La irracionalidad de pi

[angel relativamente]

Ya habíamos visto anteriormente que el número $\ee$ es irracional y trascendente. Sin embargo nos falta verlo para el número irracional más famoso de todos: $\pi$. La expresión de $\pi=3,141592\cdots$ en base decimal es bien conocida, pero no podemos definir el número a partir de ésta ya que solo la conocemos parcialmente. El número $\pi$ se puede definir de muchas maneras, todas ellas equivalentes. La más conocida por motivos históricos es que $\pi$ es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. No obstante, deducir a partir de esa definición que $\pi$ es irracional no parece una tarea sencilla.

Vamos a intentar definir el número $\pi$ de una forma analítica, a partir del número $\ee$ ya conocido. Como es sabido podemos definir el número $\ee$ a partir de la serie $\ee := \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac 1{k!}$. Del mismo modo definimos de manera natural la función exponencial mediante $\ee^x := \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {x^k}{k!}$ (es su serie de Taylor, pero aquí la estamos cogiendo como definición). La gracia del asunto es que esta definición nos vale cuando extendemos el dominio de $x$ a los números complejos. A continuación, podemos definir unas funciones de dominio real como combinación lineal de estas exponenciales complejas, que llamaré $s(x)$ y $c(x)$, de la siguiente manera

$$s(x):=\dfrac{1}{2i} \left( \ee^{ix} - \ee^{-ix}\right)$$

$$c(x):=\dfrac{1}{2} \left( \ee^{ix} + \ee^{-ix} \right)$$

No quiero extenderme en este tema, pero se puede probar que en efecto si el dominio de $x$ son los reales, entonces la imagen de estas funciones también son los reales. También se puede probar, como ya sospecharéis, que estas definiciones de $s(x)$ y $c(x)$ coinciden con las de las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$, respectivamente, definidas geométricamente. En adelante pues les llamaré seno y coseno y daré por conocidas todas sus propiedades. Como veis, todas estas definiciones las hemos podido hacer sin nombrar a $\pi$ en ningún momento. No obstante, una de las propiedades que se puede demostrar a partir de lo ya dicho es que la función $\sin (x)$ tiene ceros y es periódica. Nos aparece de manera natural la siguiente definición de $\pi$

$$\boxed{\text{Llamaremos} \; \pi \; \text{al primer n\'umero real positivo que anula la funci\'on} \; \sin(x)}$$

Además puede verse que la función es periódica y justamente su periodo es $2\pi$, y lo mismo para el coseno. Como veis, ahora las funciones trigonométricas y el número $\pi$ han perdido toda su formulación geométrica y vamos a verlos desde el punto de vista analítico.

El objetivo de este artículo es demostrar la irracionalidad de $\pi$, que a pesar de ser conocida no es en absoluto trivial. La demostración que presentaré es del matemático Ivan Niven. Para clarificar su lectura he decidido organizarla mediante una serie de lemas que son completamente independientes de la demostración final pero que ésta los usa, así el lector puede decidir mirarse la demostración de los lemas en el orden que considere.

En primer lugar vamos a definir un par de polinomios que utilizaremos durante todas las demostraciones:

Definición 1: Sean $a,b$ dos números enteros positivos. Para cada natural $n\geq 1$, definimos el polinomio

$$f_n(x):=\dfrac{1}{n!}x^n(a-bx)^n$$

Definición 2: Fijado un polinomio $f_n(x)$ como el de la definición anterior, definimos el polinomio

$$F_n(x):=\dst \sum_{j=0}^{n}(-1)^jf_n^{2j)}(x)$$

Donde $f_n^{2j)}(x)$ indica la derivada $2j$-ésima de $f_n(x)$.

Como puede verse son dos polinomios de grado $2n$, que a priori no tienen nada que ver con $\pi$. Los siguientes 3 lemas serán simples propiedades que cumplen estos polinomios anteriormente definidos:

Lema 1:

$$F_n(0)=F_n\left(\dfrac ab \right)$$

Demostración: Como $F_n(x)$ está definido como un sumatorio de las derivadas de orden par de $f_n(x)$, bastará comprobar la igualdad para cada uno de los sumandos.
Primeramente observamos que

$$f_n\left( \dfrac ab - x \right) =\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac ab - x\right)^n \left[a-b\left(\dfrac ab-x\right) \right]^n=\dfrac{b^nx^n}{n!}\left(\dfrac ab -x\right)^n =\dfrac{x^n}{n!}(a-bx)^n = f_n(x)$$

