El origen del principio de Arquímedes (1/2)

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La historia de cómo se descubrió el principio de Arquímedes es muy famosa. Las dudas sobre la composición de una corona, y agua que chorreaba de una bañera demasiado llena. La conclusión es de sobra conocida

Cualquier cuerpo sumergido en un fluido sufre una fuerza ascensional (dirigida hacia arriba) en su centro de masas, igual al peso del fluido que desaloja.

Lo que no es tan conocido es el origen Físico de dicha fuerza. La forma más sencilla de justificar su existencia es a partir del principio de disminución de la energía potencial. Es decir, cualquier fuerza (conservativa) tiende a llevar el sistema al lugar donde la energía potencial es menor. Esto se desprende de la ecuación

$$\vec F = - \vec\nabla U \ .$$

Es decir, aparece una fuerza igual al gradiente del protencial, cambiado de signo. La interpretación geométrica es muy sencilla, el gradiente es un vector que apunta hacia la dirección donde la energía potencial crece de forma más rápida. Como estamos cambiando el signo, la fuerza se dirige en la dirección contraria, o sea, hacia donde el potencial decrece más rápido.

En el caso de la fuerza gravitatoria, si nos quedamos en una zona muy próxima a la superficie terrestre (tan próxima que podemos considerar que es una fuerza constante, el potencial es de sobra conocido,

$$U = mg h = mg z \ .$$

Donde $z$ es la coordenada en el eje vertical. Para tener la igualdad $h = z$ tenemos que escoger el origen de coordenadas justo en el suelo. Aplicando la definición (1), tenemos

$$\vec F = - m g \hat{k}\ .$$

Es decir, aparece una fuerza hacia abajo con módulo mg. El peso, precisamente.

Pero esto sólo es así si la masa en cuestión está en el vacío. Si está en el si de un fluido, ya sea agua o el propio aire, hay que tener en cuenta lo que le pasa al fluido en cuestión. Cuando el cuerpo se desplaza, por ejemplo si está subiendo, una parte del fluido debe bajar para rellenar el hueco recién generado. Vamos el siguiente diagrama.

Supongamos que el cilindro de la imagen tiene una altura $\ell$, y una masa m. El cilindro de fluido tiene exactamente las mismas dimensiones, y su masa será $m'$. Tomamos z = 0 en el punto más bajo del diagrama.

Recordemos que la energía potencial de cada bloque se obtiene a partir de la altura de su centro de masas. Si consideramos que todas las masas están distribuidas de forma uniforme, el centro de masas de cada bloque está situado justamente a media altura. Por lo tanto, la energía potencial en la configuración inicial (con la masa abajo del todo, y el fluido por encima) es

$$U_0 = m g \frac{\ell}{2} + m' g \frac{3\ell}{2}\ .$$

A continuación, elevamos la masa una distancia z. Parte del fluido se mueve para dejar sitio, y se sitúa por debajo. La fracción de masa que ha bajado es $z/\ell$, y por supuesto su centro de masas está en $z/2$. Por otra parte, el centro de masas del cilindro gris está a una altura $z + \ell/2$.

Lo más difícil de calcular es el centro de masas de el bloque superior de fluido. Lo más fácil es buscar la altura de su borde superior e inferior, y buscar el punto medio. El borde superior está a una altura $2\ell$, mientras que el inferior está a $z+\ell$. Por lo tanto, el centro de masas de dicho bloque estará en $(z+3\ell)/2$, y su masa será $m'(1-z/\ell)$. Juntándolo todo, la energía potencial de esta configuración será

$$U(z) = m g \left( z + \frac\ell2 \right) + \frac{\ell - z}{\ell} m' g \left( \frac{3\ell+z}{2}\right) + \frac z \ell m' g \frac{z}{2}\ ,$$

que simplificando queda

$$U(z) = U_0 + (m g - m' g ) z \ .$$

De nuevo, podemos aplicar la definición de la fuerza (1) para ver que obtenemos de todo esto,

$$\vec F = - (m-m') g \hat k = - m g \hat k + m' g \hat k \ .$$

El primer término en (2) es precisamente lo mismo que obteníamos antes: el peso correspondiente a la masa del bloque gris. Sin embargo, el segundo término es nuevo. Es una fuerza haca arriba, cuyo valor es igual al peso del mismo volumen de fluido. Es decir, justo lo que prometía Arqúimedes. Y, como diría él: ¡Eureka!

