Suma de series infinitas

[Richard R Richard]

Hola a todos, no he encontrado nada que se le parezca en el foro, el desarrollo de las sumatorias de series infinitas es extenso, con varias formulas útiles, así que decidí hacerlo en el formato de blog. Buscando formulas en las que el resultado de la sumatoria de los infinitos términos de una serie de números enteros o no, positivos o no, sea un número negativo. Ej

$x>0 \ldots\Rightarrow \displaystyle \sum_{n = 1}^\infty x < 0$

Hallé varias y me propuse como desafío llegar por mis propios medios y métodos al resultado publicados en bibliografía y videos de internet, cosa que he logrado en varios casos.
En algunas halle la solución correcta, aunque el método usado es de dudosa procedencia, o el resultado no es el que aparece en Internet, ni el que daría la función zeta de Riemann, ni el que aparece en la teoría de cuerdas, y gracias a los comentarios y aportes de quienes tienen mejores conceptos en matemática que yo he mejorado la edición del blog eliminando aquello en donde estoy equivocado.
Desde ya muchas gracias, a quienes aporten mejoras .

He asignado un el valor de cada suma a una letra o variable, para utilizarla luego para deducir otras sumatorias, aunque también es debatible si el resultado de una serie es aplicable a otras, si el método de resolución no es el mismo.

1) Empiezo por una serie divergente, llamada serie de Grandi

$\displaystyle s=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left\{\begin{aligned}s & = 1 \text{ Cuando } n \equiv par \\s & = 0\text{ Cuando } n \equiv impar\end{aligned}$

que oscila entre dos valores posibles 1 y 0 cuando la serie es finita, la documentación que recopile indica que
cuando $n\to\infty s =\dfrac 12$ este es el resultado de aplicar la sumación de Cesàro:

representando los primeros sumandos de la sumatoria tenemos $s$=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-...

llamo

$\displaystyle z=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left\{\begin{aligned}z & = 0 \text{ Cuando } n \equiv par \\z & = 1 \text{ Cuando } n \equiv impar\end{aligned}$

Representando los primeros sumandos de la sumatoria tenemos $z$=-1+1-1+1-1+1-1+1+1-1+1+1-...

Si a la sumatoria de la serie z se le adiciona 1 y se coloca este 1 como primer sumando , observamos que se obtiene una serie idéntica a la serie s , de aquí

$1+z =s$

Sabiendo que para $n>1 \in N$

$(-1)^{n-1}=\dfrac{(-1)^n}{(-1)}=-(-1)^{n}$

Si se adiciona la serie s con la z de manera que , siempre se sume el sumando n de la serie s con el sumando n de la serie z

$s+z=(1+(-1))+(-1+1)+(1+(-1))+(-1+1)+(1+(-1))+(-1+1)+\cdot \cdot \cdot$
$s+z=0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+\cdot \cdot \cdot$ donde $s+z=0$

Como bien me indicaron esta serie asi representada tambien diverge dependiendo del como se agrupen los sumandos de la serie y en cual numero n es hago la evalucion, puedo hallar resultados diferentes -1,0,1 incluso es factible demostrar que puede arreglarse para obtener cualquier $n\in N$

En cambio , presentada de la siguiente manera tenemos que :

$z+s =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n}+(-(-1)^{n})]=$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)+1]^n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 0^n=0$

Entonces nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

$\left.\begin{aligned}-s+z & = -1 \\s+z & = 0\end{aligned}\right\} \quads x=\dfrac 12; z=-\dfrac 12$

Que es el resultado similar al obtenido por la sumación de Cesàro con $S_k= \displaystyle \sum_{k = 1}^k (-1)^{k-1}<br />$

$x=-\dfrac 12 =\lim_{n \to \infty}\dfrac{(S_1+...+S_n)}{n}$
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2)Luego para la siguiente serie divergente

$\displaystyle x=\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}$

Que oscila entre todos los enteros positivos y negativos,se le asigna el resultado $x=\dfrac 14$ resultado al cual arribo Euler llamandolo paradojico... Cesàro con su metodo no puede arribar al mismo resultado, y requiere otro metodo de resolución regular, lineal, estable, y consistente con el anterior que es el metodo de Abel.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} A_nz^{n}$

donde $z=e^{-x}$

Los primeros números de la sumatoria de la serie son $x$=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+...

para calcular este resultado reccurro a restarle a la sumatoria de la serie x, la de la serie s, mas estrictamente como me recomendaron

$x-s=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}$

$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[n(-1)^{n-1} - (-1)^{n-1}]=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)(-1)^{n-1}$

si cambio de variable $i=n-1$ entonces

$x-s=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} i(-1)^{i}=0+\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}=z=-s$

o sea $x-s=-x \Rightarrow 2x=s \Rightarrow x=\dfrac 14$

$\displaystyle x=\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}=\dfrac 14$
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3)La serie divergente sin límite de incremento unitario

$w=\displaystyle \sum_{n =1}^\infty 1= \displaystyle \sum_{n =1}^\infty 1^n= \displaystyle \sum_{n =1}^\infty n^0= +\infty$

Cuyo resultado bibliografico es $w=-\dfrac 12$ con sus primeros sumandos $w$=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+...

