El Principio de Dualidad

[Weip]

Hoy seguiré con el tema del anterior blog. En geometría proyectiva existe un poderoso principio que nos facilita la vida en ciertas ocasiones. Se conoce como el Principio de Dualidad. Tal como indica el nombre, se basa en establecer una relación entre un enunciado en un espacio proyectivo con otro enunciado del espacio proyectivo dual. La utilidad es la siguiente: si tenemos una afirmación en $\mathbb{P}_n$ muy difícil de demostrar entonces podemos encontrar un enunciado equivalente en $\mathbb{P}_n ^*$ que puede ser más fácil de demostrar.

Ya están apareciendo algunas palabrejas así que empecemos con la definición básica.

Definición: Sea $\mathbb{P}_n$ un espacio proyectivo con espacio vectorial asociado $E$. Llamaremos espacio proyectivo dual de $\mathbb{P}_n$ al espacio proyectivo con espacio vectorial asociado $E^*$. Lo denotaremos por $\mathbb{P}_n ^*$.

Una consecuencia interesante de introducir el espacio dual es que los hiperplanos de $\mathbb{P}_n$ son puntos en $\mathbb{P}_n ^*$, cosa que nos facilita el trabajo . También pasa al revés: Los puntos de $\mathbb{P}_n$ se convierten en hiperplanos en $\mathbb{P}_n ^*$. Así pues el Principio de Dualidad hay que saberlo utilizar en el momento adecuado para no complicarnos la vida.

Ahora ya podemos enunciar el principio del que hemos estado hablando.

Principio de Dualidad: Sea $T$ un enunciado de $\mathbb{P}_n$ que involucra variedades lineales con las relaciones $\in$, $\not \in$, $\ni$, $\not\ni$, $\subset$, $\not \subset$, $\supset$, $\not\supset$, $+$, $\cap$. Si identificamos:

$\in / \notin \Leftrightarrow \ni / \not\ni$

$\subset / \not \subset\Leftrightarrow \supset / \not \supset$

$\cap \Leftrightarrow +$

$+ \Leftrightarrow \cap$
Variedad Lineal de dimensión $d \Leftrightarrow$ Variedad Lineal de dimensión $n-d-1$

Obtenemos un enunciado $T^*$ equivalente a $T$.

Observación: El Principio de Dualidad no dice nada acerca de la veracidad de $T$ o de $T^*$, tan sólo dice que $T$ es verdadero (resp. falso) si y sólo si $T^*$ es verdadero (resp. falso).

Ejemplo:

$T$: "Tres planos distintos de $\mathbb{P}_3$ se cortan en un punto".
$T^*$: "Tres puntos distintos de $\mathbb{P}_3^*$ generan un plano".

Finalmente quisiera exponer un famoso teorema en el que se puede utilizar el Principio de Dualidad en la demostración. Hablo del Teorema de Desargues. Este teorema dice que si tenemos dos triangulos $ABC$ y $A'B'C'$ en el plano proyectivo sin vértices ni lados comunes entonces son equivalentes:
1) Las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes.
2) Los puntos $AB \cap A'B'$, $AC\cap A'C'$ y $BC\cap B'C'$ están alineados.

La gracia está en que la implicación $2)\Rightarrow 1)$ es el enunciado dual de $1)\Rightarrow 2)$. Así pues, demostrando sólo una de las dos implicaciones ya tenemos todo el teorema demostrado. Es justo aquí dónde reside la potencia del Principio de Dualidad.

En esta imagen, dos rectas concurrentes en el plano proyectivo pasan a ser puntos alineados en el espacio proyectivo dual. Es justamente lo que aplicamos al dualizar una de las implicaciones del teorema de Desargues.

¡Hasta pronto!

[Weip]

Weip, primero, felicidades por el blog. ¡Sigui así!

¡Gracias por leerlo!

Segundo, una pregunta/previsión. ¿Vas a hablar en algún momento de la relación entre espacios proyectivos y mecánica cuántica? En cuántica, tenemos un espacio de Hilbert, pero multiplicando un estado (vector) por un numero complejo nos da el mismo estado físicamente hablando (una ambigüedad que en parte nos solemos cargar forzando la normalización).

Me gustaría pero sinceramente he leído poco acerca del tema. Estas cosas las suelo dejar para el verano, entonces seguramente haga un blog explicándolo.

[alexpglez]

Hola Weip, lo siento, no he conseguido entender demasiado, (ya te dije que no sé demasiado de símbolos matemáticos ni tecnicismos de espacios vectoriales, sólo lo básico de cálculo). Quizá lo entienda mejor unos años más adelante, pero por lo poco que veo está muy bien.
Sobre lo que dice Pod, no sé si se refiere a que las constantes de normalización se las puede multiplicar por cualquier número complejo de valor absoluto 1 (de hecho lo que se halla es el valor absoluto de la constante al normalizar), y si se salta el proceso de normalización hay más libertad, (claro que hay que añadir más términos al calcular...)

[Weip]

Hola Weip, lo siento, no he conseguido entender demasiado, (ya te dije que no sé demasiado de símbolos matemáticos ni tecnicismos de espacios vectoriales, sólo lo básico de cálculo). Quizá lo entienda mejor unos años más adelante, pero por lo poco que veo está muy bien.

¡Gracias! La verdad es que la geometría proyectiva bebe mucho del álgebra lineal (al menos al principio) y sin ella es muy complicado explicar todo esto.

Sobre lo que dice Pod, no sé si se refiere a que las constantes de normalización se las puede multiplicar por cualquier número complejo de valor absoluto 1 (de hecho lo que se halla es el valor absoluto de la constante al normalizar), y si se salta el proceso de normalización hay más libertad, (claro que hay que añadir más términos al calcular...)

Bueno, creo que pod quiere decir básicamente que si $\psi=\lambda \phi$ entonces $\psi$ y $\phi$ representan el mismo estado (y al revés). El cociente del espacio de Hilbert menos el cero por esta relación te da justamente el espacio proyectivo de Hilbert. El problema es que a parte de esto, no sé nada más. He leído que la geometría proyectiva también se usa para diferentes cosas con los espines, los qubits, existe una "ecuación de Schrödinger proyectiva"... Pero nunca me lo he estudiado en serio.