cuando dice;

Cuidado que no es exactamente lo mismo. Lo mío fue dicho mirándolo simplemente como una ecuación diferencial en que no se ha tenido en cuenta la constante de integración. En este caso no obstante, la función de onda completa se separa en una parte espacial y otra temporal. La ecuación diferencial que se resuelve es la temporal y la constante de integración de ésta se puede agrupar con la de la función espacial (porque son un producto) tomando únicamente una constante A, que es la de normalización. Que es la responsable de que la función de onda sea normalizable: la integral en todo el espacio de la función de onda al cuadrado, debe ser igual a 1. Que es la expresión matemática del principio de que la probabilidad total (en todo el volumen) de encontrar la partícula sea 1.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

Cuidado que no es exactamente lo mismo. Lo mío fue dicho mirándolo simplemente como una ecuación diferencial en que no se ha tenido en cuenta la constante de integración. En este caso no obstante, la función de onda completa se separa en una parte espacial y otra temporal. La ecuación diferencial que se resuelve es la temporal y la constante de integración de ésta se puede agrupar con la de la función espacial (porque son un producto) tomando únicamente una constante A, que es la de normalización. Que es la responsable de que la función de onda sea normalizable: la integral en todo el espacio de la función de onda al cuadrado, debe ser igual a 1. Que es la expresión matemática del principio de que la probabilidad total (en todo el volumen) de encontrar la partícula sea 1.

Entiendo, por tanto que en esta ecuación tendremos una parte temporal que viene determinada por $Ae^{(-iEt/\hbar)}$, y una parte espacial $\psi_{\vec{r}}=Ne^{(-r/a_0)}$, siendo ambas exponentes complejos del número e. De manera que podría hacer; $ANe^{-[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]}$. Si la ecuación de Schrodinger nos da la amplitud de probabilidades de que una partícula esté en determinado lugar, esta será mayor donde la función de un máximo. En este caso se dará cuando el exponente sea igual a cero lo cual da;
$-[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]$, $r=-\dfrac{iEt a_0}{\hbar}$, pero no se si esto que acabo de hacer tiene mucho sentido. Aún me veo pez para manejar esta ecuación.

[arivasm]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

Si la ecuación de Schrodinger nos da la amplitud de probabilidades de que una partícula esté en determinado lugar, esta será mayor donde la función de un máximo. En este caso se dará cuando el exponente sea igual a cero lo cual da;
$-[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]$, $r=-\dfrac{iEt a_0}{\hbar}$

No exactamente. Y este pequeño detalle es francamente interesante.

Lo que determina la densidad de probabilidad no es la función de onda, sino el producto $|\Psi|^2=\Psi^*\Psi$, donde * indica la operación conjugado complejo.

Como en el caso del orbital hidrogenoide 1s, tal como has escrito la función de onda completa es $\Psi(\vec r, t)=Ne^{-[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]}$ (he omitido la $A$ porque se puede agrupar con la $N$ en una sola constante), luego la conjugada compleja es $\Psi(\vec r, t)^*=Ne^{[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]}$, y entonces $|\Psi|^2=N^2\ee^{-2r/a_0}$.

Antes de nada es interesante apreciar que la parte temporal desaparece. En un estado estacionario los máximos de probabilidad no se desplazan (lo cual es lógico, pues estacionario significa que ningún observable cambia con el tiempo).

A la vista del resultado anterior se podría pensar que el lugar más probable para la detección del electrón sería $r=0$, es decir, ¡el núcleo!. Pero la película tiene sus pequeñas sutilezas: estamos manejando coordenadas esféricas, con lo que lo que determina la probabilidad de detección de un electrón es la integral $\int|\Psi|^2\dd V$, extendida al volumen para el que se efectúe el cálculo de dicha probabilidad. Como el elemento de volumen en coordenadas esférica es $\dd V=r^2\sin\theta\dd r\dd\theta\dd\varphi$, si como parece desprenderse de tu mensaje, lo que buscamos es el $r$ más probable para encontrar el electrón, la respuesta no está en $|\Psi|^2=N^2\ee^{-2r/a_0}$, sino en $r^2|\Psi|^2=N^2r^2\ee^{-2r/a_0}$. De esta manera, la distancia al núcleo más probable para un electrón 1s resulta ser $r=a_0$, es decir, el radio de Bohr.

Nota: en este mensaje se ha corregido un error que afectaba a un signo menos, ausente en unas cuantas expresiones, señalado por Lindilo en el mensaje siguiente

[Lindilo]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

arivasm, creo que te has comido un signo al calcular el conjugado, acabaría quedando $|\Psi|^2 = N^2 e^{-2r/a_0}$.

Y un detalle, la constante N no podría ser compleja? escribiendo entonces $|N|^2$