Cerrado [Desafío 2.04] El último aliento del emperador

[La esfinge]

¡Saludos desde Guiza!

Pues sí, sigo en casa desde la quincena pasada. Pasar unos días en el hogar no es tan trepidante como mis incesantes viajes, pero no os penséis que es menos interesante, ya que me da la oportunidad de encontrarme con muchos amigos. Además, ¡¿para qué tener un pedestal con vistas a la Gran Pirámide si no se disfruta de la morada de vez en cuando?!

Si hace dos semanas tuve la oportunidad de hacer un poco de plumicura con el ave Phenix (que, por cierto, le acabo de enviar vuestras respuestas al desafío anterior y está más contenta que unas pascuas, literalmente ardía en deseos de comprender porqué estaba más agustito sobre el lago helandose que sobre la nieve), hoy he tengo el enorme placer de recibir la última faraona, Cleopatra VII.

Pese a la diferencia de edad, yo ya llevaba casi dos mil quinientos años torturando neuronas con mis enigmas cuando ella llegó al trono, fuimos grandes amigas. Y como tales, esta mañana hemos repasado viejos recuerdos paseando por la ribera occidental del Nilo.

Concretamente, hemos hablado largo y tendido de sus últimos días de su reinado. Cleo no hacía más que renegar de Octavio, recordando cómo le obligó a fingir su propio suicidio. De hecho, se mostró sorprendida por el éxito de su pantomima, aún hoy en día la práctica totalidad de la gente sigue pensando que el áspid terminó con su vida.

Y es que, se quejaba Cleo, Octavio era frío y calculador, le fue imposible seducirlo e influenciarlo como anteriormente había hecho con Julio César y Marco Antonio. Al decir esto, se ruborizó. «No pienses que sólo estuve con ellos por interés, llegué a amarlos a los dos».

Noté como su mirada se entristecía. Se notaba que, dos milenios después, sigue lamentando su pérdida. «Pensarás que soy una estúpida, pero a veces pienso en cómo murieron, en lo que pensaron mientras daban su último aliento... y pienso que me encantaría respirar un poco del aire que expiraron por última vez».

Vaciló unos segundos, para terminar por decir «La verdad es que no se cuál es la probabilidad de que, al inspirar, uno de los átomos que salieron del cuerpo de Julio, o Marco, en su última expiración». Cleo, no sabes cuanto me alegra que hagas esta pregunta, sé quien puede ayudarte a responderla.

[La esfinge]

Re: [Desafío 2.04] El último aliento del emperador

A continuación os copio la respuesta que he encontrado en un libro de probabilidad. Así, podéis compararla con las respuestas de los participantes, que encontraréis más abajo.

Sea N el número de moléculas de aire en la atmósfera, de las cuales A fueron exhaladas por Julio César (o Marco Antonio), la probabilidad que inhalemos una de estas moléculas es A/N (tras dos mil años, las moléculas procedentes de la respiración de los emperadores se han difuminado homogéneamente por todo el mundo, suponiendo que siguen en la atmósfera), y la probabilidad de no inhalar ninguna es $1-A/N$.

Sea B el número de partículas que respira Cleopatra en cada respiración, si suponemos que la inhalación de una determinada molécula es independiente de la inhalación de otra, por la definición de sucesos independientes tenemos que la probabilidad de que en una inhalación no venga ninguna molécula de César es $(1-A/N)^B$. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una molécula venga de alguno de ellos será

$$p = 1 - \left( 1 - \frac A N \right)^{\!\!B} .$$

En una inspiración/exhalación se mueven aproximadamente (1/30) litros de aire, que nos da al rededor de $A \approx B \approx \notcien{2.2}{22}$ moléculas. Por otra parte, el número total de moléculas en la atmósfera es N \approx 10^{44}. Poniéndolo todo junto da

$$p \approx 1 .$$

Es decir, con casi toda seguridad, Cleopatra aspira un átomo procedente de la última respiración de los emperadores.

