La esfera es otra de aquellas figuras geométricas míticas. Se suele decir de ella que es la figura geométrica más perfecta y tal. No voy a llegar a asegurar ese extremo, pero sí que es ideal para que nos dediquemos un rato a jugar con ella, como saben todos los que de jóvenes le han dado patadas a una.


Lo esencial

Para empezar, definamos que es una esfera. Pues una esfera es una superficie formada por todos los puntos que se encuentran a una distancia fija de un centro común. Dicha distancia se llama radio, . Que sea una superficie significa que tiene dos dimensiones. Es decir, si yo me sitúo sobre ella, tengo dos direcciones posibles por las que desplazarme sin salir de ella: adelante-atrás e izquierda-derecha. Si me muevo de arriba a abajo, me salgo de la superficie esférica, y eso en nuestro juego de hoy es trampa.

Matemáticamente, todo lo anterior se puede resumir de una forma muy sencillita. Nos imaginamos que vivimos en un espacio de tres dimensiones (debería ser sencillo de imaginar), cuyas coordenadas llamamos . Para definir una superficie de dos dimensiones, dentro de este espacio de tres, tenemos que imponer una restricción (y sólo una; cada restricción resta una dimensión). Para una esfera, la restricción es precisamente la definición dada en el párrafo anterior; todos los puntos se encuentran a la misma distancia del centro,


Bien, ahora ya sabemos cual es nuestro esférico campo de juegos para hoy. Ya podemos salir y dar un paseo por él. Eso sí, conviene asegurarnos que podemos saber siempre donde estamos. Para eso, hay que dar coordenadas diferentes a todos los puntos de la superficie. Uno podría simplemente dar todos los valores , pero eso sería más trabajo del necesario; la esfera tiene dos dimensiones, debería bastarnos con dos coordenadas. Hay que usar algún truco matemático que nos permita reducir coordenadas, de forma que (1) siempre se cumpla.

Observando (1), a alguien se le ocurrió una buena idea: nosotros ya conocemos funciones matemáticas que, elevadas al cuadrado y sumadas, dan una constante: el seno y el coseno. En efecto, se cumple la propiedad fundamental de la trigonometría:


El problema aquí es que en (2) aparecen sólo dos sumandos mientras que en (1) aparecen tres. Bueno, no alarmarse, hagámoslo en dos pasos. Empezamos por separar la variable z, imponiendo algo así como


Los más avispados habrán reconocido aquí las incipientes coordenadas cilíndricas, pero eso es otra historia. Está claro que con esta separación de coordenadas, se cumple la ecuación (2). Ahora hace falta separar las otras dos,


Bien, ya estamos. Nuestras coordenadas son , dos y suficientes. Ya podemos identificar nuestra posición en la esfera sin más problemas. Tal y como están definidas, el ángulo representa la inclinación respecto el eje norte-sur (nos dice en que meridiano estamos); recibe el nombre de colatitud. Algunos dicen que me explico muy bien (el mundo esta lleno de mentirosos, ¿eh?), pero seguro que una imagen es bastante mejor, así que aquí tenéis un esquema de las coordenadas.

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Un par de notas en estas coordenadas. Si lo piensas un poco, una buena imaginación espacial ayuda a ello, si permito que ambos ángulos recorran todo un circulo, recorro cada punto de la superfície dos veces. La solución consiste en restringir uno de ellos a sólo media circunferencia. Normalmente, se escoje , que sólo puede ir de 0 (polo norte) a (polo sur); , de pingüino a pingüino y tiro por que si no me arruino (si a alguien se le ocurre una mejor rima...).

En segundo lugar, observando las ecuaciones está claro que podría intercambiar todos los senos y cosenos: lo único que importa es que haya uno de cada. Este intercambio nos llevaría a diferentes sistemas de coordenadas esféricas. De hecho, depende de para que cosas se utiliza una forma u otra. Por ejemplo, para situarnos en la tierra utilizamos la latitud, en vez de la colatitud, que viene definida por .


El tamaño de una esfera

Las esferas son muy chulas. Tanto que más de una estará deseando fabricarse una. ¿Quieres saber cuanto material necesitas para crear una esfera de cierto radio? Vale, voy a hacer un servicio público y calcularlo para todos vosotros. Hay dos métodos para crear una esfera: hacerla hueca o maciza. Empecemos por la hueca (es decir, una superficie esférica como tal).

Para calcular el área de una superficie esférica podemos empezar por dividirla, mentalmente, en una serie enorme de anillos concéntricos de diferente radio. Una especie de corte, como uno cortaría un calamar a la romana.

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Observando la figura anterior, está claro que cada uno de estos calamares a la romana está situado a un ángulo constante, y tiene un radio , y una longitud . Por otro lado, los cortes son muy finos, infinitesimales; subtienen un ángulo . Si el ángulo se mide en radianes, el ancho total será . Pues bien, este corte de calamar tan finito se puede considerar básicamente un rectángulo enrollado; y como buen rectángulo su área es igual a lngitud por altura,


La superficie total se encuentra sumando la contribución de cada uno de los cortes. Esta suma de elementos infinitesimales se traduce, matemáticamente, en una integral,


Es decir, para construir una superficie esférica de radio necesito metros cuadrados de material.