la resuelvo sumando de a uno los sumando n de x y w

$w+x=\displaystyle \sum_{n =1}^\infty 1+\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}[1+ n(-1)^{n-1}]=$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n-1}\cdot (-1)^{n-1} + n (-1)^{n-1}]=\sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n-1}((-1)^{n-1}+n)]$

Pero si observamos que los terminos de la serie $(-1)^{i-1}+i$ son los mismos que la de la serie n pero con el orden de los sumandos alterados , ademas se puede ver que dicho termino n aparecera antes o despues que en su posicion original, por lo que estara con el signo cambiado

i =	n-2	n-1	n	n+1	n+2
$(-1)^{i-1}+i$ cuando i es par		n	n-1	n+2	n+1
$(-1)^{i-1}+i$ con i impar	n-1	n-2	n+1	n

por lo que podemos escribir

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[(-1)^{n-1}((-1)^{n-1}+n)]= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(-n))=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n)=-x$

$\Rightarrow w=-2x \Rightarrow w=-2\dfrac14 =-\dfrac12$

de aquí

$w=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty 1 =-\dfrac1{2}$

Pero en realidad la función utilizada en este desarrollo es

$\zeta (s)=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n^s}=\dst \dfrac 1{1-2^{1-s}}\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^s}$

con n=1 y s=0 no es valida en s=0 ,por lo que se usa la continuación analítica de su función zeta

$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1} \sin(\dfrac{\pi s }{2}) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$

Que por desarrollo de los primeros términos en s=0

$\zeta (0)=\dfrac 1{\pi}\lim_{s \to 0}(\dfrac{\pi s}{2})(\zeta(1-s)=\dfrac 1{\pi}\lim_{s \to 0}(\dfrac{\pi s}{2}-\dfrac{\pi^3s^3}{48}+\cdot \cdot \cdot)(-\dfrac 1s +\cdot \cdot \cdot)=-\dfrac12$

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4) La sumatoria de todos los números naturales es divergente también sin límite.

$v=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n$

la blibliografia le asigna el resultado de $-\dfrac1{12}$

resultado obtenido también por Srinivasa Ramanujan y encontrado en uno de sus cuadernos

c=1+2+3+4+5+6+....
4c= 4 + 8 + 12+....
-3c=1 -2+3 -4+5 -6+......

y de aqui utiliza $-3c=x=\dfrac14$

obteniendo $c=v=-\dfrac 1{12}$

mi forma de encontrar el resultado es sumarle a la serie v la serie recien obtenida x

$v-x=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n - \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n(1-(-1)^{n-1})$

analizando

$(1-(-1)^{n-1})$ es $\left\{\begin{aligned}2 & \text{ Cuando } n \equiv par \\0 & \text{ Cuando } n \equiv impar\end{aligned}$

de aqui haciendo cambio de variable i = 2n para obtener solo los n pares

$v-x = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} i (2) = \sum_{i=1}^{\infty} 2n2 = 4 \sum_{i=1}^{\infty} n =4 v$

$v-x=4v$

$\Rightarrow -x=4v-v=3v \Rightarrow v=-\dfrac x3=-\dfrac{\frac14}{3}=-\dfrac1{12}$

de aquí

$v=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n =-\dfrac1{12}$

Este resultado se puede probar usando la función zeta de regularización haciendo

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n=\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty n^{-s}$

convirtiendola en una serie de Dirichlet en caso particular en que s=-1
Cuando la parte real de s es mayor que 1, la serie de Dirichlet converge y su suma es la función zeta de Riemann Pero la serie de Dirichlet diverge cuando la parte real de s es menor que o igual a 1, por lo que, en particular, la serie 1 + 2 + 3 + 4 + · · · no converge. Pero el beneficio de la introducción de la función zeta de Riemann es que puede ser definida para otros valores de s por prolongación analítica en $\zeta (-1)$.

Euler uso la relación entre la función zeta de Riemann y la eta de Dirichlet cuyo resultado esta demostrado


$\zeta(s)(1-2^{1-s})=\eta(s)=\dfrac14$

$\zeta(-1)(1-2^{1-(-1)})=-3\zeta{-1}=\eta(-1)=\dfrac14$

$\zeta(-1)=v=-\dfrac{\frac14}{3}=-\dfrac 1{12}$


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[Richard R Richard]

Hola para los que interese el tema he encontrado un video , que aclara mucho mis dudas, y los porque que se suscitan en este tema del blog

Es una lastima que este en ingles y que la traducción automática sea pésima, pero entrenando un poco el oído se capta bien la idea.

Así me quedo con "never,never,replace the standar sumation" en ese contexto es que las sumas de series infinitas divergentes resueltas por los métodos de sumación de Ramanujan o Cesaro , solo sirven en determinados contextos y "nunca, nunca reemplazan el método estándar de suma"

[Richard R Richard]

Bueno finalmente la respuesta, la imposición de resultados a series divergentes, lleva a la confusión

[Weip]

Buenas Richard. En el vídeo que has puesto se explica el principio de continuación analítica aplicada a la función Zeta de Riemann y me he acordado de este otro vídeo que lo explica muy visualmente:

Lo pongo porque puede resultar útil para futuros visitantes del artículo y porque personalmente me encanta: al final el principio de continuación analítica parece una especide de "requerimiento de simetría" para la función Zeta de Riemann. Tenía pensado algún día hacer un artículo de blog sobre esto pero no sé cuándo.