A partir de aquí, podemos hacer lo de siempre. Las masas del cuerpo y del fluido se pueden escribir en término de sus respectivas densidades, con lo que la ecuación (2) nos queda

$$\vec F = ( \rho_f - \rho_c ) V g \hat k\ .$$

Es decir, si el fluido es más denso que el cuerpo, la fuerza total irá hacia arriba. Es decir, la masa flotará. Esto hará que la energía potencial del cuerpo se incremente. Pero eso no es un problema, ya que la energía potencial del fluido que baja para ocupar su lugar se reduce en mayor cuantía. En resumen, la energía potencial total disminuye, que es lo que le gusta a la naturaleza.

Esto está muy bien. A partir de un principio fundamental, que la energía potencial disminuye, hemos podido encontrar la expresión justa para la fuerza de Arquímedes. Pero lo cierto es que aún no sabemos nada de su origen Físico. Tampoco sabemos quien la ejerce...

¿Y quién puede ser? Como no creemos en la acción a distancia, la única posibilidad es que sea el propio fluido. Y la única forma en que los fluidos pueden ejercer fuerzas es a través de la presión. Pero eso lo veremos en el próximo artículo.


Foto | dprieto, pod

[Chusg]

Por otra parte, no estoy muy seguro de que tu deducción sea correcta. Puede que lo sea pero no es evidente. ¿Por qué?

Cuando tenemos una partícula sometida a distintas fuerzas, es cierto que las fuerzas conservativas que actuan sobre la partícula se pueden calcular a partir del gradiente de su energía potencial. En este caso tenemos un sistema con dos partes: fluido y cuerpo sumergido. Sobre el cuerpo sumergido actúan dos fuerzas, la gravitatoria (su peso) y el empuje que ejerce el fluido sobre él. Si la he entendido bien, en tu deducción estás suponiendo por una parte que la fuerza de empuje es conservativa, y por otra parte que la fuerza sobre uno de los subsistemas (cuerpo sumergido) se puede calcular por el gradiente de energía potencial del otro subsistema (fluido). Parece que de alguna manera estás suponiendo implícitamente que se cumple lo que quieres demostrar.

[pod]

La demostración con presiones está en la segunda parte del artículo. Necesita hacer integrales, usar el teorema de Gauss, y cosas así. Que cada cual juzgue que es más sencillo. Yo he dicho mi opinión, y la mantengo. Como cualquier cosa opinable, toda opción es respetable.

Tu segunda queja, no la entiendo. Es obvio que las fuerzas aparecen siempre hacia donde la energía potencial del sistema es menor, por eso la derivada con signo contrario.

Si uno aplicara sólo el cálculo a la energía potencial de cada cuerpo por separado, que parece ser tu protesta, uno llegaría a la conclusión de que todo "cae", lo cual es obvio que no es cierto porque sabemos que existen cosas que flotan...

[Chusg]

La deducción o justificación que yo proponía es básicamente la de la segunda parte del artículo, pero creo que en realidad no hacen falta integrales ni matemáticas complicadas, sino que la conclusión es prácticamente obvia si pensamos desde el punto de vista físico. La clave son estos dos puntos, sobre todo el segundo:

1. La resultante de todas las fuerzas de presión que actúan sobre una superficie cerrada no depende de lo que haya dentro de la superficie, ya que la presión en cada punto sólo depende de la profundidad y del fluido que haya fuera de la superficie.

2. Si el volumen encerrado por la superficie está lleno del mismo fluido que hay fuera de ella, entonces todo es homogéneo y está claro lo de dentro estará equilibrado con lo de fuera. O sea, que el empuje es igual al peso de un volumen de fluido igual al volumen desalojado, y como hemos visto en (1) esto debe ser así independientemente del medio que haya dentro de ese volumen.

Creo que esto lo puede entender cualquiera incluso aunque no sepa nada de integrales y energías potenciales, y por eso me parece más sencillo, pero como dices, que cada cual juzgue qué deducción le parece más sencilla.

Respecto a la deducción por energías potenciales, lo que quería decir es que lo de [fuerza=-gradiente de energía potencial] no se puede aplicar con ligereza sino que es necesario que todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean conservativas, o de lo contrario sólo se aplica a las conservativas, no a todas las fuerzas que intervienen. Y en este caso sobre el cuerpo sumergido actúan dos fuerzas: una es el peso, que está claro que es conservativa, y otra es el empuje, que a priori no es tan evidente que lo sea (me parece a mí). Por tanto yo no veo claro que sea lícito utilizar lo de la energía potencial así como lo has hecho, suponiendo directamente que el empuje es una fuerza conservativa y que además esta fuerza que actúa sobre un cuerpo (cuerpo sumergido) se puede calcular como el gradiente de la energía potencial de otro cuerpo distinto (el fluido). No digo que no sea correcto, pero tampoco me parece evidente.