Obtención de la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional

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Obtención de la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional

Usualmente podemos obtener las ecuaciones dinámicas a partir de un principio variacional que extremiza la acción (o función principal de Hamilton):

$$S=\int_{t_1}^{t_2}L dt=\int_{t_1}^{t_2}(K-V)dt$$

Variando la acción obtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=0$$

La ecuación de Schrödinger, que usaremos la versión unidimensional por simplicidad viene dado por:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V\psi=i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}$$

La derivación original de Schrödinger de la ecuación (3) se fundamenta en un tratamiento variacional. El propone que la descripción de la mecánica ondulatoria viene dada por una función de la forma:

$$\psi=Aexp({i\frac{S}{\hbar}})$$

Esto es un ansatz, es decir, es el postulado que tenemos que asumir. Su validez vendrá determinada por la capacidad de encontrar la ecuación de Schrödinger a partir de este supuesto.

La acción (función principal de Hamilton) ha de verificar la ecuación de Hamilton-Jacobi:

$$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2+V=0$$

Empleando (4) se verifica:

$$\frac{\partial S}{\partial x}=-\frac{i\hbar}{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

Teniendo en cuenta que $\frac{\partial S}{\partial t}$ corresponde a la energía E del sistema y que $\psi$ es una cantida compleja, la ecuación de Hamilton-Jacobi (5) se puede escribir como:

$$-E+\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^*\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)+V=0$$

Sustituyendo (6) obtenemos:

$$-E+\frac{1}{2m}\left(\frac{i\hbar}{\psi^*}\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)\left(-\frac{i\hbar}{\psi}\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+V=0$$

Reordenando términos:

$$(V-E)\psi^*\psi+\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$$

Esta cantidad se puede considerar la densidad lagrangiana de un sistema que verifique la ecuación de Schrödinger. Dicha densidad lagrangiana depende de las siguientes cantidades $(\psi,\psi^*,\frac{\partial \psi}{\partial x},\frac{\partial \psi^*}{\partial x})$

$$\mathcal{L}= (V-E)\psi^*\psi+\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$$

Tomando las ecuaciones de Euler-Lagrange que se obtienen variando $\psi^*$:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^*}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\frac{\partial \psi^*}{\partial x})}\right)=0$$

que nos da:

$$(V-E)\psi-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=0$$

Que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Comentarios:

1.- Este camino se fundamenta en el principio de acción y sigue bastante de cerca el planteamiento inicial de Schrödinger.
2.- El ansatz (4) es justificado por el resultado y porque es el punto de partida de la formulación de Feynman de la mecánica cuántica, base de las integrales de camino.
3.- Se podría derivar la Lagrangiana 10 imponiendo que la teoría es invariante bajos cambios de fase. Por aplicación del teorema Noether encontrariamos la corriente de probabilidad usual en mecánica cuántica.
4.- Para encontrar la ecuación de Schrödinger se ha de suponer que $(\psi, \psi^*)$ son variables independientes. Este es un procedimiento usual en teoría cuántica, luego hay que imponer condiciones de realidad que te aseguran que una es la compleja conjugada de la otra.
5.- Este tratamiento se puede extender al caso dependiente del tiempo y, evidentemente, a tres dimensiones espaciales.

Demostraciones relacionadas:

Ecuación de Schrödinger unidimensional

[eljose]

Atencion igual digo una chorrada..

usando el principio variacional de Einstein-HIlbert aplicado a la gravitacion .. ¿se podria obtener una ecuacion de Schroedinguer pero para el funcional de onda del universo ??.. es decir una Ecuacion de Schroedinguer para la gravitacion.