Cerrado [Desafío 2.09] Dos centímetros perdidos por el mundo

[La esfinge]

¡Feliz año a todos!

Antes que nada, os tengo que agradecer a todos la ayuda que le habéis prestado a mi nuevo amigo Arturo. Al poder entender finalmente el fenómeno de la Fata Morgana ha recobrado su juicio. De hecho, al hablar con él hace un rato le he visto más que animado, con renovadas fuerzas me ha comentado que iba a cantarle las cuarenta a un tal Lancelot.

Sé que llego un poco tarde a mi cita para proporcionar el nuevo desafío, pero tenéis que comprender que la celebración del año nuevo me ha dejado realmente destrozada. Es que este año me he ajuntado con uno de mis amigos de la infancia, Puff el dragón mágico. Quizá más de la adolescencia que de la infancia... y quizá algo más que amigos... Bueno, pero eso ahora no importa.

La verdad es que estoy muy contenta de que Puff se haya decidido a salir de su gruta cerca del mar. Desde que perdió una gran amiga suya, llamada Jackie Paper, había estado bastante mustio, e incluso había perdido alguna de sus escamas verdes.

Como ambos tenemos la capacidad de volar, de forma bastante grácil debo añadir, hemos ido haciendo un tour al rededor del mundo para vivir el cambio de año en varias ciudades del mundo. Empezamos por Nueva Zelanda y Australia, y terminamos en Argentina.

Por el camino pasamos por multitud de países y pudimos vivir la forma tan diferente en que se celebra este año al rededor del globo. Incluso en Hong Kong, donde no estábamos seguros si habría fiesta, o si seguirían su propio calendario.

Lo malo con este tipo de viajes es que una nunca sabe que ropa llevarse. Porque pasando por Siberia y el norte de Europa pasamos algo de frío, pero en Buenos Aires nos achicharramos.

Además, los cambios de temperatura tuvieron un efecto especial en el bastón que mi compañero de viaje utilizaba para atar el macuto que contenía su pertinencias: cambiaba su tamaño. Puff, que había estado repasando Física en su cueva de Honah Lee, mientras volábamos de Europa a Sur América, me contaba:

«Se trata de la dilatación térmica, que viene caracterizada por el coeficiente de dilatación lineal, según la ecuación

$$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T .$$

No sé cual es el coeficiente de dilatación del material de mi bastón, pero por lo que he observado, la diferencia de temperatura entre el helado Moscú y aquí, sobre las cálidas aguas tropicales, el bastón ha crecido un 10%. Si antes medía dos metros, ahora mide 220cm.»

Después de esto, me estuvo contando que lo interesante de todo esto es que, la hablar únicamente de cambios de longitud relativos, el coeficiente de dilatación no depende de la longitud total. Y, además, su valor es bastante constante si las variaciones de temperatura no son demasiado grandes.

«Eso quiere decir que si volviéramos a Moscú», continuó, «el palo volverá a perder el 10% de su longitud total. Es decir, si ahora mide 220cm, perderá 22cm y pasará a medir 1,98m». Dicho esto, se quedó mustio. «Espera, esto no cuadra. ¿Cómo puede ser que no me vuelvan a salir los dos metros iniciales?».

De hecho, se de buena tinta que tras saludar la llegada del 2011 por última vez, emprendió por su cuenta un nuevo viaje a la plaza roja para comprobar qué pasaba con esos dos centímetros que, según sus cálculos, el bastón debía perder irremediablemente.

En cualquier caso, no sea caso que no descubra el porqué de esta aparente contradicción, ¿podríais vosotros, amigos de La web de Física, ayudarle a comprender qué está mal en su cuenta?

[La esfinge]

Re: [Desafío 2.09] Dos centímetros perdidos por el mundo

De las nueve respuestas recibidas, la mejor valorada por el jurado ha sido la de Neometalero, quien vence en su primer desafío con un 6,958. Más abajo podéis encontrar todas las respuestas recibidas.

Estos son los criterios de valoración que han utilizado todos los miembros del jurado:

La discrepancia en los cálculos aparece porque un mismo porcentaje corresponde a diferentes valores absolutos dependiendo de la magnitud de referencia. En el primer caso (dilatación) la magnitud de referencia es 2m; mientras que en el segundo paso (contracción) la magnitud de referencia es 2,2m. Obviamente, el diez por ciento de ambas es diferente.

Pero, ¿cómo puede ser, entonces, que la aplicación de una fórmula física lleve a contradicción? Simplemente, porque la ley de proporcionalidades expuesta sólo es válida para variaciones muy pequeñas; infinitesimales. Si la variación es muy pequeña, la diferencia observada es aún menor (de segundo orden).