[Introducción a la teoría de la probabilidad y de la información, Jaume Masoliver y Jorge Wagensberg, Ediciones PROA]

Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[panchovilla]

sobre el aliento

supongo que el problema consiste en estimar la probabilidad de que alguna molecula (atomo me parece muy pequeñito) de aire llegue desde una zona de mayor presion, (los pulmones del moribundo) hasta una zona de presion "negativa" (supongo que la mujer esta inspirando). esto dependera de las diferencias de estas presiones, de las distancias que separan estas dos zonas, y del caudal de moleculas que permite trasnmitir el medio en cuestion (las traqueas de los interesados, los tamaños de sus bocas y narices).

sin tener datos fidedignos al respecto, pero utilizando solo una pequeña estimacion de sentido comun, digamos, podria afirmar que si el muerto sopla fuerte, y la chica aspira con ganas, y la distancia no es mayor a un metro, hay altas probabilidades de que la chica se respire algunas moleculas del aire del moribundo

(si no fuera asi, no habria tanto problema con las zonas de fumadores y no-fumadores )

saludos.

[Stormkalt]

Inspirar mismos átomos

Hola estimada Esfinge.

Este desafío particularmente me ha sorprendido por la respuesta que obtuve. Sin embargo, debí hacer demasiadas suposiciones y temo haber caído en una cifra con demasiado margen de error (espero que no me haya pasado como en el famoso cuento del caballo esférico).

Bueno, para comenzar, tendremos en cuenta que aproximadamente el 85 % de la masa de aire atmosférico se encuentra por debajo de una altitud de 13 km. Este será el volumen que tomaremos para asumir que todas las moléculas "respirables" circulan por allí. Se eligió este valor por ser el promedio de la capa denominada tropósfera, que es de aproximadamente 6 km en las regiones polares y se extiende a unos 15 o 20 en las ecuatoriales.
Supondremos también que al haber pasado tanto tiempo de la muerte, el último suspiro (que según enciclopedia es de 0,5 litros) se habrá distribuido uniformemente por toda la atmósfera. Se ignorará por completo el hecho de que las moléculas que conforman el aire son retenidas temporalmente por los seres vivos o por el medio en sí.
También haremos la estimación suponiendo que el aire se comporta como un gas ideal y se halla en condiciones normales de presión y temperatura.

Dichas las aclaraciones anteriores, calcularemos el volumen de la tropósfera:

$$\[<br /> \begin{gathered}<br /> V_{trop} = \frac{{4\pi }}<br /> {3}\left( {6391^3 - 6378^3 } \right)km^3 = 6,66x10^9 km^3 \hfill \\<br /> V_{trop} = 6,66x10^{21} litros \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \]$$

Calculemos ahora el número de moléculas que se encuentran presentes en una inspiración o espiración de 0,5 litros de aire:

$$\[<br /> N = \frac{{0,5l.0,023x10^{23} \frac{1}<br /> {{mol}}}}<br /> {{22,4\frac{l}<br /> {{mol}}}}\left( {moleculas} \right) = 1,34x10^{22} moleculas<br /> \]<br />$$

Donde N es el número de moléculas que espiró Julio César o Marco Antonio por última vez. Todas estas moléculas, como se mencionó, se habrán distribuido uniformemente por la atmósfera debido al tiempo transcurrido desde este último suspiro. Calculemos entonces cuántas de ellas hay por litro de atmósfera respirable

$$\[<br /> \frac{N}<br /> {l} = \frac{{1,34x10^{22} moleculas}}<br /> {{6,66x10^{21} litros}} = 2\frac{{moleculas}}<br /> {{litro}}<br /> \]$$

Es decir, por cada litro de aire actual hay como promedio 2 moléculas de las espiradas por Julio o Marco por última vez.
Como en la inspiración normal se toma alrededor de medio litro de aire. Existe una probabilidad bastante alta de respirar una molécula o átomo (pues ellos forman las moléculas) de las espiradas por estos personajes históricos.
Se podría arriesgar de forma sumamente apresurada que la probabilidad tiende a 1.