Ahora, analicemos el segundo método. Este método es equivalente a hacer un montón de cascaras esféricas como las que hemos calculado recién, y apiñarlas una dentro de otra cual muñecas rusas. Cada una de estas cascaras tendría un grosor infinitesimal , y por lo tanto su volumen (el de la cascara, sin contar el hueco) también será infinitesimal. Básicamente, cada cáscara es un prisma muy fino doblado entre si, por lo que nos vale la típica fórmula "base por altura" para hallar el volumen,


y la obtención del volumen total vuelve a ser una simple cuestión de integración,



Aplanando la esfera


Si eres del tipo de persona que las cosas tan curvilíneas como una esferita le marean, estás de enhorabuena. La proyección estereográfica sirve precisamente para convertir cosas voluptuosas en planas (uh, voy a obviar los detalles de la imagen mental que se me acaba de formar al escribir esto). De hecho, es fácil suponer que debe existir una forma de hacer esto, tanto el plano como la esfera son superficies de dos dimensiones; tiene que existir alguna forma de hacer corresponder a cada punto de la esfera otro de un plano. De hecho, si lo pensáis, esto es lo que es un mapa: nuestra tierra es una superficie (casi) esférica, mientras que el mapa es plano (y el plano, es mapa...).

La proyección estereográfica funciona de la siguiente forma: escogemos un punto de referencia, normalmente el polo norte, y situamos el plano justo en las antípodas. Entonces, para cualquier otro punto de la esfera, trazo la recta que lo une con el punto de referencia. Dicha recta cortará el plano en un tercer punto. Ese tercer punto será la proyección.

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No es muy complicado encontrar las fórmulas matemáticas que describen la proyección estereográfica. Ahora, por comodidad, utilizaremos un sistema de unidades en el que . En estas unidades, el punto de referencia tiene coordenadas (0, 0, 1), mientras que la ecuación del plano estereográfico es . Bien, tomamos un punto cualquiera de la esfera, . La recta que une este punto con el de referencia cumple la ecuación


Un inciso: supongo que aquí todos saben un poco de geometría afín y entienden por qué la ecuación (5) es una recta que pasa por los puntos dados. Para los que no, un esbozo de justificación: Primero, es una variedad lineal por que todas las ecuaciones son lineales. Segundo, los puntos que cumple esta ecuación se alinean en una sóla dimensión ya que cada igualdad independiente resta un grado de libertad; si empezábamos con tres, y tenemos dos igualdades independientes, nos queda uno. La variedad lineal de una dimensión es precisamente una recta. Y tres, es fácil comprobar que pasa por los puntos (0, 0, 1) y por simple substitución.

Bien, encontrar el punto de corte de la recta (5) y el plano es sencillo, basta con substituir y aislar,


Haciendo uso de algunas propiedades trigonométricas, podemos simplificar utilizando


Por lo tanto, ya sabemos que el punto de la esfera descrito por queda proyectado al punto


La ecuación (6) puede resultar bastante familiar. De hecho, mucho. Si me permites que defina , que por las propiedades de la cotangente es una variable que recorre todos los números reales no negativos, , esto nos permite escribir la proyección como


Ahora es obvio, ¿no? ¡Exacto! Son coordenadas polares en el plano. La colatitud, , determina el radio en el plano; y el ángulo azimutal, , determina el ángulo polar en el plano.

Dicho de otra forma, los paralelos ( fijo, constante) se proyectan a círculos en el plano estereográfico (de radio constante, ángulo variable). Sin embargo, los meridianos ( fijo, variable) se proyectan a rectas radiales (de ángulo fijo).

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El único problema lo tenemos si estamos justo en el polo norte. Claro, el polo norte, al ser el punto de referencia, no tiene proyección. De hecho, es un poco más complicado. Como sabemos, los meridianos todos acaban pasando por el polo norte. Ahora bien, como hemos dicho, cada meridiano queda proyectado a una recta con un ángulo diferente. Dichas rectas se cruzan en el origen del plano (que corresponde al polo sur de la esfera), pero no se vuelven a tocar nunca más, se van directamente al infinito. Esto es una contradicción, ya que deberían encontrarse en el punto equivalente al polo norte. Lo podemos interpretar como que el polo norte (un sólo punto) queda proyectado a todo un círculo de radio infinito.

De hecho, este problema no es nuevo. Pasa lo mismo en las coordenadas esféricas: cuando estamos en el polo norte, tenemos y no nos hace falta especificar el ángulo , cualquier valor vale. Es como si a la esfera siempre le sobrara un punto. Hay un par de ejemplos muy famosos, y curiosos, de ésto. El más conocido es el teorema de la bola peluda: resulta que si a nuestra esfera le sale pelo, sería imposible peinarlo sin que en al menos uno de los puntos quedara un pelo tieso. El otro ejemplo son los vientos de la tierra: resulta que debe existir siempre por lo menos un punto donde no hay viento.
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