Método para graficar órbitas geodésicas y trayectorias en el espacio métrico de Schwarzchild.

[Richard R Richard]

Continuando con una temática similar al vista en Un método para graficar órbitas y trayectorias en la teoría Newtoniana de la Gravitación

vamos a observar ese mismo problema pero ahora vista desde la abordada desde la relatiidad general ... Así en coordenadas casi-esféricas o '''coordenadas de Schwarzschild''' el tensor métrico tiene la forma:

$$g = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t \otimes \mathrm{d}t + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r + r^2 \left(\mathrm{d}\theta\otimes \mathrm{d}\theta + \sin^2\theta\ \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi \right)$$

Donde $G$ es la constante de gravitación universal y $M$ se interpreta como la masa aparente del objeto, planeta o estrella que crea el campo.
Para definir una trayectoria para una partícula de prueba hay que dotarla de los parámetros iniciales de su movimiento. es decir hay que definir su cuadriposición y su cuadrivelocidad

$$\overline x=(t_0,r_0,\theta_0,\phi_0)=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(t_{(\lambda_0)},r_{(\lambda_0)},\theta_{(\lambda_0)},\phi_{(\lambda_0)})$$

$$\overline v=(t_0,r_0,\theta_0,\phi_0)=(u_0,u_1,u_2,u_3)=(\dot t_{(\lambda_0)}, \dot r_{(\lambda_0)},\dot \theta_{(\lambda_0)},\dot \phi_{(\lambda_0)})$$

Donde

$$\dfrac{\partial x_i}{\partial \lambda }=v_i =\dot x_i$$

$$\dfrac{\partial^2 x_i}{\partial \lambda^2 }=a_i =\ddot x_i$$

La idea ahora es usar $\lambda$ en vez del tiempo como un parámetro de cálculo, como hice en mi entrada anterior sobre órbitas clásicas.

Definimos el número de pasos a iterar como $n$ y lo que se incrementa el parámetro en cada iteración como $\Delta \lambda$ luego calculamos el valor del parámetro como $\lambda=i \cdot \Delta \lambda\forall i \in [1,n ]$

con esos valores podemos hacer un cálculo de cuadriaceleración respecto del parámetro usando la definición las geodésicas de esta métrica son

$$\begin{cases} \ddot{t} + \cfrac{2\mu}{r(r-2\mu)}\dot{t}\dot{r} = 0 \\<br /> \ddot{r} + c^2\cfrac{\mu(r-2\mu)}{r^3}\dot{t}^2 - \cfrac{\mu}{r(r-2\mu)}\dot{r}^2 - (r-2\mu) \left[ \dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \dot{\phi}^2 \right]= 0 \\<br /> \ddot{\theta} + \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\theta} -\sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^2 = 0 \\<br /> \ddot{\phi} + \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\phi} + \cfrac{2}{\tan \theta}\dot{\phi}\dot{\theta}= 0 \end{cases} \qquad \mu=\dfrac{GM}{c^2}$$

con un simple paso de términos podemos resolviendo paso a paso el sistema de ecuaciones diferenciales por método numérico de recursividad

$$\left(\begin{aligned} \ddot{t} &= - \cfrac{2\mu}{r(r-2\mu)}\dot{t}\dot{r} \\<br /> \ddot{r} &=- c^2\cfrac{\mu(r-2\mu)}{r^3}\dot{t}^2 + \cfrac{\mu}{r(r-2\mu)}\dot{r}^2 + (r-2\mu) \left[ \dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \dot{\phi}^2 \right]\\<br /> \ddot{\theta} &=- \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\theta} +\sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^2 \\<br /> \ddot{\phi} &=- \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\phi} - \cfrac{2}{\tan \theta}\dot{\phi}\dot{\theta} \end{aligned}\right)$$

donde al incrementar en cada paso de un bucle el valor de $\lambda$ en la cantidad arbitraria $\Delta \lambda$ tendremos

$\left(\begin{aligned}t_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=t_{(\lambda)}+ \dot t_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\r_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=r_{(\lambda)}+ \dot r_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\<br /> \theta_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=\theta_{(\lambda)}+\dot \theta_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\<br /> \phi_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=\phi_{(\lambda)}+ \dot \phi_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\end{aligned}\right)$ y $\left(\begin{aligned}\dot t_{(\lambda +\Delta \lambda)}& =\dot t_{(\lambda)}+\ddot t_{(\lambda)} \,\Delta\lambda\\<br /> \dot r_{(\lambda +\Delta \lambda)}& =\dot r_{(\lambda)}+\ddot r_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\<br /> \dot \theta_{(\lambda +\Delta \lambda)}& =\dot \theta_{(\lambda)}+\ddot \theta_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\<br /> \dot \phi_{(\lambda +\Delta \lambda)}& =\dot\phi_{(\lambda)}+\ddot \phi_{(\lambda)}\,\Delta\lambda<br /> \end{aligned}\right)$

La velocidad de cálculo del ordenador no tiene relación alguna con el tiempo calculado(en la coordenada t), por lo que ir graficando en función del parámetro $\lambda$ da una visión distorsionada del movimiento. Si bien no puede dar la órbita final, solo nos dará información aproximada de la trayectoria en tiempo real (o proporcional a este)

Nuestra percepción de cómo funciona el sistema está basada en el tiempo $t$ como dimensión, luego es buena práctica que al programar el movimiento, primero guardemos los datos en forma externa en tablas , para luego cada vez que la coordenada $t$ haya superado un $\Delta t$ especifico que la placa de video soporte digamos 12 fps o 24 fps osea $\Delta t=1/12$ o $1/24$s , extraemos en forma ordenada cada frame el valor más cercano a esa coordenada $t$ y presentamos la posición ($x,y,z)$ en el plano ($X,Y)$ en pixeles por cualquier sistema de conversión de coordenadas por proyección de $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^2$ escalado a los extremos (min y max) de órbita que podamos intuir y con eso tendremos una visión en tiempo real de la posición de la partícula de prueba.

