Sobre los números periódicos (II)

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En la última entrada vimos que un número fraccionario que, expresado en cierta base, tiene un número finito de cifras, cumple que el denominador de la fracción que representa debe ser divisor de alguna potencia de dicha base. Hoy me gustaría dar una explicación de por qué esto es así.

Para representar una fracción $\dst a=\frac{N}{M} < 1$ en una base $b$, el procedimiento es el que sigue:

1. Se multiplica $a$ por $b$
2. Se toma la parte entera del resultado, la cual da la primera cifra.
3. Se repite el procedimiento con la parte fraccionaria del resultado para obtener la siguiente cifra.

Esto es fácil de ver, pues lo que significa cada cifra de la representación posicional de un número, no es otra cosa que el coeficiente que multiplica a cada potencia, es decir,

$\dst a=\sum_{i=1}^{\infty} c_i b^{-i}$

Donde $c_i < b\ \ \forall i=1,2,...$. Si se multiplica por $b$, queda lo siguiente:

$\dst ba=c_1 + \sum_{i=1}^{\infty} c_{i+1} b^{-i}$

La parte entera de este resultado es precisamente el primer coeficiente (la primera cifra de la representación), pues el resto de términos suman menos de 1. Si se sustrae éste y se repite el proceso se obtiene el segundo, el tercero, etc. Llamemos $r_1$ a esta parte fraccionaria. que Se tiene que,

$\dst r_1 = ba - \left \lfloor ba \right \rfloor$

Recordando que $\dst a=\frac{N}{M}$, y por la definición del resto de la división (operador $\mod$),

$\dst r_1 = \frac{bN}{M} - \left \lfloor \frac{bN}{M} \right \rfloor = \frac{(bN) \mod M}{M}$

Para mantener cierto decoro visual, notemos $N_1 = (bN)\mod M$. Si se repite el proceso de multiplicar $r_1$ por $b$ y extraer la parte fraccionaria, se obtiene $r_2$ como

$\dst r_2 = \frac{(bN_1)\mod M}{M} = \frac{(b((bN)\mod M))\mod M}{M}$

Ahora bien, siempre se tiene que $(xy)\mod z = (x(y\mod z))\mod z$. Para verlo sólo hace falta considerar que existe un $k$ y un $l$ para los que $y=kz+l$, siendo $l=y\mod z$. De modo que lo anterior queda como a continuación:

$\dst r_2 = \frac{(b^2N)\mod M}{M}$

Si se repite el proceso $m$ veces,

$\dst r_m = \frac{(b^mN)\mod M}{M}$

En el caso de que el denominador, $M$ sea divisor de la potencia m-ésima de la base $b$ el numerador de la ecuación anterior sería nulo, y por lo tanto $r_m=0$. En este caso, todos los coeficientes $c_i$, con $i > m$ quedarían nulos, pues se consiguen multiplicando $r_{i-1}$ por la base, y se llega a una representación finita de dicho número.