Sobre los números periódicos (I)

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Cuando aprendemos sobre los números y nos enseñan los que tienen parte fraccionaria se suelen dividir en los siguientes tres grupos:

1. Los que tienen un número finito de decimales.
2. Los que tienen un número infinito de decimales que se repiten en un patrón determinado a partir de una posición; los periódicos.
3. Los que tienen un número infinito de decimales que no se repiten siguiendo un patrón; los no periódicos.

Si seguimos estudiando se nos indica que los dos primeros grupos se incluyen entre los números racionales, los que pueden expresarse como un cociente de números enteros. Mientras que los últimos son los llamados irracionales, entre los que están los muy notables $e$ o $\pi$. Para demostrar que los primeros son racionales, basta multiplicar y dividir ese número por 10 elevado al número de decimales que tenga, quedando un cociente de números enteros.

La demostración de que los segundos son racionales es más farragosa, pero no por ello menos satisfactoria. Un número de este tipo siempre puede descomponerse en la suma de un entero y otro menor que 1. Si se observa que esta última parte es racional inmediatamente queda patente que la suma de las dos es racional, ya que los números racionales forman un grupo con la suma.

De modo que, expresemos un número periódico, menor que 1, como a continuación:

$\dst x = \sum_{k=1}^\infty c_k 10^{-k},\ \ c_{k+p}=c_k\ \forall k>m$

Donde c_k son las cifras de la representación decimal de dicho número, es decir, números enteros del 0 al 9. Además, p es la longitud del periodo, y m el número de cifras no repetidas que lo preceden. Si se multiplica este número por 10^m+p y por 10^m, se obtienen otros dos números periódicos:

$\dst 10^{m+p} x= \sum_{k=0}^{m+p-1}c_{m+p-k} 10^k + \sum_{k=1}^\infty c_{m+p+k} 10^{-k}$

$\dst 10^{m} x= \sum_{k=0}^{m-1}c_{m-k} 10^k + \sum_{k=1}^\infty c_{m+k} 10^{-k}$

Si se restan, y como c_m+k=c_m+p+k para todo k, quedan sólo los términos con potencias positivas de 10, lo cual da siempre un número entero, es decir,

$\dst \left (10^{m+p} - 10^m \right ) x = N$

Con N tomando un valor entero del que ahora mismo no nos interesa su magnitud. Lo interesante es que si se despeja x de la ecuación anterior, queda lo siguiente:

$\dst x=\frac{N}{10^{m+p}-10^m}$

Como 10^m+p-10^m también es entero, se tiene que x es un cociente en el que numerador y denominador son enteros, es decir, que es un número racional como el siguiente:

$\dst x=\frac{N}{M}$

Con este resultado como punto de partida, siempre puede escogerse una base b tal que M sea divisor de alguna de sus potencias. Es decir, que existe un k para el que b^kx es entero. Si recordamos la lista con la que iniciamos esta lectura, éste es el caso en el que la representación tiene un número finito de cifras. Por poner algunos ejemplos, estamos acostumbrados a ver representaciones periódicas de un tercio, un sexto o un séptimo, pero en base 6 los dos primeros se representan como 0,2 y 0,1 respectivamente, y en base 21 el último queda como 0,3. Por otro lado solemos ver que un quinto es 0,2, pero en base 2 es un número periódico, 0,0011001100110011...

Opiniones a parte sobre la nomenclatura y clasificación de los números, siempre puede escogerse una base en la que un número racional quede expresado en una representación finita y no periódica, con tal de que el denominador sea divisor de alguna de sus potencias.