En cada paso se puede evaluar la diferencia entre la teoría clásica newtoniana calculando las aceleraciones, velocidades y posiciones para comparar con la teoría Newtoniana o Kepleriana, e ir graficando segmentos entre posición anterior y la actual. Para eso se puede usar la misma metodología que en mi entrada anterior


La aceleración clásica comparativa quizá no la podamos evaluar exactamente en los mismo puntos ya que las trayectorias serán un tanto disimiles, se pueden calcular mediante para un tiempo $t(\lambda)$ como el cambio de velocidad sobre el cambio de tiempo entre dos iteraciones consecutivas por ejemplo en la dirección radial.{

$$a_r(t(\lambda))=\dfrac{\dot r_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot r_{(\lambda)}}{\dot t_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot t_{(\lambda)}}$$

$$a_\theta(t(\lambda))=\dfrac{\dot \theta_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot \theta_{(\lambda)}}{ t_{(\lambda +\Delta \lambda)}-t_{(\lambda)}}$$

$$a_\phi(t(\lambda))=\dfrac{\dot \phi_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot \phi_{(\lambda)}}{ t_{(\lambda +\Delta \lambda)}- t_{(\lambda)}}$$

Cabe recordar que podemos en todo momento convertir los vectores de la base en esféricas a la cartesiana con

$\left[\begin{aligned} x & = r\sin\theta\cos\phi \\<br /> y & = r\sin\theta\sin\phi \\<br /> z & = r\cos\theta \end{aligned}\right ]$ o revertir con $\left[\begin{aligned}<br /> r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\<br /> \theta & = & \arctan((\sqrt{x^2 + y^2}) / z) \\<br /> \phi & = & \arctan(y / x) \end{aligned}\right]$

Una referencia a un método alternativo

https://en.wikipedia.org/wiki/Two-bo...ral_relativity

[teclado]

¡Genial! Cuando estudiaba hicimos una simulación como ésta pero con fuerzas electrostáticas (equivalente al problema no relativista), y siempre me quedó la espina de hacer lo mismo pero teniendo en cuenta la RG. Me lo apunto para cuando encuentre unas horillas que echarle. Tengo tres preguntas:
1. ¿El parámetro $\lambda$ puede interpretarse como el tiempo medido por un observador muy alejado?
2. ¿El problema no tiene solución analítica?
3. Y en cualquier caso, ¿la solución se corresponde en algún grado con la dada por una elipse que gira a velocidad angular constante con foco en (0,0,0)?

[Richard R Richard]

Hola teclado, Gracias por pasar ,en buena hora te le animes!!!
Sin tenerlo del todo claro,te contesto, pues eso es lo que busco expandir limites de conocimiento,y muchas veces a prueba y error o viceversa... creo que...
1) cuando estas muy alejado r es grande luego, la aceleracion del tiempo respecto al parámetro tiende a 0 lo que hace que tienda la dilatación temporal a una constante que dependería de la velocidad final en el infinito...que aquí surgiría como una integral (una sumatoria de muchos pasos)... te reitero es lo que interpreto, no se si estoy en lo cierto. por que la teoría newtoniana dice que la velocidad final en el infinito es nula donde se agota la energía cinetica, y aquí no lo tengo tan claro, pero eso tiene que ser cierto si la métrica de Schwazrchild tiende a la de Minkowski en el infinito. Así que esa constante debe ser 1, sin dilatación, osea la diferencia entre lambda y t se diluye.
2) Si es que la hay, no ha sido lo que busqué, porque no solo mi interés fue la órbita sino también la trayectoria. He mirado varios artículos antes de lanzarme , pero siempre he vuelto al método numérico, algunas he visto son aproximaciones, o formulas exactas.bajo ciertas condiciones, en el link que pase y a partir de https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Orbits_of_test_particles puede ver algo mas sofisticado...Otros papers son tan técnicos, que para lo que pretendo, es matar moscas a cañonazos.
3) Si, siempre avanza el perihelio, . si no avanzara la órbita sería una elipse, el angulo de avance entre ciclo y ciclo esta estudiado bastante y la predicción de la RG fue contrastada con éxito por lecturas de velocidades y órbitas de estrellas en torno al Agujero negro del centro de la vía láctea.

Por otra parte, solo graficar una función, que te da los pétalos , aparte de que me aburre , me chirrea porque me da la "impresión" que no es lo que la naturaleza hace, ir siempre en linea recta, si hay curvatura, hago la curva y para un observador externo eso es "acelero", ... y eso es lo que se hace que con este método para lo que también busco corrección, mediante las opiniones mejorarlo y así aprender.