La irracionalidad y trascendencia del número e

[angel relativamente]

El número $\ee=2,71828182$ (conocido también como número de Euler o constante de Napier) se podría considerar una de las estrellas del Hollywood Matemático, de la mano de su colega y coprotagonista $\pi$. Es la base de la función exponencial y del logaritmo natural, lo cual nos induce a pensar que su papel como actor principal en muchos de los fenómenos de la naturaleza está más que justificado. Pero como todo actor famoso está sujeto a la crítica de aquellos que disfrutamos viendo sus diferentes interpretaciones, por lo que dedicaré este modesto artículo a revelar algunos de los aspectos más íntimos y personales de este número: su irracionalidad y su trascendencia.

Aviso previo a navegantes: Las demostraciones que mostraré (especialmente la de la trascendencia de $\ee$) no son en absoluto triviales, si bien pueden seguirse perfectamente con un nivel de cálculo y álgebra de 1º de carrera. Aun así, conviene leer los párrafos sucesivos con mucha calma y coger papel y boli para asegurarse de avanzar entendiendo.

Empezaremos viendo cómo se define $\ee$, ya que no se puede definir explicitando todos sus decimales. Una de las definiciones más comunes de el número $\ee$, que nos será útil para este artículo y en general es útil para definir la función exponencial en cálculo, es ponerlo como la siguiente serie numérica:

$$\ee:=\dst \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$$

Si conoces alguna definición alternativa, es relativamente sencillo comprobar que son equivalentes (y como se suele decir en los textos matemáticos, se deja como ejercicio para el lector).

En primer lugar queremos ver que se trata de un número irracional, lo cual es algo que nos chivaron a todos en el colegio pero que no es para nada algo evidente. Pero si alguien es capaz de ver a simple vista que una serie como la definida en (1) no se puede poner como cociente de dos enteros, puede saltarse este apartado.


La irracionalidad de e

Razonaremos por el método de reducción al absurdo. Supongamos que $\ee \in \mathbb{Q}$, esto es, que se puede poner como cociente de dos números enteros $\ee=p/q, \; \; q\neq 0$. De la definición (1) observamos que $\ee>0$, por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $p>0$ y $q>0$. Si multiplicamos la expresión (1) por $q!$ en ambos miembros, se tiene

$$\dst q!\ee = q! \dst \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \quad \Rightarrow \quad q!\ee =\dst q! \sum_{n=0}^q \frac{1}{n!}+q! \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!}$$

Para simplificar la notación, llamaremos $A:=\dst q! \sum_{n=0}^q \frac{1}{n!}$ y $B:=\dst q! \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!}$. Teníamos que $q!\ee \in \mathbb{Z^+}$ y observamos que $A \in \mathbb{Z}^+$ ya que $q!$ es divisible por $n!$ si $n\leqslant q$. Se deduce pues que $B=q!\ee - A \in \mathbb{Z^+}$. Simplificando los factoriales de la serie $B$ tenemos

$$B=\dfrac{1}{q+1} + \dfrac{1}{(q+1)(q+2)} + \cdots = \dst \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{\dst \prod_{j=1}^i (q+j)}$$

Como $q+j>q+1, \; \forall j\in \mathbb{N}, j>1$, se tiene la desigualdad $\dfrac{1}{\dst \prod_{j=1}^n (q+j)} < \dfrac{1}{(q+1)^n }$. Sustituyendo esta desigualdad en (3) se llega a

$$B<\dst \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{(q+1)^i} =\dfrac{1}{q+1} \dst \sum_{i=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{q+1} \right)^i = \dfrac{1}{q+1} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{q+1}}=\dfrac 1q$$

De donde la penúltima igualdad de (4) se obtiene al aplicar la fórmula de la suma de los términos de una serie geométrica. Cómo habíamos dicho que $q$ es un entero positivo no nulo, se tiene que $\dfrac 1q \leqslant 1$ y por tanto llegamos a la desigualdad $0<B<1$, de donde se deduce que $B \notin \mathbb{Z}!!\quad \quad \; \square$

Ya hemos conocido algo más de este pintoresco número. No obstante, dentro de los números con falta de raciocinio podemos hacer una nueva subclasificación: los algebraicos, que dentro de su irracionalidad mantienen un cierto orden, y los trascendentes, que son el caos absoluto. Un número irracional se dice que es algebraico si es la raíz de un polinomio a coeficientes enteros, mientras que es trascendente si no es raíz de absolutamente ninguno de estos polinomios. Por ejemplo $\sqrt 2$ es un irracional algebraico ya que es un cero del polinomio $x^2-2 \in \mathbb{Z}[X]$. Determinar si un cierto número es o no algebraico es, en muchos casos, un problema al que los matemáticos aún no le han dado solución. Vamos a probar que $\ee$, además de ser irracional, no es un número algebraico.

