[Desafío 2.08] Desquiciado por Morgana

[carmelo]

Respuesta desafio "Desquiciado por Morgana"

Hola:

Presumiblemente lo que estaba viendo el Rey Arturo era una imagen de un barco que se encontraba mas alla del horizonte. Veamos como es posible que esto ocurra.
El indice de refracción del aire que forma la atmósfera varia con la densidad, la cual es función de la temperatura y de la presión.
Habitualmente se asume la siguiente relación para el indice de refracción en función de la densidad, conocida como relación de Gladstone-Dale.

$$n-1=k_\lambda\rho(p,T)$$

Donde $k_\lambda$ es una constante que depende de la longitud de onda, y hemos puesto enfasis en la variación de la densidad con la temperatura y la presión. Si suponemos que es correcto utilizar la ley del gas ideal para el aire de la atmósfera se tiene:

$$n-1=k_\lambda \bar{M}\dst\frac{p}{RT}$$

Habitualmente la temperatura de la atmósfera disminuye a medida que la altura aumenta, pero en ciertas circunstancias ocurre lo contrario, es decir la temperatura aumenta a medida que aumenta la altura, hecho conocido como inversión de temperatura. Por lo tanto recordando la expresión (2) se tiene que el indice de refracción disminuye con el aumento de la altura. Hay que notar además que la presión atmosférica disminuye a medida que aumenta la altura aunque su contribución a la disminución del indice de refracción con la altura en general será menor que debida a la temperatura, aunque debería tenerse en cuenta si se quiere realizar algún cálculo numérico mas exacto.
Luego de estas consideraciones debemos de pensar que la trayectoria seguida por los rayos no va a ser una linea recta sino que de acuerdo al principio de Fermat va a seguir la trayectoria que otorgue el menor camino óptico, que se define como:

$$L=\dst\int_a^b n(x,y,z)\dd \ell$$

Cualitativamente esto se puede ver como que la luz toma un desvio por el cual puede avanzar más rápido (zona con menor indice de refracción) aunque la distancia recorrida sea mayor, o sea lo que importa es el tiempo en que tarda en realizar la trayectoria. (Este principio se lo encuentra algunas veces como principio del tiempo mínimo).
O sea que lo que va a ocurrir será algo parecido a lo que se esquematiza en la Figura 1.

Figura 1

Donde vemos que el observador percibe la proyección de la tangente a la trayectora en el punto de observación, lo que hace parecer que el barco se encuentra flotando sobre el horizonte.
Si se quisiera hacer un tratamiento numérico del problema, se debería en principio considerar como sería el gradiente de temperatura, considerar la variación de la presión con la altura o en principio incluso como primera aproximación tomarla como constante. Una vez hecho esto con la relación de Gladstone-Dale obtener el indice de refracción en función de las coordenadas espaciales y por último aplicar el principio de Fermat el cual conduce en general a un problema de cálculo de variaciones.
Se puede dar el problema inverso, es decir, dada una trayectoria, ver como debería de varíar el indice de refracción, y como debería de ser el gradiente de temperatura. Un caso que encontré particularmente interesante es aquel cuando el rayo sigue una trayectoria circular con una curvatura igual a la de la Tierra.

El "Fata Morgana" que menciona el enunciado del desafio es un fenómeno mas complejo que se debe a la presencia de capas de aire calido y frio alternadas y que puede generar múltiples imagenes de un objeto normales he invertidas, asi como también pequeños obstaculos como icebergs hacerlos ver como castillos, muros o torres. Aunque complejo este fenómeno puede ser entendido cualitativamente considerando los argumentos expuestos anteriormente.

Saludos

[Cherno Alpha]

Respuesta: Desquiciado por morgana.

El efecto fata morgana es un espejismo que se explica por la separación regular entre el aire caliente y el aire frío (más denso); separación que actúa como una lente refractante y produce una imagen invertida sobre la que el objeto distante parece flotar.

