El orígen del principio de Arquímedes (2/2)

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El otro día nos lo pasamos bien haciendo unas cuantas cuentas con la energía potencial y el principio de Arquímedes. Pero como ya dijimos, eso no nos da idea sobre el verdadero origen físico de la fuerza de sustentación.

Como ya avancé, la única forma que un fluido puede ejercer fuerza es la presión. El movimiento de las partículas del fluido causa que choquen a menudo contra cualquier superficie que se introduzca en el mismo. En estas colisiones, básicamente las partículas llegan a la superficie y rebotan. Al revotar, su momento lineal (o cantidad de movimiento) cambia de signo.

Como el momento lineal total debe conservarse, es una ley fundamental de la Física, el cambio de cantidad de movimiento de las partículas debe ser compensado por un cambio equivalente (pero de signo contrario) en la superficie. En definitiva, las partículas empujan a la superficie, en la dirección perpendicular a la misma.

Además, cuan mayor sea la superficie, tantas más partículas la alcanzarán. Por lo tanto, la fuerza sufrida por la superficie será proporcional al área. La constante de proporcionalidad se llama presión.

Si el cuerpo en cuestión está sumergido muy profundo, las partículas de las capas superiores del fluido empujarán a las inferiores hacia abajo, por lo que la presión aumenta con la profundidad. De hecho, la presión no es más que el peso (por unidad de superficie) de la columna de fluido que queda por encima del punto en cuestión. Dicha columna será un prisma cuya base tendrá área A y altura H, por lo que podemos escribir

$$p = \frac{F}{A} = \frac{\rho A h g}{A} = \rho g H ,$$

donde $\rho$ es la densidad del fluido. Esta H es la altura total de la columna de fluido. A menudo, no es muy práctico usar esta forma. Por ejemplo, tendríamos que tener en cuenta el tamaño de la atmósfera. A menudo es más fácil tomar un punto de referencia, $h_0$, donde la presión es conocida, $p_0$, y referir el resto de alturas en función a ese punto, $H = h_0 + h$. De esta forma, tenemos

$$p(h) = p_0 + \rho g h \ .$$

Fijaos que h aumenta con la profundidad, justo lo contrario que la coordenada z, que tomamos positiva hacia arriba. Es decir, $H = h_0 - z$, con lo que tendremos

$$\boxed{ p(z) = p_0 - \rho g z \ . }$$

Armados con todo esto, vamos al principio de Arquímedes. Supongamos un cilindro cuya base tiene área A, y altura $\ell$. Como la presión sobre cada una de las superficies es perpendicular a ella (y hacia dentro), la fuerza en la cara lateral se cancelará por simetría.

Si en la base superior la presión es $p_0$, la fuerza sobre ella será descendente e igual a

$$\vec F_\text{sup} = - p_0 S \hat k .$$

Por otra parte, en virtud de la ecuación (1), la presión en la cara inferior será $p_0 + \rho g h$. Como las partículas colisionan sobre esta base desde abajo, la fuerza será hacia arriba,

$$\vec F_\text{inf} = (p_0 + \rho g h) S \hat k .$$

Por lo tanto, la fuerza total del fluido sobre el cilindro será

$$\vec F = \vec F_\text{sup} + \vec F_\text{inf} = \rho g h S \hat k .$$

No hay que agudizar demasiado el ingenio para darse cuenta que el volumen del cilindro es precisamente V = h S, por lo que tenemos

$$\boxed{ \vec F = g \rho V \hat k .}$$

Está claro que $\rho V$ es la masa que tendría el líquido que ocuparía el mismo volumen que el cilindro. Es decir, tenemos una fuerza, hacia arriba, igual al peso del líquido desalojado. Justo lo que promete el principio de Arquímedes.

Ahora viene cuando alguien dice: pod, esto está muy bien. ¿Pero qué pasa si lo que hay en el fluido no es un cilindro, sino un cuerpo de cualquier otra forma? Vamos, lo que siempre se ha llamado el patatoide general. Bueno, vale, porque eres tú pondré la demostración general. Eso sí, harán falta unas matemáticas un poquitín más avanzadas, de primero o segundo de carrera.

