Me gustaría abrir este blog con una reflexión sobre algo que me ha inquietado desde hace mucho tiempo y que no he conseguido resolver hasta hace bien poco.

Hace unos pocos meses, en Twitter, @edusadeci propuso el siguiente problema: Decidir si


es un número entero o no.

Me llamó la atención porque hacía mucho tiempo que me traía de cabeza una forma de demostrar que los coeficientes binomiales sean todos enteros, ya que siempre me pareció asombroso que lo sean dada la ecuación que los da:


Es evidente que los primeros factores de se cancelan con el del denominador, pero en éste siguen quedando los primeros números, de modo que se me hacía raro que el resultado sea un número entero.

Con la idea de resolver este problema pasé algunos viajes en autobús al trabajo intentando averiguar cómo descomponer el factorial en producto de potencias de números primos. De esa forma podría ver cómo se cancelan todos los factores del denominador.

Para ello me pregunté cuántas veces aparece un factor primo multiplicando en el factorial:

Un factor cualquiera aparece multiplicando en un total de veces, ya que cada posiciones se repite. Sin embargo también aparecen todas sus potencias, la segunda potencia aparece veces, la tercera , etc. Cada aparición de la primera potencia aporta un factor a la descomposición del factorial y cada una de la segunda, aporta un . Sin embargo, como ya se ha contado uno cada vez al contar las apariciones de la primera potencia, sólo añade un factor . Lo mismo ocurre con las apariciones de la tercera potencia y las siguientes, cada una aporta sólo un factor adicional, ya que en las cuentas anteriores se han obtenido ya todas las apariciones de las potencias menores.

De modo que un factor aparece multiplicando, en la descomposición de :


Como tiene como factores todos los números primos menores o iguales a , y se han contado todas sus apariciones, se puede concluir:


Ahora bien, con esto, para resolver si es entero se puede hacer la sustitución, sumando o restando las potencias a las que aparece elevado cada factor. Según los valores de y , aparecerán tres tipos de términos en dicha suma:
  • Estos términos son siempre no negativos, ya que
  • Vuelven a ser no negativos, ya que
  • En este caso hay que pensar un poco más:
Sabiendo que puede valer o bien , los términos que responden al último caso quedan como alguno de los siguientes:
Quedando siempre sumas de números positivos en las potencias de los factores implicados, los coeficientes binomiales son siempre enteros.