Esta inversión de la temperatura hace que nuestros ojos perciban los relieves que destacan en el horizonte (costas, barcos, icebergs) de manera más alargada y elevada de lo que en realidad son y están. Dicho de otro modo: bajo el poder de la Fata Morgana la realidad física pierde masa y peso, se vuelve volátil y cambia… o al menos eso es lo que nos comunica el sentido de la vista.

Recibe su nombre del italiano fata Morgana (es decir: hada Morgana), en referencia a la hermanastra del Rey Arturo (Morgan le Fay) que, según la leyenda, era un hada cambiante.


Los efectos Fata Morgana son espejismos superiores, diferentes de los espejismos inferiores, que son más habituales y crean la ilusión de lagos de agua distantes en el desierto o en carreteras con el asfalto muy caliente.

[arreldepi]

Respuesta al Desafío 2.08:

El motivo por el cual observa el barco volador es consecuencia de un gradiente térmico que hace variar el índice de refracción del medio de forma "continua" a lo largo del tramo en el que tenemos gradiente de temperatura. En tal caso, los rayos se curvan y nos hacen ver una imagen que no se corresponde al lugar al que apuntamos.

Es decir, tenemos que un rayo varía su ángulo al variar de medio verificando la ley de Snell:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

Esto, cuando tenemos dos medios que se separan muy claramente se traduce en una desviación apreciable del rayo incidente. No obstante, si estamos en un mismo medio que presenta un gradiente de temperatura (que es nuestro caso) esta variación del índice se presenta en cada ""lámina"" del medio y hace que parezca que el rayo se desvía siguiendo una curva. Esto es lo que se conoce como espejismos.

Tenemos que

$$v=\lambda\nu\qquad v=\frac{c}{n}\qquad \lambda'=\frac{\lambda}{n}$$

El índice de refracción $n$ depende de la densidad del medio y ésta, a su vez, depende de la temperatura, con lo cual, vemos que, efectivamente, el gradiente de temperatura hará variar el índice de refracción. ¿Qué sucede? Cerca del mar tenemos una temperatura inferior a la temperatura que tenemos al irnos alejando, entonces, cerca del agua el índice de refracción será mayor y, por tanto, la longitud de onda menor, de esta manera, a medida que nos acercamos al mar, los frentes de onda se irán acercando y, por lo tanto, los rayos se curvarán de forma convexa, como mostramos en la siguiente figura:

De manera que, aunque nosotros apuntemos hacia el horizonte (hacia el cielo) lo que observaremos será producto de la desviación del rayo y, por lo tanto, veremos algo que está en el mar, de forma que cuando un barco pase por allí, lo veremos como si estuviese surcando el cielo.

En general, los espejismos a los que estamos acostumbrados son el caso inverso al que se presenta en el desafío, cuando vamos por una carretera y hace calor, o en el desierto, lo general es que veamos en el suelo el cielo reflejado (de ahí los oasis en el desierto) a causa de la mayor temperatura del suelo (aumenta la longitud de onda, los frentes de onda se separan y, por tanto, los rayos se curvan de forma cóncava). No obstante, este espejismo descrito en el problema lo observamos día a día con la puesta del sol, cuando nosotros creemos ver al sol cruzando el horizonte, lo que vemos en realidad, es el reflejo del sol que ya lo ha cruzado. El motivo, es el que hemos descrito.

[Laron]

Respuesta -Desquiciado por Morgana-

Señor Arturo, no se preocupe que usted no está padeciendo de ningún cuadro psicológico, las imagenes que usted esta observando se deben a un espejismo creado por la inversión de la temperatura que ocasiona la refracción de la luz, funciona más o menos así:

En la atmósfera, la temperatura del aire puede variar a medida que aumentamos o disminuimos la altura, dependiendo en los lugares que estemos, a esto le podemos llamar un gradiente de temperatura. El gradiente de temperatura hace que la densidad del aire cambie, de manera que, mientras la temperatura sea menor, la densidad será mayor(es inversamente proporcional), luego al tener una mayor densidad, mayor será el índice de refracción.