Por lo tanto, tenemos un cuerpo general sumergido en un fluido. Queremos saber la fuerza total ejercida por la presión a lo largo y ancho de toda su superficie exterior. El truco, como siempre, es dividir dicha superficie en trocitos muy pequeños, infinitesimales.

Cada uno de estos diferenciales de superficie, como supongo que todos recordamos de clase, está caracterizado por un vector $\dd\vec S$, cuyo módulo es el área de la superficie, su dirección es perpendicular a la misma y el sentido es hacia fuera.

En cambio, la presión ejerce fuerza de compresión, es decir, hacia adentro, en sentido contrario al $\dd\vec S$. Por lo tanto, la fuerza del fluido sobre cada uno de los diferenciales de superficie será

$$\dd\vec F =- p \dd\vec S .$$

Por lo tanto, conocer la fuerza total es sólo cuestión de sumar todas las contribuciones infinitesimales, es decir, hacer la integral de superficie,

$$\vec F = - \oint_S p\, \dd\vec S .$$

Nos interesa conocer la fuerza vertical, es decir, la componente z de esta expresión. Podemos obtenerla multiplicando por el vector unitario en dicha dirección, $F_z = \hat k \cdot \vec F$, con lo cual tenemos

$$F_z = - \oint_S p\, \hat k \cdot \dd \vec S .$$

Para hacer esa integral, recurrimos al teorema de Gauss, o de la divergencia, que nos relaciona la integral a una superficie cerrada con la integral de volumen de la divergencia extendida a todo el volumen interior,

$$\oint \vec u \cdot \dd\vec S = \int_V \vec\nabla \cdot \vec u \, \dd V .$$

En el caso de la ecuación (4), tenemos $\vec u = - p \hat k$, por lo que la integral nos queda

$$F_z = -\int_V \dfrac{\partial p}{\partial z} \, \dd V .$$

Esta derivada es muy sencillita de hacer, según la ecuación (1) la presión es una función lineal en z. Por lo tanto, la derivada es una constante, y tenemos

$$F_z = \rho g \int_V \dd V .$$

Es decir, tenemos la integral con sólo el diferencial dentro. Ojalá todas las integrales fueran así, el resultado es simplemente el volumen que encierra la superficie, es decir, el volumen del cuerpo que está sumergido,

$$F_z = \rho g V .$$

De nuevo, esta es la fuerza hacia arriba que promete el principio de Arquímedes.

Si os ponéis quisquillosos, querréis demostrar que no hay otra fuerza que esta, las componentes en los ejes OX y OY se anulan. En este caso, no parece tan obvio ya que en un patatoide general no podemos usar argumentos de simetría. Sin embargo, nada nos impide seguir el mismo procedimiento que hemos utilizado antes.

Por ejemplo, hagámoslo para la componente en OX. Por lo tanto, multiplicamos la fuerza por el vector unitario $\hat\imath$. El equivalente a la ecuación (4) es

$$F_x = - \oint_S p\, \hat\imath \cdot \dd \vec S .$$

De nuevo, podemos transformar la integral de superficie en otra de volumen gracias al teorema de Gauss,

$$F_x = -\int_V \dfrac{\partial p}{\partial x} \, \dd V .$$

Ahora bien, tal y como vemos en (1), la presión no depende de la coordenada x, y por lo tanto el integrando es cero. Integrar un cero es muy fácil, ya que el resultado es cero (quien haya dicho "¡la constante de integración!", diez minutos cara la pared; las constantes de integración sólo aparecen en integrales indefinidas).

El mismo procedimiento se puede utilizar para demostrar que $F_y$ también es cero. Por lo tanto, la fuerza total es

$$\vec F = \rho g V \hat k .$$

En resumen, el origen del principio de Arquímedes es.. la presión. El hecho de que la parte más profunda del cuerpo esté situada en una zona donde la presión es mayor, hace que la fuerza que empuja las superficies inferiores hacia arriba sea mayor que la fuerza que hunde hacia abajo las superficies superiores. Y sí, funciona para objetos de cualquier forma.

Y supongo que debería terminar esta mini-serie de dos artículos diciendo.. ¡eureka!