Derivando $j\geq 0$ veces la igualdad $f_n\left(\dfrac ab-x \right)=f_n(x)$ tenemos que $f_n^{j)}(x)=(-1)^jf_n^{j)}\left(\dfrac ab - x\right)$, que para el caso particular de derivadas pares queda $f_n^{2j)}\left(\dfrac ab - x\right) = f_n^{2j)}(x)$. Finalmente evaluando en $x=\dfrac ab$ queda $f_n^{2j)}\left(\dfrac ab \right) = f_n^{2j)}(0)$. $\quad\square$

Lema 2:

$$F_n(0) \; \; \text{es un n\'umero entero positivo.}$$

Demostración: Veremos en primer lugar que $f_n^{j)}(0)$ es un entero, $\forall j\geq 0$. Lo haremos por casos para los distintos valores posibles de $j$.

• [*=1]Si $0\leq j < n$

Observamos que $f_n(x)$ es un polinomio de grado como mucho $2n$, que tiene como factor $x^n$. Las $n-1$ primeras derivadas tendrán por tanto al menos $x$ como factor por lo que$f_n^{j)}(0)=0$.

• [*=1]Si $n\leq j \leq 2n$

Primeramente, utilizando el desarrollo del binomio de Newton tenemos que

$$(a-bx)^n=\dst \sum_{i=0}^n \binom {n}{i}a^{n-i}(-1)^i b^i x^i=(a-bx)^n\overbrace{=}^{k=i+n}\dst \sum_{k=n}^{2n} \binom {n}{k-n}a^{2n-k}(-1)^{k-n} b^{k-n} x^{k-n}$$

Y por tanto podemos escribir $f_n(x)$ como

$$f_n(x)=\dfrac {1}{n!}\dst \sum_{k=n}^{2n} \binom {n}{k-n}a^{2n-k}(-1)^{k-n} b^{k-n} x^{k}$$

Al hacer la derivada $j\geq n$ ésima anulamos todos los sumandos de grado menor que $j$ y nos queda

$$f_n^{j)}(x)=\dfrac{j!}{n!}\binom{n}{j-n}a^{2n-j}(-1)^{j-n}b^{j-n}+xq(x)$$

Donde $q(x)$ es un polinomio que no vamos a calcular pues nos interesa ver que

$$f_n^{j)}(0)=\dfrac{j!}{n!}\binom{n}{j-n}a^{2n-j}(-1)^{j-n}b^{j-n}$$

que es claramente un entero no nulo pues $j\geq n$ por lo que $\dfrac{j!}{n!}\in \mathbb{Z}$, $\binom{n}{j-n}\in \mathbb{Z}$ y $a,b$ son enteros positivos.

• [*=1]Si $j> 2n$ claramente nos queda el polinomio idénticamente cero.

Con esto tendríamos visto que $F_n(0)\in \mathbb{Z}$. Falta ver que es positivo. Observamos que los primeros sumandos de $F_n(0)$ son nulos hasta pasada la derivada $n$-ésima donde aparece el término $(-1)^i(-1)^i=+1 \square$.

Lema 3:

$$\dst \int_0^\pi f_n(x)\sin (x) \dd x = F_n(0)+F_n(\pi)$$

Demostración: En primer lugar observamos que $F_n(x)=f_n(x)-f_n''(x)+\cdots$, por lo que $F''_n(x)=f_n''(x)-\cdots$ y como $f_n^{2n+2)}(x)\equiv 0$ se tiene que $F_n''(x)+F_n(x)=f_n(x)$. Utilizando las propiedades de las derivadas y las funciones seno y coseno tenemos que

$$\sin x f_n(x)=(F_n''(x)+F_n(x))\sin x = F_n''(x)\sin x +\left( F_n'\cos x - F'_n(x)\cos x \right) + F_n(x)\sin x$$