No hubiese variado demasiado esta respuesta su hubiésemos tomado un volumen mayor de atmósfera. Por ejemplo, si altura la hubiéramos fijado en 26 km el número de moléculas por litro hubiera sido de 1. De modo que la probabilidad seguiría siendo alta.
El problema es que no podemos tomar cualquier altura debido a que el aire es muy compresible, por lo que el resultado habría que calcularlo en términos de integrales.

¡Saludos!

[arreldepi]

Respuesta [Desafío 2.04]:

Para solucionar este problema tenemos que tener en cuenta 2 cosas:

1. Dos sucesos son independientes entre sí si:

   $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

2. La probabilidad de el suceso complementario es:

   $$P(\bar{A})=1-P(A) \quad\Rightarrow\quad P(A)=1-P(\bar{A})$$

Entonces, llamemos $n$ al número total de átomos (o partículas) que hay en total (en la atmósfera), y llamemos $E$ al número de partículas que expiró el emperador. Entonces, la probabilidad de inhalar una partícula es

$$\frac{E}{n},$$

y la probabilidad de no inhalar ninguna

$$1-\frac{E}{n}$$

Llamemos $C$ al número de partículas que inhala Cleopatra cada vez qu respira. Si suponemos que el hecho de inhalar una partícula u otra es independiente (1), tenemos que la probabilidad de que en una inhalación ninguna molécula provenga del emperador es

$$P_\text{ninguna}=\left(1-\frac{E}{n}\right)\cdot\stackrel{C)}{\ldots}\cdot\left(1-\frac{E}{n}\right) = \left(1-\frac{E}{n}\right) ^C$$

Con lo cual, la probabilidad de inhalarne como mínimo una es:

$$\boxed{P_{\text{una}}=1-\left(1-\frac{E}{n}\right) ^C}$$

Entonces, en cada respiración absorbemos, aproximadamente, 500 mL de aire, lo cual es, suponiendo gas ideal, presión de 1 atm y temperatura de 298 K, hace que

$$C\approx 1,2\times 10^{22} \text{mol\'eculas}$$

como aproximadamente, expulsamos el mismo número de partículas que inhalamos, tenemos que $C\approx E \approx 1,2\times 10^{22} \text{mol\'eculas}$. Entonces, se calcula que el número de partículas en la atmósfera es de $1,1\times 10^{44}$ moléculas, así que:

$$\boxed{P_{\text{una}}=1-\left(1-\frac{1,2\times 10^{22} }{1,1\times 10^{44}}\right)^{1,2\times 10^{22} } \approx 1-1 \approx 0.}$$

Así que Cleopatra tendría que haber tratado mejor a sus cónyuges en vida porque ahora es un poco tarde.

[neometalero]

El último aliento del emperador

Para empezar, calculemos el volumen de la atmósfera.
El volumen de la esfera ya lo conocemos todos:

$$\frac{4}{3}pi(R^3-r^3)$$

donde R y r son respectivamente, 7370 y 6370km habiendo considerado que la altura de la atmósfera es de 1000Km si bien a partir de los 480Km las moléculas se disocian en iones y otras escapan de la atracción terrestre.
Con todo ello, haciendo el cambio oportuno de unidades, considerando gas ideal en condiciones normales (1 mol = 22.4litros) y que entre carbono y oxígeno ( al expirar liberamos dióxido de carbono) tenemos el 21% del total de la masa gaseosa, el número total de átomos es de

