Demostración de la integral por partes

[QED]

A continuación demostraré la expresión de la integral por partes:

$$\boxed{\int u \dd z = uz - \int z \dd u}$$

Para llegar a ésta expresión partimos de la derivada del producto de dos funciones:

$$D \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

Despejamos el término $f(x) \cdot g'(x)$ y tenemos:

$$f(x) \cdot g'(x) = D \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) - f'(x) \cdot g(x)$$

Si integramos obtenemos:

$$\int f(x) \cdot g'(x) = \int D \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) - \int f'(x) \cdot g(x)$$

$$\int f(x) \cdot g'(x) = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x)$$

Y si hacemos que: $f(x) = u$ y $g(x) = z$ :

$$\int u \dd z = uz - \int z \dd u$$

Llegando por fin a la expresión buscada, demostrando la expresión inicial.


Subdemostraciones:

-Demostración de la derivada del producto.

Demostraciones donde se implementa la demostración:

Energía cinética relativista / energía en reposo de las partículas con masa.


saludos

Ulises

[Entro]

¿Esto no es una integral por partes?

¿Dónde se ha cambiado la variable?¿me estoy perdiendo algo?

[Ulises7]

Pues acabo de mirar en mi libro de mates y sí efectivamente no se llama así, se me ha ido la cabeza , gracias por el aviso.