Animación de una onda con Mathematica

[Weip]

Hola a todos. Yo suelo usar el programa Mathematica para calcular integrales, determinantes muy grandes... Pero no solo sirve para hacer cálculos, también se pueden crear animaciones y simulaciones de fenómenos físicos entre otras cosas. Ya que tengo el programa desde hace bastante tiempo he decidido aprender un poco como funciona esta parte de Mathematica. En este blog quiero explicar paso a paso como animar una onda en una región determinada con Mathematica. De paso me servirá para acabar de sedimentar lo que he estado viendo estos días.

Una onda obedece a la llamada ecuación de onda (valga la redundancia):

$\dst\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2 \nabla ^2 u$

Supondré solo dos coordenadas espaciales y por comodidad tomaré $v$ como la unidad. Con estos cambios la ecuación queda:

$\dst\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\dst\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dst\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

Ahora toca escribir esta ecuación en nuestro programa. La función $u$ se escribirá u[x, y, t] y para las derivadas parciales usaremos D[f, x, y,...]. D[f, x] es la derivada parcial de $f$ respecto $x$, D[f, x, y] es la derivada parcial de $f$ respecto $x$ y luego respecto $y$... Y así con todas las variables que pongamos. Por lo tanto nuestra ecuación es:

Las condiciones de contorno que usaré son:

Para solucionar la ecuación utilizaré NDSolve:

Aviso que tarda unos treinta segundos largos. Los valores mínimos y máximos de $x$, $y$ y $t$ son totalmente arbitrarios. Se pueden poner los valores que queramos. Dicho esto voy a representar la onda. Para ello usaré Plot3D:

PlotRange sirve para indicar el rango de una coordenada. Lo que ha quedado ahora es una gráfica vacía. Para animarla hay que usar Manipulate con el que especificando una variable podemos hacer que varíe a nuestro gusto. Nosotros elegimos el tiempo:

Ahora nos queda lo siguiente:

Con la barra podemos ir variando el tiempo y veremos la gráfica animada. También podemos especificar un valor concreto apretando el + del final de la barra (el más pequeño). Por ejemplo para $t=8.3$:

Con esto la animación ya estaría hecha pero yo prefiero añadirle un mapa de colores. Para ello hay que poner ColorFunction->"TemperatureMap" después de PlotRange. Normalmente se pone para destacar las variaciones de temperatura en una distribución de calor pero me gusta como queda en las ondas. Si no también se puede colorear con todas las opciones que hay en el anterior enlace. En el mismo instante que antes la gráfica queda:

[Weip]

Hola Weip, como no tengo Mathematica díficilmente podré aprovechar lo que nos explicas en tu post, pero hoy he visto un estudio en el que hay animaciones de la Ola de los estadios de fútbol y he pensado en tí, aquí tienes el enlace por si te interesa, saludos:
http://angel.elte.hu/wave/

Gracias por la recomendación, lo leeré.

Muy bueno Weip. ¿puedes decirme como resolver la ecuación de onda de Schrodinger en mathematica? Porque he seguido lo que has hecho y me tira error. Creo que tiene que ver con respecto a condiciones iniciales o algo así.

NDSolve[{ I D[u[x, t], t] - D[u[x, t], x, x] - 1 == 0}, u, {t, 1,
2}, {x, 1, 2}, {t, 1, 2}]


Claro faltan los factores pero creo que no cambia

¿Qué error te da exactamente? De todas formas hay una cosilla a comentar. En Plot3D habría que distinguir la parte real e imaginaria de la solución. Para ello usa Re[u[x,t]] e Im[u[x,t]] con el /.Res (o como llames a NDSolve).

[leo_ro]

este es el error: Value {x,1,2} of the dominian argument should be complex, real, algebraics, rationals, integer, primes or automatic.

¿No se puede obtener el resultado complejo entonces con el NDSolve?

[Weip]

este es el error: Value {x,1,2} of the dominian argument should be complex, real, algebraics, rationals, integer, primes or automatic.

Mmm pues no sé muy bien a qué se podría deber pero leyendo mejor tu primera intervención me he dado cuenta de dos errores que pueden estar relacionados:

NDSolve[{ I D[u[x, t], t] - D[u[x, t], x, x] - 1 == 0}, u, {t, 1,
2}, {x, 1, 2}, {t, 1, 2}]

Si tu pones u[x,t] entonces cuando especifiques el rango de valores que pueden tomar x y t has de hacerlo primero para x y luego para t, respetando el orden que tú mismo has impuesto al escribir u[x,t]. Además has puesto dos veces los valores posibles para t. Tendrías que ponerlo así: NDSolve[{ I D[u[x, t], t] - D[u[x, t], x, x] - 1 == 0}, u, {x, 1, 2}, {t, 1, 2}]. Otra cosa ¿el -1 de donde viene?

¿No se puede obtener el resultado complejo entonces con el NDSolve?

Sí que se puede sí. Con eso no hay problema, de hecho lo pone en la documentación de NDSolve.