Demostración de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell

[QED]

Hola a todos. Esta será una demostración de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para seguirla, son necesarios conocimientos básicos de cálculo diferencial en varias variables por la parte matemática y nociones de electromagnetismo por la parte física (las ecuaciones de Maxwell se dan por conocidas, así que no me detendré a explicarlas). Sin más rodeos, procedo con la demostración.

Empezaremos con las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=\dst\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}+\mu_0 \varepsilon_0 \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

En ausencia de cargas y corrientes eléctricas (para $\rho=0$ y $\vec{J}=0$), las ecuaciones quedan:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=0$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0 \varepsilon_0 \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Ahora podemos empezar a operar con las ecuaciones. Veamos qué pasa si aplicamos el rotacional en ambos miembros de las ecuaciones (7) y (8):

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=\vec{\nabla}\times\left(-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)$$

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=\vec{\nabla}\times \left(\mu_0 \varepsilon_0 \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$$

Es decir:

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=-\dst\frac{\partial }{\partial t}\left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)$$

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial }{\partial t}\left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)$$

Sustituimos $\vec{\nabla}\times\vec{B}$ y $\vec{\nabla}\times\vec{E}$ de los segundos miembros de ambas ecuaciones siguiendo las expresiones (7) y (8):

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=-\dst\frac{\partial }{\partial t}\left(\mu_0 \varepsilon_0 \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$$

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial }{\partial t}\left(-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)$$

Reordenando un poco las ecuaciones:

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$$

Las dos anteriores expresiones se pueden simplificar mucho gracias a la identidad para cualquier vector $\vec{v}$:

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{v}\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{v}\right)-\vec{\nabla}^2 \vec{v}$$

Así pues:

$$\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}\right)-\vec{\nabla}^2 \vec{E}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

$$\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}\right)-\vec{\nabla}^2 \vec{B}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$$

Teniendo en cuenta las ecuaciones (5) y (6):

$$0-\vec{\nabla}^2 \vec{E}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

$$0-\vec{\nabla}^2 \vec{B}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$$

Finalmente:

$$\boxed{\dst\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}-\dst\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\vec{\nabla}^2 \vec{E}=0}$$

$$\boxed{\dst\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}-\dst\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\vec{\nabla}^2 \vec{B}=0}$$

Y estas son las ecuaciones de ondas electromagnéticas. Destacar que si nos fijamos en la forma general de la ecuación de ondas:

$$\dst\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-v^2\vec{\nabla}^2 u=0$$

Podemos ver que $v$ es una velocidad y en nuestro caso, su cuadrado corresponde con $\dst\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}=c^2$, nada más y nada menos que el cuadrado de la velocidad de la luz.

Hasta aquí la demostración. Por supuesto, estoy abierto a todo tipo de críticas y sugerencias.

Tan solo un comentario, el título habla de la demostración de las ecuaciones ... pero la demostración propuesta solo es una deducción de dicha ecuación que no demuestra nada salvo el hecho de que si en regiones alejadas de las fuentes existen los campos eléctrico o magnético entonces dichos campos deben satisfacer la ecuación de las ondas. No es lo mismo eso que demostrar la existencia de tales ondas, porque si los campos fueran constantes, por ejemplo, también cumplirían dicha ecuación, pero eso no garantiza que tales ondas deban existir. Para demostrar la existencia de dichas ondas hay que hacer algo más, que es lo que hizo Maxwell, que demostró que dichas ondas existen sin que haya un medio o soporte para su propagación, es decir se propagan en el vacío, lo cual es uno de los mayores "misterios" de dicho descubrimiento. Porque hasta ese momento se conocían las ondas pero siempre se consideraba que debía existir un medio material para que una onda se propagase, agua, aire, y en general cualquier medio material. Pero resultó que las ondas electromagnéticas no necesitaban tal soporte y gracias a eso hoy disponemos de las famosas telecomunicaciones que nos permiten comunicarnos con los satélites, o con las misiones lunares y de marte, por ejemplo, si no de qué.

Realmente la historia del electromagnetismo, como teoría, es una de las más bellas de la física moderna, entre otras cosas por el descubrimiento de las ondas electromagnéticas, su formulación definitiva y el cálculo teórico de la velocidad de la luz, y por las muchas implicaciones y derivaciones que tiene incluso con la relatividad de Einstein, por ejemplo. Merece la pena leerse la historia de dicha teoría, desde sus comienzos, que podemos ubicar históricamente con el descubrimiento de la ley de Coulomb en 1785, hasta su culminación con las ecuaciones de Maxwell a finales del siglo XIX, y las consecuencias que dichas ecuaciones tuvieron para la física moderna, que son muchas y muy importantes. La relatividad de Einstein no existiría si Maxwell no hubiera publicado sus trabajos sobre las ondas electromagnéticas y entregado al mundo científico sus famosas ecuaciones. En fín, no me extiendo más pero hay mucho y muy bello detrás de este asunto, ya lo creo.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Tienes toda la razón, Jabato. Por supuesto esta demostración no implica la existencia de tales ondas, pero si lo piensas bien en física no todo lo matemáticamente correcto es real. Con esto quiero decir que por ejemplo la segunda ley de Newton podría ser falsa físicamente. Que es cierta porque lo hemos comprobado experimentando, pero solo con un papel y un lápiz no puedes demostrar la existencia de nada.

Solo quiero comentar una cosa. Has dicho que Maxwell demostró que tales ondas se propagan en el vacío, pero mi demostración sí muestra eso: he impuesto que no existieran ni cargas ni corrientes (el vacío) y he visto lo que sale. Que yo sepa, los argumentos de Maxwell fueron "los mismos" (obviamente él no escribía estas ecuaciones bajo esta forma y tenía más de 4 ecuaciones, pero ya sabes a lo que me refiero).

¡Gracias por responder!

Sí, si, eso es cierto, tu aportación demuestra que si existieran las ondas electromagnéticas deberían satisfacer necesariamente dicha ecuación, y por supuesto propagarse en el vacío. El intríngulis del asunto estuvo, creo yo, en demostrar su existencia. Todos conocemos la famosa teoría del eter, el experimento de Michelson - Morley, etc. que fueron suficientemente concluyentes al respecto de como debía interpretarse dicho cálculo, y que generaron multitud de debates a finales del siglo XIX y pricipios del XX hasta la llegada del annus mirabilis con la aparición de Albert Einstein en el escenario.

Salu2, Jabato.