De donde se llega a

$$\left( F_n'(x) \sin x - F_n(x) \cos x \right)'=\sin x f_n (x)$$

Ahora, utilizando el teorema fundamental del cálculo y al fin la definición de que $\pi$ es el primer número real positivo que anula $\sin x$, llegamos a

$$\dst \int_0^\pi f_n(x)\sin (x) \dd x =\dst \int_0^\pi \left( F_n'(x) \sin x - F_n(x) \cos x \right)'\dd x =\left[F_n'(x)\sin x - F_n(x)\cos x \right]_0^\pi$$

$$=F_n'(\pi)\sin \pi - F_n(\pi)\cos \pi - F'(0)\sin 0 + F_n(0)\cos 0 = F_n(0)+F_n(\pi). \; \square$$

Una vez vistos estos 3 lemas, aunque no lo parezca, se puede demostrar muy rápido que $\pi$ es irracional por el método de reducción al absurdo:

Teorema:

$$\pi \;\text{es un n\'umero irracional}$$

Demostración: Supongamos que $\pi=\dfrac{a}{b}$, donde podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a,b$ son enteros positivos. Sean pues $f_n(x)$ y $F_n(x)$ dos polinomios como los definidos en (D1) y (D2) con estos $a,b$. Se tiene por el (L1) que $F_n(0)=F_n(\pi)$ y por tanto el (L3) implicaría que $\dfrac 12 \dst \int_0^\pi f_n(x)\sin (x) \dd x = F_n(0)$.

Por un lado tenemos que en el intervalo $[0,\pi]$ la función seno está acotada por $0\leq \sin x \leq 1$.
Por otro lado tenemos que $x(\pi - x)=\pi x - x^2 + \left( \dfrac \pi 2 \right)^2 - \left( \dfrac \pi 2 \right)^2 = \left( \dfrac \pi 2 \right)^2 - \left ( x- \dfrac \pi 2 \right)^2 \leq \left ( \dfrac \pi 2 \right)^2$ en el intervalo $[0,\pi]$.
Con estas cotas se tiene que

$$F_n(0)=\dfrac 12 \dst \int_0^\pi f_n(x)\sin (x) \dd x \leq \dfrac 12 \dst \int_0^\pi f_n(x) \dd x =\dfrac 12 \dst \int_0^\pi \dfrac{1}{n!}x^n(a-bx)^n \dd x$$

$$=\dfrac 12 \dst \int_0^\pi \dfrac{b^n}{n!}x^n\left(\dfrac ab-x\right)^n \dd x = \dfrac {b^n}{2n!} \dst \int_0^\pi \left[x\left(\pi-x\right)\right]^n \dd x \leq \dfrac {b^n}{2n!} \dst \int_0^\pi \left(\dfrac \pi 2\right)^{2n}\dd x$$

Es conocido que la sucesión factorial crece más rápido que la exponencial por lo que $\dst \lim_{n\to \infty}\dfrac{c^n}{n!}=0$ y se tiene pues que

$$F_n(0)\leq \dfrac {b^n}{n!}\left(\dfrac \pi 2\right)^{2n+1}\xrightarrow{n\to \infty} 0$$

Es decir, que $\exists N\in \mathbb{N}$ a partir del cual $F_N(0) < 1$ lo cual es un absurdo pues por (L2) $F_n(0)$ es un entero positivo para cualquier $n\in \mathbb{N}. \square$

Con este razonamiento quedaría demostrada la archiconocida iracionalidad de $\pi$. Con algo más de aparato matemático se podría demostrar su trascendencia, esto es, que NO es cero de ningún polinomio a coeficientes enteros. No obstante, son muchos los interrogantes que quedan todavía por resolver. Por ejemplo, aunque se sabe que $\pi$ y $\ee$ son irracionales trascendentes, no se sabe ni tan siquiera si $\pi + e$, $\pi \ee$ o $\pi^\ee$ son irracionales. Otra clasificación que se hace de los números irracionales es la de número normal, que viene a decir que entre los dígitos del número cualquier sucesión de números es equiprobable. ¿Es igual de probable encontrar un 1 que un 2 entre los decimales de $\pi$? ¿Está entre sus decimales mi número de teléfono? ¿Y la guía telefónica de mi ciudad? ¿Y el Quijote escrito en ASCII? Pues me temo que eso a día de hoy sigue siendo una incógnita, y solo está comprobada esa aparente normalidad con los primeros (más de 10 billones de) dígitos.

[Weip]

Anda, esta demostración no la conocía. Cuando tenga un poco más de tiempo me la miro en detalle.

[angel relativamente]

Por curiosidad, ¿cuál conocías?

[Weip]

La de Lambert, que usa la fracción contínua de la tangente.