La forma correcta de realizar el cálculo, como siempre que tenemos cambios infinitesimales, es simplemente integrar.

$$\frac{\dd \ell}{\ell} = \alpha \dd T \longrightarrow \int_{\ell_0}^\ell \frac{\dd \ell}{\ell} = \alpha \int_{T_0}^T \dd T \longrightarrow \ln \frac{\ell}{\ell_0} = \alpha \Delta T \longrightarrow \ell = \ell_0 \eee{\alpha \Delta T} .$$

Una vez echo esto, si que es posible componer dos variaciones de longitud consecutivas, de $T_0$ a $T_1$; y luego de $T_1$ a $T_2$

$$\ell_2 = \eee{\alpha \Delta T_{1\to2}} \ell_1 = \eee{\alpha \Delta T_{1\to2}} \left( \ell_0 \eee{\alpha \Delta T_{0\to1}} \right)= \ell_0 \eee{\alpha( \Delta T_{0\to1} + \Delta T_{1\to2}) }$$

En el caso en cuestión, $T_2 = T_0$, y por tanto $\Delta T_{0\to1} = -\Delta T_{1\to2}$. Como debe ser, nos da $\ell_2 = \ell_0$.

Notar que hemos supuesto que el coeficiente de dilatación es constante. Normalmente no lo es en un rango tan grande (deberíamos integrarlo). Pero este es un fenómeno diferente e independiente de lo que aquí estamos tratando, no es necesario para este desafío.


Teniendo en cuenta todo esto, la esfinge propone la siguiente estructura de puntuación según los pasos que responder la pregunta (las puntuaciones indicadas son las máximas posibles; si la explicación es deficiente se podrán deducir puntos, pero nunca pasar por encima del límite especificado):

(1) Respuestas que expliquen que la discrepancia tiene que ver con tomar punto de referencia diferente en el porcentaje, pero nada más: 6 puntos máximo.

(2) Participaciones que expliquen que el error proviene de que la variación de temperaturas es demasiado grande para aplicar la fórmula: 8 puntos máximo.

(3) Participaciones que expliquen tanto (1) como (2): 8,5 puntos máximo.

(4) Participaciones que realicen el cálculo completo, con la integral: 10 puntos máximo. [No hay ninguna]


Penalizaciones:

- Las respuestas que consideren que la discrepancia proviene de que el coeficiente de dilatación varía con la temperatura deberán tener una penalización de un punto a aplicar sobre el máximo listado anteriormente (el jurado puede, a su discreción, aplicar más penalizaciones si la explicación es deficiente).

Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[H2SO4]

La base del cálculo: reaparecen los 2 cm

Retiro el mensaje, ya que considero que es erróneo.
Saludos

[carmelo]

Respuesta desafio "Dos centimetros perdidos por el Mundo"

Hola:

El problema es más matemático que físico y proviene del hecho que si se aumenta en determinado porcentaje una cantidad y luego se la disminuye el mismo porcentaje, no se obtiene el valor original.

Llamemos $\ell_0$ la longitud a la temperatura inicial $t_0$
Si se incrementa en un porcentaje $p$ la longitud $\ell_0$ se obtiene una longitud $\ell^\prime$ dada por:

$$\ell^{\prime}=\ell_0\left(1+\dst\frac p{100}\right)$$

Ahora si se quiere retornar a las condiciones inicales, debe de existir una contracción en un porcentaje $q$ dado por:

$$q=\left(1-\dst\frac{\ell_0}{\ell^{\prime}}\right)\cdot 100=\dst\frac{100\cdot p}{100+p}$$

En nuestro caso $p=10$ y por lo tanto $q=9,09..$

Por lo tanto la contradicción surge de proponer que se debe de disminuir en el mismo porcentaje la longitud de la vara para obtener la longitud inicial, cuando se debería para este caso tener una disminución de la longitud del $9,09\%$.

Saludos y hasta la próxima.