$$3.354373058.10^{45}$$

.
En el enunciado se dice que han pasado dos milenios, luego algunos de estos átomos se habrán desintegrado con el paso del tiempo. El período de semidesintegración del carbono es de 5730 años y el del oxigeno de 122 días.
Haciendo los cálculos oportunos, mediante la ley de desintegración radioactiva $N(t)=N_{0}exp^{-\lambda t}$, obtenemos que en la actualidad quedan de esos átomos $2.633539335.10^{45}$.
Por otro lado, Cleopatra VII vivió 39 años, la capacidad pulmonar media de un ser humano es de 3.5litros y podemos suponer que realizar 20 inspiraciones por minuto o 1 cada 3 segundos. En ese caso, podemos calcular el número de átomos inspirados por Cleopatra VII a lo largo de toda su vida con un sencillo cálculo que resulta ser de

$$3.857630217x10^{31}$$

.
Así pues, la probabilidad de que Cleopatra inspirase un átomo expirado por Marco Antonio o Julio César es del

$$1.464808277.10^{-12}$$

o lo que es lo mismo, de 1 entre 68 billones.

[alefriz]

El último aliento del emperador

Hola a todos,

Para estimar la probabilidad de respirar alguna molécula espirada por el emperador, hay que calcular el número de moleculas exhaladas en su último aliento.

Sabemos que la masa molecular del aire inspirado es aproximadamente de 28,8 g/mol (concentraciones: 79% de N2 + 21% de O2), mientras que el aire espirado es algo más pesado con una masa molecular de 29,4 g/mol (concentraciones: 79% de N2 + 16% de O2 + 5% de CO2). Supondremos una masa molecular del aire constante (tanto para el aire inspirado como exhalado) de 29 g/mol ($M_m = 0,029 kg/mol$).

Con este supuesto, podemos decir que un número de Avogadro ($N_A$) de moléculas de aire (6,023·10^23 moleculas, por mol de sustancia) pesa 29 gramos.

En condiciones de temperatura (36 ºC) y presión (atmosférica) del cuerpo humano, esos 29 gramos ocupan un volumen determinado:

$$V = \frac{m R_{aire}T}{p}= \frac{0,029 \cdot (8,31/0,029) \cdot (273+36)}{101300} = 0,0253 m^3$$

Es decir, los 29 gramos de aire ocupan un volumen de 25,3 litros.

Normalmente, cuando respirados y exhalamos, estamos introduciendo o sacando un volumen de un (1) litro de aire aproximadamente, por lo que estaríamos expulsando 1,15 gramos de aire por cada litro. Esta es la cantidad de aire que exhaló por última vez el emperador.

El número de moléculas $N$ que hay en este aire exhalado es:

$$N= \frac{m}{M_m}\cdot N_A = \frac{0,00115}{0,029}\cdot 6,023\cdot 10^{23} \cong 2,4 \cdot 10^{22} \, moleculas$$

Se estima que la masa total de la atmósfera es de 5·10^18 kg (tomado de la WIKIPEDIA) por lo que el número total de moléculas de aire es:

$$N_T= \frac{m_T}{M_m}\cdot N_A = \frac{5\cdot 10^{18}}{0,029}\cdot 6,023\cdot 10^{23} \cong 1 \cdot 10^{44} \, moleculas$$

Entonces la probabilidad de respirar alguna molécula del aire exhalado por el emperador sería:

$$P(\%) = (\frac{N}{N_T})\cdot 100 = (\frac{2,4 \cdot 10^{22}}{1 \cdot 10^{44}})\cdot 100 = 2,4 \cdot 10^{-20}$$

Realmente, es una probabilidad muy pequeña.

[Albertotti]

Desafio 2.04

Soy nuevo en esto, así que, espero hacer los pasos correctamente:

La clave está en estimar el número de partículas que hay en la troposfera y suponerlo constante durante los últimos 2000 años. Una vez hecho esto, se estima la cantidad de partículas que entran y salen en cada respiración. Dividiendo estas entre aquellas tendrás la probabilidad.