La refracción de la luz hace que esta se curve, dependiendo de como sea el gradiente de temperatura. Como se aprecia en la figura, si la temperatura del aire en el suelo es más caliente la curva es hacia arriba (porque la luz se "tuerce" cuando la densidad es mayor, o sea cuando el índice de refracción es mayor, en este caso se forma hacia arriba). En otro caso si la la temperatura se hace más caliente a medida que aumentamos la altura, la luz se curva hacia abajo.

Ahora, al intentar ver en una dirección, como la luz se esta torciendo, vemos en otra dirección, como por ejemplo, en el desierto, si intentamos ver a lo lejos, el aire abajo es más caliente y la luz se dobla hacia arriba, y hace que veamos el cielo dando una sensación de agua reflejada en el suelo.

En nuestro caso Arturo, intentas ver hacia el horizonte del mar, en donde la densidad del aire disminuye conforme aumentamos la altura, de manera que la refracción de la luz se curva hacia abajo, haciendo posible que veas más alla del horizonte. El hecho de que hayas visto un barco flotante, pues pudo ser porque la luz hacía contacto con un barco que se encontraba más alla del horizonte .

Así que no se traume Rey Arturo y saludos Esfinge...

[Jakost]

Respuesta "Desquiciado por Morgana"

[Desafío 2.08] Desquiciado por Morgana

Hola Esfinge, vengo a dar mi respuesta para poder ayudar al pobre rey Arturo a recuperar su raciocinio.

Antes que nada cabe destacar que la hermana del rey Arturo, la princesa y hada Morgana era discípula de Merlín, conocida por tener poderes para curar y cambiar de forma. En honor a ella se conoce como Fata Morgana a ciertos tipos de espejismos.

Lo que está ocurriendo en este caso, es un efecto óptico llamado espejismo superior, el cual ocurre cuando el aire debajo de la línea de la vista es más frío (más denso) que el aire que se encuentra en las capas superiores, (tomando como referencia la imagen que adjunto) el rayo luminoso que sale desde “A” hacia arriba, se va encorvando por la diferencia de densidades entre las capas de aire cálido y frio, debido a las distintas temperaturas, hasta llegar al punto “B”, donde se dobla hacia abajo, como si hubiese experimentado una reflexión total. El pobre rey Arturo situado en el punto O percibe una imagen hacia arriba invertida del barco, por eso cree estar desquiciado y ver flotar al mismo, cuando en realidad está frente a un efecto óptico.

Saludos!

[Stormkalt]

Espejismo superior

Hola estimada Esfinge:

Lo que le ocurre al pobre de de Arturo es que estuvo experimentando lo que se denomina espejismo superior. Es contrario al que suele verse en los días calurosos sobre la tierra o en el desierto.

El espejismo superior se da principalmente (No siempre) sobre la superficie de las aguas en días calurosos.

Supongamos en este caso sobre las aguas marítimas. El aire se encuentra a alta temperatura sobre la superficie del mar, habiendo un gradiente térmico descendente a medida que nos acercamos a dicha superficie; dado que el agua posee una capacidad calorífica alta, de día estará considerablemente más "fría" que el aire en jornadas de verano. Debido a este gradiente térmico de las capas de aire y por las leyes de la refracción, los rayos luminosos que parten del barco (en rojo) se van curvando hacia abajo a medida que encuentran capas de aires menos denso. Dicho barco, invisible para el observador (en este caso el señor Arturo) parecerá flotar sobre el agua con imagen invertida pues los rayos parecerán provenir de dicho punto (azul). La línea negra representa el horizonte de Arturo.

Espero que con esta explicación se indulte al señor Arturo de todo indicio de enajenación o chifladura para que al menos abandone la autoflagelación.