La trascendencia de e

Razonaremos de nuevo por reducción al absurdo. Supongamos que $\ee$ es un número algebraico, esto es, que es raíz de un polinomio arbitrario $P(X)=\dst \sum_{j=0}^m a_jx^j, \; \; a_j\in \mathbb{Z}$, o equivalentemente

$$\dst \sum_{j=0}^m a_j e^j =0, \; a_j \in \mathbb{Z}$$

Todo y que el polinomio $P(X)$ es arbitrario, podemos suponer sin pérdida de generalidad $a_0 \neq 0$ (si no, basta dividir la expresión (5) por $\ee$ tantas veces como sea necesario para obtener un término independiente no nulo). A continuación definimos las siguientes funciones

$$\varphi_p (x) := \dfrac{x^{p-1}}{(p-1)!} (x-1)^p (x-2)^p \cdots (x-m)^p= \dfrac{x^{p-1}}{(p-1)!} \dst \prod_{i=1}^m (x-i)^p$$

$$\Phi_p (x) := \varphi_p (x) + \varphi_p ' (x) + \cdots + \varphi_p ^{mp+p-1)}(x)=\dst \sum_{i=0}^{mp+p-1} \varphi_p^{i)}(x)$$

donde $p$ es un número primo positivo arbitrario. Observamos en primer lugar que $\varphi_p(x)$ es un polinomio de grado $mp+p-1$, por lo que $\varphi_p ^{mp+p)} (x)\equiv 0$. De esta observación se tiene que $\Phi_p ' (x)= \varphi_p ' (x) + \varphi_p '' (x) + \cdots + \varphi_p ^{mp+p-1)} (x)$, y por tanto $\Phi_p (x)- \Phi_p ' (x)= \varphi_p (x)$. Si multiplicamos la función $\Phi_p (x)$ por $e^{-x}$ y derivamos, obtenemos la siguiente igualdad

$$\dfrac {\dd }{\dd x} \left( e^{-x} \Phi_p (x) \right) =e^{-x} (\Phi_p ' (x) - \Phi_p (x) ) = -e^{-x} \varphi_p (x)$$

Multiplicando la expresión (8) por un coeficiente del polinomio arbitrario $a_j$ e integrando en el intervalo $(0,j)$

$$a_j \dst \int_0^j e^{-x}\varphi_p (x) \dd x = -a_j \left[ e^{-x} \Phi_p (x) \right]_0^j=a_j \Phi_p (0)-a_j e^{-j} \Phi_p(j)$$

Y finalmente si multiplicamos la expresión (9) por $e^j$ y sumamos $\forall j =1 , \cdots, m$

$$\dst \sum_{j=0}^{m} a_j e^j \dst \int_0^j e^{-x} \varphi_p (x) \dd x =\dst \underbrace{\sum_{j=0}^m a_j e^j}_{=0 \; \; (5) } \Phi_p (0) -\dst \sum_{j=0}^m a_j \Phi_p (j)$$

Que por la definición (7) tenemos

$$\dst \sum_{j=0}^{m} a_j e^j \dst \int_0^j e^{-x} \varphi_p (x) \dd x= -\dst \sum_{j=0}^m \dst \sum_{i=0}^{mp+p-1} a_j \varphi_p^{i)}(j)$$

Para terminar la demostración basta ver que la igualdad (11) no es cierta para un p arbitrario. Llamaremos $I_p$ al primer término de (11) y $J_p$ al segundo término.

Empezaremos estudiando $J_p$. Vamos a ver que para valores de $p$ grandes ($p>m$) el término $J_p$ es un entero no nulo. Observamos que para el caso particular $i=p-1, \; j=0$ se tiene que $\varphi_p^{p-1)} (0) = (-1)^p \cdots (-m)^p$ que es un entero no nulo y no divisible por $p$. Para el resto de casos, $\varphi_p ^{i)} (j)$ es un entero no nulo divisible por $p$. En efecto, tenemos $\varphi_p (x)=\dfrac{(x-j)^p }{(p-1)!} \left[ x^{p-1} (x-1)^p(x-2)^p\cdots (x-j+1)^p (x-j-1)^p \cdots (x-m)^p\right]$. Observamos que los únicos términos no nulos de $\varphi_p^{i)} (j)$ son aquellos tales que el factor $(x-j)^p$ se ha derivado al menos $p$ veces. En estos casos, vemos que estos términos están multiplicados por el coeficiente $\dfrac{p!}{(p-1)!} =p$, por lo que todos los términos son múltiplos de p. En conclusión, $\dst \sum_{j=0}^m \dst \sum_{i=0}^{mp+p-1} a_j \varphi_p^{i)}(j)$ es no nulo, y por tanto $\dst \lim_{p \to \infty} J_p \neq 0$.