La presión media a nivel del mar es 101325 Pa (o N/m²). La masa total de aire en la tierra será:
$p = \frac{F}{ {S}_{Tierra} } = \frac{{m}_{total} g}{ 4 \pi {{R}_{T} ^{2} }}$
con los valores de:
${R}_{T} =6378 km$
$g = 9.81 m {s}^{-2}$

Se obtiene un resultado de: m = 5.28·10¹⁸ kg.
Con el peso molecular medio M = 28.9 g/mol, se calcula inmediatamente que el numero total de partículas es de:
$n = \frac{m}{M} {N}_{Av} \approx {10}^{44}$

Por otro lado, en cada respiración humana normal, si bien el volumen es muy variable, estimaremos, para nuestros cálculos aproximados una capacidad de 1litro, que son 1.292 kg y, con el cálculo anterior, se traduce en 3·10²⁵ partículas.

Esto significa, que la probabilidad de Cleopatra, 2000 años después que una de las partículas inspiradas por Cleopatra sea de la última eSpiración de Julio Cesar o de Marco Antonio será de:
$\frac{{3 10}^{25} }{{10}^{44} } = {3 x 10}^{-19}$.

Con una distribución binomial se obtiene una probabilidad de que haya al menos una de:
${10}^{-19}* {(1 - {10}^{-19})}^{{10}^{25}}$
con lo que, sin la posibilidad de calcularlo, puedo decir que es bastante cercano a 1.

Saludos

[carmelo]

Respuesta desafio &quot;El último aliento del emperador&quot;

Hola:

Para realizar los cálculos consideremos los siguientes valores numéricos.

$M=4\times 10^{18}kg$: masa de la atmósfera (sólo la tropósfera).

$V_\text{inspirado}=V_\text{espirado}=0.5L$

$\overline{Mm}=29g\,mol^{-1}$: masa molecular promedio del aire.

La fracción de moleculas correspondiente al aire espirado por los emperadores (suponiendo que la totalidad de ellas permanecen como respirables) es:

$p=\dst\frac {2n_0} N$

donde $n_0$ es el número de moléculas en el aire espirado por cada uno de los emperadores.

Calculemos el número de moléculas respirables N, como:

$N=N_A\,\dst\frac{M\times 10^3}{\overline{Mm}}=6,02\times10^{23}\dst\frac{4\times10^{21}}{29}}=8\times10^{43}\text{moleculas}$

y el número de moléculas $n_0$ como:

$n_0=N_A\overline{Mm}\dst\frac{PV}{RT}$ de donde a $1atm$ y $25^\circ \qquad n_0=4\times10^{23}\text{moleculas}$

por lo tanto, $p=1\times10^{-20}$

Ahora definamos las siguientes probabilidades:
$P_A$: Probabilidad de inspirar al menos una molécula de la que espiraron los emperadores.
$P_B$: Probabilidad de no inspirar ninguna molécula de la que espiraron los emperadores.
Se tiene que estos sucesos son mutuamente excluyentes, por lo tanto:
$P_A+P_B=1$
Vamos a calcular $P_B$:
Si tomamos una molécula al azar la probabilidad de que no pertenezca al ultimo aire espirado por estos emperadores es $1-p$. Se puede suponer que esto no modifica la proporción $p$, por lo tanto si tomamos una segunda molécula al azar, la probabilidad de que no se encuentre ninguna molécula del último aliento de los emperadores es $(1-p)^2$. Generalizando para un número $n$ de moléculas se tiene:

$$P_B=(1-p)^n$$

$$\ln P_B=n\ln(1-p)=-np$$

teniendo en cuenta que $p$ es muy pequeño. Como se supuso que el volumen espirado y el volumen inspirado son iguales, y que las condiciones de temperatura y presión las supondremos iguales, podemos decir que $n=n_0$.
de donde $P_B=10^{-\log{e}\,n_0\,p}}=10^{-1737}$
por lo tanto
$P_A=1-P_B=1-10^{-1737}\approx 1$
Por lo tanto es casi seguro que al respirar se inspire al menos una molécula de aquellas que formó parte del aire espirado por uno de los emperadores.

Saludos