Saludos

[bertolet]

Respuesta Desafío 2.08

Ocurre un espejismo superior. En virtud del principio de Fermat, la trayectoria de la luz se curva en presencia de gradientes del índice de refracción, y estos se producen, entre otros factores, por la presencia de gradientes de temperatura. Así, mediante una inversión de la temperatura, rayos de luz provenientes de zonas menos elevadas que las del punto de vista curvan su trayectoria al penetrar en zonas de aire más caliente, es decir, menos denso, de modo que llegan al ojo del observador como si proveniesen de lugares más elevados. Si el gradiente de temperatura es suficientemente intenso, la imagen llegará al observador invertida, pues los rayos provenientes de zonas menos elevadas se curvarán mucho más que los provenientes de zonas más separadas de la superficie, esto es, menos frías.

En zonas como el Estrecho de Messina habitualmente se producen este tipo de fenómenos, conocidos como Fata Morgana en referencia, precisamente, a la hermanastra del Rey Arturo.

[neometalero]

Morgana

Bien, una pequeña introducción al problema que nos ocupa:
Cuando hace calor, la temperatura del asfalto es bastante más elevada que
la del aire. Si consideramos el aire dividido en capas, la temperatura de éstas aumenta
conforme se hallan más cerca del asfalto, en consecuencia, el aire próximo al asfalto se hace menos denso, por lo que el índice de refracción va disminuyendo a medida que el aire está más cercano al suelo.
De esta forma, los rayos de luz sufren diversas refracciones que los alejan progresivamente de la normal(al pasar a medios de menor índice) y curvan su trayectoria, de modo que, al observar este fenómeno desde una posición casi rasante, los rayos refractados parecen provenir de una imagen especular. Sin embargo, no debemos engañarnos; se trata de un fenómeno de refracción y no de reflexión.
Este mismo fenómeno es el que da lugar a los famosos espejismos del desierto, ya que los rayos de luz son refractados al entrar en contacto con el tórrido suelo: lo que se ve en realidad es una proyección del cielo y no una laguna repleta de agua.

Ahora bien, digamos que aquí lo que tenemos es el fenómeno "inverso", es decir:
Este caso es un espejismo o ilusión óptica que se debe a una inversión de temperatura donde los objetos que se encuentran en el horizonte como, por ejemplo, islas, barcos o icebergs, adquieren una apariencia alargada y elevada, similar a "castillos de cuentos de hadas".

Con el tiempo en calma, la separación regular entre el aire caliente y el aire frío (más denso) cerca de la superficie terrestre puede actuar como una lente refractante, produciendo una imagen invertida, sobre la que la imagen distante parece flotar.
Podría decirse incluso que el caso habitual es un espejismo inferior y este otro caso un espejismo superior, menos habituales por otro lado.
Saludos

[Blasco]

Fata Morgana

Parece ser que se trata de un espejismo superior.
Este tipo de espejismos ocurre cuando existe una inversión térmica y la temperatura del aire próximo a la tierra es inferior a la temperatura del aire en capas mas altas de la atmósfera.
Este efecto es debido a la distinta refracción de la luz en función de la temeratura del aire.
No parece casual el hecho de que se haya observado este fenómeno al amanecer cuando estas inversiones térmicas son frecuentes.

A este efecto precisamente se le conoce tambíen como Fata Morgana.

La figura adjunta muestra un esquema sobre la formación de este efecto.

Saludos y muchas gracias por estos desafios.

[nico_palermo]

Respuesta a Desafío de Morgana

A este efecto se lo llama Fata Morgana o espejismo superior y se trata de un espejismo pero a la inversa, debida a una inversión térmica.

Una inversión térmica significa que la superficie está mucho más fría que el aire. Entonces el aire cerca de la superficie está más frío y es mas denso que el que hay por encima (justo a la inversa de lo habitual).
Este tipo de espejismo es menos común que los inferiores, pero cuando ocurren tienden para ser más estables, pues el aire frío no tiene ninguna tendencia a levantarse ni el aire caliente a bajarse.