Por último estudiamos $I_p$. Observamos que para $0\leqslant t \leqslant m$, se tiene que $\left\vert{} \varphi_p (t) \right\vert{}= \dfrac{t^{p-1}}{(p-1)!} \dst \prod_{i=1}^m (t-i)^p \leqslant \dfrac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!}$, y obviamente $0\leqslant \left\vert{}e^{-t} \varphi_p (t) \right\vert{} \leqslant \left\vert{} \varphi_p (t) \right\vert{}$. Con esta desigualdad tenemos que

$$0\leqslant \left\vert{} \dst \sum_{j=0}^m \left( a_j e^j \dst \int_0^j e^{-x} \varphi_p(x)\dd x \right)\right\vert{}\leqslant \dst \sum_{j=0}^m \left\vert{}a_j e^j \right\vert{} \dst \int_0^j \dfrac{m^{mp+p-1}}{(p-1)!} \dd x = \dst \sum_{j=0}^m \left\vert{} a_j e^j\right\vert{} \dfrac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!}$$

Y partiendo de que $\dst \lim_{n\to \infty} \dfrac{e^n}{n!} =0$, se demuestra que

$$\dst \lim_{p \to \infty} \dst \sum_{j=0}^m \left\vert{} a_j e^j\right\vert{} \dfrac{jm^{mp+p-1}}{(p-1)!} =0$$

En consecuencia, $\dst \lim_{p \to \infty} I_p =0 \neq \dst \lim_{p \to \infty} J_p$, por lo que $\exists \~p$ primo positivo tal que $I_{\~p} \neq J_{\~p}!! \quad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \square$

NOTA: Se puede generalizar este resultado viendo que $\ee$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$. En efecto, sea $P(x)$ tal que $P(e)= \dst \sum_{j=0}^m b_j e^j=0, \; b_j \in \mathbb{Q}$. Sean los coeficientes $b_j=\dfrac{p_j}{q_j}$, con $p_j, q_j$ enteros ($q_j \neq 0$) $\forall j$. Llamando $q=\text{mcm} \{q_j\}_j$, se tiene que $qP(x)$ es un polinomio a coeficientes enteros que tiene por cero al número $\ee$, y sobre el que podemos hacer la reducción al absurdo anteriormente mostrada.


Hemos visto pues que $\ee$ es un irracional trascendente. Como hemos dicho al principio de este artículo, otro irracional de fama mundial (¡incluso mayor!) es el número $\pi$, que da la sospechosa casualidad que también es trascendente. Una vez visto el caótico comportamiento de los números trascendentes (y lo que cuesta identificar sus elementos), lo último que cabe pensar es que tengan algunas ligaduras entre ellos. ¿Quién nos iba a decir sin embargo que la relación entre $\ee$ y $\pi$ era tan íntima que incluso comparten una ecuación tan simple y bella como $e^{i\pi} + 1 =0$?

De entre las cosas que a uno le quitan el sueño, este resultado debería ser líder. Espero haberte hecho reflexionar sobre la compleja naturaleza de los números. Y sobre su belleza.

Saludos, Ángel.

[Julián]

Buen articulo angel relativamente. Siempre me llamó la antención cuando estudiaba análisis matemático como de todas las exponenciales la que tenía $e$ como base era la única que su derivada y antiderivada "eran esta misma". ¿por qué justo e y no otro número? ¿cual sería el valor en otras bases numéricas que tengan esa misma propiedad? por ejemplo en los binarios, la representación en binario de la cantidad que en decimal es $e$ ¿tendría esa propiedad de la derivada y la antiderivada? ¿o sería otro valor numérico?

[angel relativamente]

Buen articulo angel relativamente. Siempre me llamó la antención cuando estudiaba análisis matemático como de todas las exponenciales la que tenía $e$ como base era la única que su derivada y antiderivada "eran esta misma". ¿por qué justo e y no otro número? ¿cual sería el valor en otras bases numéricas que tengan esa misma propiedad? por ejemplo en los binarios, la representación en binario de la cantidad que en decimal es $e$ ¿tendría esa propiedad de la derivada y la antiderivada? ¿o sería otro valor numérico?

Y si fuese otro número, ¿no te preguntarías exactamente lo mismo? La representación decimal de $\ee$ es obviamente un convenio humano por usar la base decimal (por aquello de que tenemos 10 dedos), pero las definiciones matemáticas de límite y derivada son independientes de la base utilizada. Piénsalo de otra manera, supón que eres de una civilización distinta con un sistema de numeración en base $k\in \mathbb{N}$ y tienes un numero $a$ en la base k que y que lo defines de la forma $a=\dst \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}$. Entonces defines una función $a^x=\dst \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$ (que cumple obviamente $a^0 = 1$, $a^1=a$, y esto sigue siendo cierto en base $k$). Entonces $\dfrac{\dd a^x}{\dd x}= n\dst \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}=a^x$. Este número en la base $k$ tendrá la representación que sea (lo que vaya saliendo al ir sumando los elementos de la serie en base k). En base 10 este número es 2,718...
Es por eso que el logaritmo natural es universal para todas las bases (es la inversa de la función exponencial, expresada en la base que sea) mientras que el logaritmo decimal es solo útil ya que contamos con potencias de 10. Seguramente en esa civilización que usa la base k se usarían 2 logaritmos. El natural y el base k.

Saludos,

[Weip]

Gracias, entonces el gorrito significa "un $p$ concreto". Por cierto Hermite es mi nuevo ídolo jajaja.