Describiendo la cuerda I

[Entro]

¿Cómo se describe una cuerda en la teoría clásica?

Definamos cuerda:

1.- Sistema de una única dimensión.
2.- El sistema presenta una tensión T.
3.- Actuar sobre el sistema (comprimiendolo o extendiendolo) implica una energía $T/l$.
4.- La masa en reposo del sistema coincidirá con la energía anterior (por la velocidad de la luz al cuadrado).
5.- Asumimos que la energía contenida en la cuerda solo depende de su velocidad transversal, (con esto evitamos problemas con las transformaciones Lorentz longitudinales).

Por otro lado sabemos que una partícula describe una línea de mundo en el espacio de Minkowski desde el punto de vista de relatividad especial. Así una cuerda describirá una hoja de mundo.

La hoja de mundo es una superficie bidimensional, por lo tanto describiremos sus coordenadas mediante $(\tau,\sigma)$. Inicialmente trabajaremos con cuerdas cerradas, por lo tanto la coordenada espacial será periódica $\sigma\in[0,2\pi[$.

Definimos ambas coordenadas mediante el símbolo $\sigma^{\alpha}$ donde el índice toma valores 0,1.

Desde el punto de vista del espacio de Minkowski la hoja de mundo vendrá descrita por sus coordenadas $X^\mu$. Para tratar el tema con toda generalidad consideraremos inicialmente que el espacio de Minkowski donde trabajamos tiene D dimensiones, por lo tanto $\mu=0,\dots,D-1$. Además consideraremos que dichas coordenadas se relacionan con las coordenadas intrínsecas de la cuerda, es decir, $X^{\mu}(\tau,\sigma)$, y para las cuerdas cerradas se tiene que cumplir:

$X^{\mu}(\tau,\sigma)= X^{\mu}(\tau,\sigma+2\pi)$

Recapitulando:

1.- Tenemos un espacio bidimensional dado por la hoja de mundo de la cuerda cerrada. Este espacio tiene por coordenadas $(\tau,\sigma)$.
2.- Tenemos un espacio de Minkowski D-dimensional donde vive la cuerda y la hoja de mundo. Dicho espacio de Minkowski tiene coordenadas $X^{\mu}$. Este espacio se denominará espacio target.
3.- Dado que la hoja de mundo está embebida en el espacio target, tenemos una aplicación entre estos espacios (embeding) representado por $X^{\mu}(\tau,\sigma)$

¿Cómo construimos la acción para la cuerda?

Para tener una acción bien definida para este objeto vamos a exigir:

La acción ha de ser invariante bajo reparametrizaciones de la hoja de mundo, es decir, ha de ser insensible a cambios en las coordenadas $\sigma^{\alpha}$.

Como guía tenemos que la acción para una partícula libre relativista viene dada por la longitud de su línea de mundo. El paso natural a dar es construir una acción que dependa del área de la hoja de mundo entre localizaciones en el espacio de Minkowski fijadas. Evidentemente el área de un objeto es invariante bajo reparametrizaciones, con lo cual parece cumplir bien con nuestra exigencia inicial.

El área de la hoja de mundo deberemos de construirla a partir de la métrica del espacio target. Para ello es interesante encontrar la métrica inducida sobre la hoja de mundo:

$h_{\alpha\beta}=\frac{\partial X^{\mu}}{\partial \sigma^{\alpha}}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial \sigma^{\beta}}\eta_{\mu\nu}$.

Donde $h_{\alpha\beta}$ es la métrica bidimensional y $\eta_{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski D-dimensional.

De manera natural se define la acción a través del área en los siguientes términos:

$S=-T\int d\sigma^2\sqrt{-det h}$

Donde T es la tensión de la cuerda y nos dice la energía (masa) por unidad de longitud. (Haciendo análisis dimensional se puede llegar a esta conclusión).

Esta acción es conocida como acción de Nambu-Goto.

Pero esta acción vuelve a presentar una raíz cuadrada, igual que en el caso de la partícula libre sería mejor una acción escrita sin esa raíz. Así que posteriormente definiremos una acción clásicamente equivalente a la acción de Nambu-Goto pero mejor comportada de cara a una posible cuantización.

[pod]

Heisenberg, h es el determinante de la métrica inducida sobre el world sheet, es decir, el pull-back de la métrica a la superfície 2-d que barre la cuerda con el paso del tiempo

$$h_{\alpha,\beta} = \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu , \qquad \alpha,\beta = \sigma, \tau .$$

Las ecuaciones del movimiento salen como siempre, haciendo variaciones respecto lo que queramos. Aunque casi nunca se hace así, no es práctico. Lo que se suele hacer es transformar la acción a la de Polyakov, que supongo que es lo que explicará Entro próximamente.

La acción de NG sale como extensión natural de la acción de una partícula, donde decimos que la longitud espacio-temporal de la trayectoria debe ser estacionaria (que técnicamente no es una longitud, ya que es una trayectoria tipo luz). La generalización natural es que la superficie espacio-temporal de la hoja mundo también debe ser estacionaria, que técnicamente tampoco es una superfície en el sentido estrícto, ya que la signatura es (-1, 1).

[alejandrito29]

Hola, primero que todo muchisimas gracias por tu blog. Leí recien esta primera parte y esta entretenidisimo.
Preguntas.
1. Dices una cuerda es un sistema de una sola dimension ....¿una sola dimension espacial dices?...¿o puede una cuerda tener una sola dimension ya sea espacial o temporal?...
2. En cuanto a la tension, dices que es algo asi como la energía por unidad de longitud. Yo no conozco la teoría de cuerdas , pero si he leido sobre la teoría de los brane world , de la cual NO soy experto (que son parecidas), dicen en brane world que la tension actúa como una constante cosmologica..o sea, una tension positiva es una densidad energia positiva y una presion negativa creo significa una brana expandiendose....y una tension negativa creo implicaria una brana contrayendose....¿es asi?...¿las cuerdas se expanden asi como nuestro universo?

[alejandrito29]

3. Dices que la coordenada espacial será periódica en $(0, 2\pi($. Yo se que por ejemplo en una coordenada del tipo $\sigma =\theta$ , con $\theta$ una coordenada angular se cumpliría CREO la perioricidad...¿podría ser la coordenada de esta forma?...o, ¿que ejemplos de coordenadas se usan?