Uno no puede ver el mar más allá del horizonte, debido a la curvatura de la tierra. Pero cuando se produce la inversión térmica la luz que sale de un lugar un poco más allá del horizonte se tuerce hacia abajo, de forma que llega hasta mi. Sorpresa: al mirar por encima del horizonte veo una extraña zona, que no es más que lo que hay más allá del horizonte.

Esto sucede por el efecto de refráccion.
Refracción: Cuando la luz pasa de un medio transparente a otro se produce un cambio en su dirección debido a la distinta velocidad con que se propagan los rayos de luz en diferentes medios materiales.
Los medios en este caso estarían formado por "capas" de aire a diferente temperatura, su sumatoria formaría un gradiente de temperatura desde lo mas frío cerca de la superficie a lo mas caliente mas arriba.

[La esfinge]

Re: [Desafío 2.08] Desquiciado por Morgana

Como habéis apuntado la mayoría de vosotros, lo que atormentaba a Arturo era un efecto óptico de espejismo superior conocido como Fata Morgana, provocado por la inversión térmica y la variación del coeficiente de refracción con la densidad del aire (y, por tanto, con la temperatura).

A nuestro jurado le han gustado las diez respuestas recibidas, ya que todas han recibido más de un siete de media. Ha sido otro desafío muy ajustado, entre el primero y el décimo hay una diferencia inferior a un punto y medio. El ganador ha sido Bertolet, que con un 8,625 suma sus primeros 19 puntos.

A continuación podéis ver todas las respuestas recibidas.

Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[La esfinge]

¡Hola amigos!

Antes que nada, decir que acabo de enviar a la Hada del Bosque vuestras respuestas, y se ha mostrado más que satisfecha con ellas. De hecho, ha comentado que debería haber pensado en el valor finito de la presión atmosférica.

Esta semana, y como sabéis no es nada habitual, vuelvo a estar sóla en casa. Esta vez, sin embargo, no es debido a un contratiempo como hace quince días. Simplemente, estoy atareada preparando la fiesta... no, fiestaza de fin de año.

Y es que si una ya es mitológica de por si, mis fiestas lo son aún más. Supongo que es algo que tengo que hacer para compensar la época en que me dio por estrangular a todos los que no daban con la respuesta a mis acertijos al oeste de Tebas. Pero no os preocupéis, estoy más que rehabilitada.

Bueno, volviendo al tema... Os tengo que confesar que se me hace un poquito duro estar tanto tiempo sola, no estoy muy acostumbrada. Ahora es cuando empiezo a notar que Guiza está realmente en un desierto.

Pero en el fondo, tampoco es tan malo tener tiempo para una misma, y poder hacer largos paseos al amanecer, cuando el sol aun no apreta en demasía. Y, al tener alas, cuando digo que los paseos son largos, me refiero a que realmente son largos. Sin ir más lejos, hoy he estado revoloteando cerca del delta del Nilo, mojando mis pezuñas con las aguas del Mediterráneo.

La verdad que el paseo era de lo más reconfortante, hasta que encontré con un señor descamisado que se estaba autopropinando latigazos. Al acercarme, se presentó bajo el nombre de Arturo, y me explicó que el motivo de su flagelación era castigarse por haber caído en la locura.

«Al final, mi Hermana Morgana ha conseguido desquiziarme», explicó. «Yo era rey, ¿sabes? Rey de unas prósperas islas muy al norte de aquí. ¿Veis el horizonte, amable Esfinge?», dijo levantando su dedo índice en dirección al mar, con la mirada perdida en el infinito. «Pues, incluso a sabiendas que es una hazaña imposible, no puedo evitar la visión de un barco volador flotando, allá a lo lejos. No cabe duda, esto es obra de la Fata Morgana, ya no tengo salvación».

Nada temáis, mi señor Arturo. Nada mejor que una buena explicación Física razonable para recuperar el raciocinio, ¿verdad? Seguro que mis amigos de La web de Física podrán ayudarnos a solucionar este entuerto.