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Demostraciones

Demostración de la derivada del cociente

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Procedamos a demostrar la derivada de un cociente. Dice así:

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador. Es decir:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)}  \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot ...

Primero lo demostraremos empleando la derivada de una potencia y la derivada de un producto :

Recordemos:

Derivada de una potencia

\text{Si}\; y=[f(x)]^n \Longrightarrow y'=n\cdot [f(x)]^{n-1} \cdot  f'(x)

Derivada de un producto


\text{Si}\; y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y'=f'(x)\cdot g(x) +  f(x) \cdot g'(x)
Comenzemos con la demostración de la derivada del cociente por este método:

\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot  \frac{1}{g(x)}=f(x)\cdot [g(x)]^{-1}

Aplicamos la fórmula de la derivada del producto:

y'=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot  \left({[g(x)]^{-1}}\right)'

Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia:

\displaystyle y'=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1} + f(x)\cdot  [-g(x)]^{-2}\cdot g'(x)

Operamos:

\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot  g'(x)}{[g(x)]^2}

Restamos las fracciones:


\displaystyle y'=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot   g'(x)}{[g(x)]^2}


Por este método queda demostrada la ecuación ( 1 ). Vamos por el segundo método, un tanto más formal. Para este utilizaremos el concepto de límite, cuyos teoremas principales podemos encontrarlos en este blog , y la definición de derivada.

Recordemos que podemos definir a la derivada de la siguiente manera:

\displaystyle \boxed{y'= \lim_{\Delta x\to 0}\;  \frac{f(x+\Delta  x) - f(x)}{\Delta x}}

Procedamos a demostrar la fórmula de la derivada del cociente mediante la definición de derivada. Al cociente de funciones lo escribiremos como la función cociente:

\displaystyle  y=\frac{f(x)}{g(x)}=\left({\frac{f}{g}}\right)(x)


Si sustituimos esta función en la definición de derivada, nos queda:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\;  \displaystyle  \frac{\displaystyle \left({\frac{f}{g}}\...

Ahora volvemos a descomponer nuestra función cociente en el cociente de funciones, de tal modo que:


\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0}\; \frac{\displaystyle  \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)...

Simplificamos:

\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle   \left[ \frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta ...

Ahora, al término  \displaystyle f(x+\Delta x) vamos a restarle f(x) . El problema es que al hacer esto modificaríamos la expresión, por tanto también vamos a sumárselo:


\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle   \left[  \frac{f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)}{...


Ahora separaré los términos convenientemente, sin modificar la expresión:


\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0}\; \displaystyle    \left[  \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{g(x+...


Opero convenientemente:


\displaystyle y'= \lim_{\Delta x\to 0}\left[  \frac{\displaystyle   \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(...


Ahora restamos las fracciones:


\displaystyle  y'=\lim_{\Delta x\to 0} \left[  \frac{\displaystyle   \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f...


Sacamos factor común al f(x) :


\displaystyle y'=\lim_{\Delta x\to 0}   \left[ \frac{\displaystyle  \left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(...


Ahora vamos a multiplicar a la segunda fracción por (-1) . Para no alterar la expresión, multiplicaremos numerador y denominador:


\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0}  \left[ \frac{\displaystyle     \left[{\frac{f(x+\Delta x...


Reescribiendo:


\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0} \left[  \frac{\displaystyle      \left[{\frac{f(x+\Delta ...


Ahora vuelvo a separar los términos convenientemente, sin modificar la expresión, de modo:


\displaystyle y'=  \lim_{\Delta x\to 0}  \left[ \frac{\displaystyle       \left[{\frac{f(x+\Delta...


Ahora, conociendo los teoremas fundamentales de los límites, desarrollaremos la expresión:

y'= \frac{\displaystyle \lim_{\Delta x\to  0}{\left[{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}...


Vamos a analizar detalladamente esta última expresión.

Sabemos que \displaystyle \lim_{\Delta x\to  0}{\left[{\frac{f(x+\Delta  x)-f(x)}{\Delta x}}\right]} es igual que la definición de derivada, por tanto:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{f(x+\Delta   x)-f(x)}{\Delta x}}\right]}=f'(x)


Si sustituimos \Delta x por 0 en la expresión: \displaystyle  \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)} , obtenemos:

\displaystyle  \lim_{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)}=g(x)


Tambien sabemos que \displaystyle \lim_{\Delta x\to  0}{\left[{\frac{g(x+\Delta   x)-g(x)}{\Delta x}}\right]} es igual que la definición de derivada, salvo que con una g en lugar de con una f , por tanto:

\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}{\left[{\frac{g(x+\Delta    x)-g(x)}{\Delta x}}\right]}=g'(x)


En la expresión \displaystyle  \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)} , como no hay ningún \Delta x que sustituir, se queda:

\displaystyle  \lim_{\Delta x\to 0}\;f(x)=f(x)


Podemos decir lo mismo de \displaystyle  \lim_{\Delta x\to  0}\;g(x)}

\displaystyle  \lim_{\Delta x\to 0}\;g(x)}=g(x)


Si sustituimos ( 21 ) , ( 22 ) , ( 23 ) , ( 24 ) y ( 25 ) en ( 20 ) , quedaría:


\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)}- g'(x) \cdot  \frac{f(x)}{g(x) \cdot g(x)}

Reescribiendo:

\displaystyle y'=\frac{f'(x)}{g(x)}-  \frac{g'(x) \cdot  f(x)}{[g(x)]^2}

Simplificando:

\displaystyle y'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x) \cdot   f(x)}{[g(x)]^2}


Por tanto, ha quedado demostrado (por dos métodos) que:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)}   \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot...


Espero que les haya gustado y se hayan divertido en mi demostración.

¡Saludos!

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Actualizado 02/08/2012 a las 00:39:54 por angel relativamente

Categorías
Matemáticas , Cálculo

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