El pozo de potencial infinito con una dimensión compacta

[javier m]

El objetivo es simplemente desarrollar un ejemplo curioso que encontré hace algún tiempo.

La idea es estudiar el pozo de potencial infinito unidimensional de toda la vida, pero añadiendole otra dimensión adicional, solo que compacta (y circular de hecho), de manera que lo que se tiene es un cilindro (de radio $R$, digamos).



Llamemos $x$ a la coordenada a lo largo de la dimensión extendida, como se muestra en la fígura.
Llamemos $y$ a la coordenada a lo largo de la dimesión circular.

Tenemos que la ecuación de Schrodinger dentro del pozo es:

$$-\frac{\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (x,y) =E \psi(x,y)$$

o:

$$\frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi (x,y)}{\partial y^2} =-\frac{2m}{\hbar ^2} E \psi(x,y)$$

Ahora, se aplica separación de variables proponiendo que $\psi(x,y)=\psi(x) \phi(y)$.

Reemplazando esto ultimo en (2) se llega a que:

$$\frac{1}{\psi(x)}\frac{\mathrm{d} ^2 \psi (x)}{\mathrm{d} x^2} + \frac{1}{\phi(y)}\frac{\mathrm{d} ^2 \phi (y)}{\mathrm{d} y^2} =-\frac{2m}{\hbar ^2} E$$

y así:

$$\frac{1}{\psi(x)}\frac{\mathrm{d} ^2 \psi (x)}{\mathrm{d} x^2}=-\frac{2m}{\hbar ^2} E_x$$

$$\frac{1}{\phi(y)}\frac{\mathrm{d} ^2 \phi (y)}{\mathrm{d} y^2}=-\frac{2m}{\hbar ^2} E_y$$

Donde $E_x$ y $E_y$ son independientes de $x$ e $y$, y además cumplen que $E_x+E_y=E$

-La solución general de (4) es:

$$\psi(x)=A \sin(kx)+B\cos(kx)$$

donde $k^2=\frac{2m}{\hbar ^2} E_x$.

Se tiene que $B=0$ para garantizar que $\psi(0)=0$, y que $k_n L=n\pi$ (con $n \in \mathbb{Z} -\{ 0\}$) debido a que $\psi(L)=0$.

- Para la dimensión circular se tiene que la solución general es:

$$\phi(y)=C \sin(ly)+D\cos(ly)$$

donde $l^2=\frac{2m}{\hbar ^2} E_y$.

Dado que la dimensión es circular, el punto $(x,y)$ es de hecho el mismo punto $(x, y+2\pi R)$, por eso se impone que $\psi(x,y)=\psi(x,y+2\pi R)$ lo que a su vez implica que $\phi(y)=\phi(y+2\pi R)$.

Así, debido a que:

$$\phi(y+2 \pi R)=C \sin(ly+2\pi lR)+D\cos(ly+2\pi l R),$$

tenemos que $2\pi l R=2m\pi$ o $l_m=\frac{m}{ R}$.

Por último:

$E=E_x+E_y=\frac{\hbar ^2}{2m}(k_n^2+l^2_m)=\frac{\hbar ^2}{2m}(\frac{n^2 \pi^2}{L^2} + \frac{m^2}{ R^2} ).$

Bueno, con esto ya se obtienen todas la energías permitidas.

Cuando $m=0$, se obtiene que $E_{0,n}=\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{n^2 \pi^2}{L^2}$, el cual es el espectro de energías para el problema unidimensional.

El primer valor nuevo de energía sería $E_{1,1}=\frac{\hbar ^2}{2m}(\frac{ \pi^2}{L^2} + \frac{1}{ R^2} )$, de donde vemos que si la dimensión es muy pequeña ($R << L$), ese nuevo nivel de energía se encontraría en un escalafón muy alto en el espectro, de modo que para bajos niveles de energía el papel de la dimensión extra quedaría desapercibida.

[Weip]

Hola, muy curioso y a la vez sencillo. Pero.. no entiendo lo de suponer la dimensión extra, siendo ésta "euclidianamente" perpendicular al eje x. Supongo que es una suposición, pero es un poco bastante arbitraria primera vista.

Sí, es una suposición muy arbitraria. De hecho se ha elegido la forma circular pero podría tener cualquier otra forma. Es más, la distancia entre puntos de esa dimensión es diferente a la de la dimensión extendida pero como no influye en el problema...

Entonces al ser tan elevada la energía que se necesita para llegar a números altos de m, significa que normalmente estaríamos al nivel 0 o 1 o 2, por lo que no notaríamos mucha diferencia de un nivel a otro¿?

Lo has expresado un poco así así pero creo que te entiendo. La cosa es que la influencia de la dimensión extra sólo se nota a altas energías. A bajas también pero la diferencia es tan pequeña que igual no tenemos ningún experimento que las evidencie.

No comprendo muy bien lo que quieres decir en tu última frase.

Por otro lado, yo no entiendo muy bien el papel que juega la forma de la dimensión extra. Lo único que se usó fue que $\psi(x,y)=\psi(x,y+l)$ donde $l$ es la longitud de la dimensión compacta. Realmente no veo en qué afecte que la dimensión sea circular, eliptica, o cualquier curva cerrada. Seguramente abrá diferencias, pero yo no sé de qué manera eso afecte el resultado.

No lo he probado pero supongo que la conclusión siempre será la misma. El problema aquí no es tanto la forma si no su tamaño. Aunque por supuesto contra más complicada sea la forma más complicadas serán las ecuaciones.

He estado pensando lo que me dijiste sobre lo de la dimensión grande. Si fuera grande, entonces habría un valor de $m$ para el cual se notaría mucho esa dimensión. ¿No podría ser que ese valor de $m$ correspondiera a un escalón alto de energía? En los primeros niveles no se notaría porque $m$ sería muy pequeño y $R$ muy grande, pero para un valor de $m$ muy alto que supere con creces al radio se llegaría a la misma conclusión que con la dimensión pequeña ¿no?

[javier m]

He estado pensando lo que me dijiste sobre lo de la dimensión grande. Si fuera grande, entonces habría un valor de para el cual se notaría mucho esa dimensión. ¿No podría ser que ese valor de correspondiera a un escalón alto de energía? En los primeros niveles no se notaría porque sería muy pequeño y muy grande, pero para un valor de muy alto que supere con creces al radio se llegaría a la misma conclusión que con la dimensión pequeña ¿no?

No sé si te entiendo bien.

Suponte que tu puedes ver los primeros niveles normalitos (los de toda la vida), digamos, $E_{0,1}, E_{0,2}$ y $E_{0,3}$

Ahora, si eliges $m \approx \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{R \pi}{ L}$, tendrás que $E_{1,m} \approx \frac{\hbar ^2}{2m}(\frac{5}{2} \frac{ \pi^2}{L^2} )$, es decir, casi en medio de $E_{0,1}$ y $E_{0,2}$, de modo que vas a ver a este nuevo nivel clarito.

De pronto la confunsión esté en que este $m$ que he escogido es grande si $R\gg L$, pero ese no es problema, el problema es que la energía del nivel sea muy alta,y no necesariamente que lo sea la posición del nivel

[Weip]

Ah vale vale ahora lo he entendido. No había hecho ningún cálculo y suponía que esos niveles que están por en medio de los bajos estarían muy pegados, cosa que no es cierta.