Ahora bien, son muchos los que defienden que esta ecuación es incompleta, que a esa ecuación le faltan términos y que, en realidad, la equivalencia que se cumple es esta:
Con p (masa por velocidad) el momento lineal del cuerpo. De manera que el caso "famoso" sólo se da si el cuerpo no se mueve, si está en reposo, si p=0.
¿Quién tiene razón? ¿Es realmente incompleta? Como he dicho al principio, depende. Depende de qué entendamos por masa.
Hay bastante discusión con el concepto de masa en Relatividad. Una forma de verlo es que existe una masa en reposo (que es la que tiene el cuerpo cuando su velocidad es nula) y una masa relativista (la que el cuerpo tiene cuando va a una cierta velocidad). Esta masa relativista depende tanto de la velocidad como de la masa en reposo y obedece la relación:
De forma que, la masa que aparece en es, en realidad, la masa relativista. Ahora ¿qué masa es la que sale en la otra ecuación? Tratemos de comprobarlo:
Partiendo de y usando la definición de masa relativista:
Donde simplemente hemos pasado la raíz del denominador a la izquierda y hemos elevado al cuadrado.
Ahora vamos a intentar meter el momento lineal en la ecuación. Sabemos que (en módulo). Con este concepto de masa relativista, tenemos que:
Vamos a intentar despejar :
Si lo llevamos a la ecuación anterior:
Luego es la masa en reposo la que aparece en esta ecuación "completa".
¿Es entonces incompleta la ecuación ? Depende de cómo se mire y del concepto de masa que usemos. Lo que está claro es que en la última ecuación que hemos visto tenemos que estar hablando de masa en reposo y que es totalmente cierto sólo si usamos el concepto de masa relativista. Si sólo hablamos de masa en reposo, esa ecuación es cierta para cuerpos que no se mueven.
NOTA PERSONAL: según mi opinión, es más claro considerar sólo el concepto de masa en reposo e incluir los factores afectando a velocidades y posiciones, tal como establecen las transformaciones de Lorentz.
(Igual me he dejado o me sobra algún cuadrado o algo, lo tengo un poco olvidado U). Pero vamos, en los cuadrivectores la componente tiempo no es simplemente , sino . Para definir una métrica correcta las componentes de los vectores tienen que tener las mismas dimensiones, creo que Ángel tiene razón.
No obstante, físicamente sí que nos gusta que las coordenadas tengan la misma dimensionalidad, por lo menos en la base cartesiana. Eso se puede hacer de dos formas: primero, tomando la coordenada temporal como ct en vez de sólo t, como acertadamente decía Arri.
La segunda es tomar un sistema de unidades diferente (nadie dice que nos tengamos que casar con el Sistema Internacional) donde distancia y tiempo se midan en la misma unidad. No es tan raro, muchas veces decimos "año luz" para medir una distancia mediante una unidad temporal (el año). Esto se puede hacer porque hay una constante universal que traduce de tiempos a distancias y viceversa: la velocidad de la luz. Fijaos que en un sistema de unidades donde tiempo y distancia se midan en la misma unidad, las velocidades serán adimensionales. De hecho, la velocidad de la luz será 1.
Este tipo de unidades suelen llamarse "unidades naturales", y aunque pueda sonar un poco raro, son las que más se utilizan en Física.