Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

No exactamente. Y este pequeño detalle es francamente interesante.

Lo que determina la densidad de probabilidad no es la función de onda, sino el producto $|\Psi|^2=\Psi^*\Psi$, donde * indica la operación conjugado complejo.

Como en el caso del orbital hidrogenoide 1s, tal como has escrito la función de onda completa es $\Psi(\vec r, t)=Ne^{-[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]}$ (he omitido la $A$ porque se puede agrupar con la $N$ en una sola constante), luego la conjugada compleja es $\Psi(\vec r, t)^*=Ne^{[(iEt/\hbar)+(r/a_0)]}$, y entonces $|\Psi|^2=N^2\ee^{2r/a_0}$.

Antes de nada es interesante apreciar que la parte temporal desaparece. En un estado estacionario los máximos de probabilidad no se desplazan (lo cual es lógico, pues estacionario significa que ningún observable cambia con el tiempo)....

De manera que lo que determina la densidad de probabilidad no es $\Psi$, sino el producto de dicha función por su conjugado complejo. Esto da lugar a una función real.

...
A la vista del resultado anterior se podría pensar que el lugar más probable para la detección del electrón sería $r=0$, es decir, ¡el núcleo!. Pero la película tiene sus pequeñas sutilezas: estamos manejando coordenadas esféricas, con lo que lo que determina la probabilidad de detección de un electrón es la integral $\int|\Psi|^2\dd V$, extendida al volumen para el que se efectúe el cálculo de dicha probabilidad. Como el elemento de volumen en coordenadas esférica es $\dd V=r^2\sin\theta\dd r\dd\theta\dd\varphi$, si como parece desprenderse de tu mensaje, lo que buscamos es el $r$ más probable para encontrar el electrón, la respuesta no está en $|\Psi|^2=N^2\ee^{2r/a_0}$, sino en $r^2|\Psi|^2=N^2r^2\ee^{2r/a_0}$. De esta manera, la distancia al núcleo más probable para un electrón 1s resulta ser $r=a_0$, es decir, el radio de Bohr.

No entiendo porqué el resultado cambia según el tipo de coordenadas que usemos.

[Lindilo]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

El resultado no cambia según el tipo de coordenadas.


Fíjate que esa densidad de probabilidad es por unidad de volumen, y fíjate que el volumen en esféricas viene dado por $dV =r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi$ que entre otras cosas implica que un determinado $dr$ da lugar a un distinto volumen para distinto radio. Imagínate un cascaron esférico de espesor dr, dependiendo del radio r, este tendrá un volumen distinto, que aumenta con $r^2$


Si por ejemplo quieres saber la probabilidad de encontrar una partícula en un determinado volumen del espacio, aun cuando la densidad de probabilidad es diferente según el tipo de coordenadas, al integrar en ese volumen, el resultado es el mismo.

[arivasm]

Re: Consulta sobre la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo.

arivasm, creo que te has comido un signo al calcular el conjugado, acabaría quedando $|\Psi|^2 = N^2 e^{-2r/a_0}$.

Y un detalle, la constante N no podría ser compleja? escribiendo entonces $|N|^2$

Tienes razón con ambas cosas. La primera la he corregido, pues era un gazapo. La segunda la considero menos relevante para la idea que quería exponerle a Iñaki. De hecho, lo usual al normalizar las funciones de onda es manejar como constante de normalización números reales, pues la diferencia entre las posibles (al forzar la normalización de la función de onda) es un factor complejo unitario, $\ee^{i\alpha}$, con $\alpha$ arbitrario (por lo que la salida más directa es emplear $\alpha=0$)