[arcadio1]

por que

pues no soy un experto en formulas pero obbiamente si crecio 20 cm ahora tiene un 110% de su tamaño asi que lo nombraremos el tamaño total es igual a 110% y no simplemente reducirlo a 100% y por lo tanto tendremos en cuenta que ese material al hacer el viaje que ustedes hicieron a la inversa no crece un 10 por ciento si no un 11 por ciento y esa es la realidad

[neometalero]

Dilatación

A modo de introducción:
[FONT=&quot]La mayoría de los objetos se dilatan (contraen) cuando se aumenta (disminuye) su temperatura. A escala microscópica, la dilatación térmica de un cuerpo es consecuencia del cambio en la separación media entre sus átomos o moléculas.[/FONT]
[FONT=&quot]Para comprender esto, se considerará un sólido que consta de una disposición regular de átomos mantenidos unidos por fuerzas eléctricas. Un posible modelo mecánico de estas fuerzas es imaginar que los átomos están unidos por resorte rígidos. Por su naturaleza, las fuerzas interatómicas se consideran elásticas. Para temperaturas en los rangos comunes de la naturaleza, los átomos vibran respecto a sus posiciones de equilibrio con una amplitud aproximada de [/FONT]${10}^{-11 } m$[FONT=&quot] y una frecuencia de [/FONT]${10}^{13 }Hz$[FONT=&quot]. La separación promedio entre los átomos es del orden de [/FONT]${10}^{-10 }m$[FONT=&quot]. Al aumentar la temperatura del sólido, los átomos vibran con amplitudes más grandes y la separación promedio entre ellos aumenta, dando por resultado que el sólido como un todo se dilate cuando aumente su temperatura.
[/FONT]
[FONT=&quot]Pero lo que nos interesa en este caso es lo siguiente:[/FONT]
[FONT=&quot]Si la dilatación de cualquier[/FONT][FONT=&quot] objeto es lo suficientemente pequeña en comparación con sus dimensiones, el cambio de cualquier parte, largo, ancho o alto, dentro de una buena aproximación, es una función lineal de la temperatura.[/FONT]

Además, [FONT=&quot]el coeficiente α se considera promedio, porque en general varia con la temperatura, pero comúnmente esta variación es despreciable a la escala en que se realizan la mayoría de las mediciones. En este caso el gradiente de Tª entra dentro de un intervalo razonable dentro del cual es aplicable la expresión.
[/FONT]
Así pues la incongruencia radica en el cálculo de la variación de la longitud del objeto, que en este caso es del 10%, algo enorme . No es posible utilizar tal expresión en el caso de una variación de semejante magnitud puesto que en ese caso dicho cambio no varía linealmente con la Tª sino que incluye otros términos que hacen más compleja la expresión usada.
En general tendremos que

$${L}_{ t}-{L}_{0 }={L}_{ 0} \int \alpha dt$$

donde la integral va entre o y t y necesitamos conocer la forma de la función

$$\alpha =\alpha (t)$$

. Para el caso que nos ocupa, el coeficiente de dilatación no tiene porque ser constante y presentar una variación de la forma

$$1+at+b{t}^{ 2}+c{t}^{ 3}+...$$

donde los coeficientes a, b, c etc deben determinarse experimentalmente para cada substancia.

[urelius68]

Respuesta

Porque el proceso inverso, es decir la contracción, no puede interpretarse que sea igual al de la dilatación pero al revés, y por tanto el coeficiente de contracción no tiene por qué ser el mismo (cambiado de signo) que el de dilatación. Dicho de otra manera, los coeficientes de dilatación y contracción no son el mismo.

[urelius68]

Respuesta

El coeficiente de dilatación es función de la temperatura, y por tanto no puede ser el mismo en Moscú y en la otra ciudad, dado que en Moscú la temperatura de inicio del proceso es menor que en la otra ciudad.

[Blasco]

Desafío 2.09 "Me faltan 2 centímetros"

Está claro que hay que tener mucho cuidado con los porcentajes ya que deben referirse a la misma base o referencia para poder compararlos.

Así si tengo una cantidad de dinero por ejemplo 1000 euros e incrementamos un 10% tendremos 1100 euros. Si ahora perdemos un 10% tendremos 1100 - 110 = 990

La pega radica en que hemos usado distinta referencia para calcular los porcentajes 1100 frente a 1000.

En el problema planteado para la dilatación ocurre algo similar, cuando aumentamos la temperatura estamos usando como referencia para calcular el porcentaje la longitud inicial (200 cm) y cuando disminuimos la temperatura estamos usando como referencia la longitud de mayor temperatura (220 cm), al ser referencias distintas, un mismo incremento de longitud de 20 cm representa porcentajes distintos.

Un sencillo cálculo nos indica que para calcular la longitud final, cuando partimos de la longitud menor (200 cm) debemos multiplicar por 1+0,1 es decir (1,1) así 200x1,1 = 220 y cuando realizamos el paso contrario debemos dividir por esta cantidad: 220/1,1 = 200

[Laron]

!Dos centimetros perdido por el mundo!

Hola Esfinge, el problema del bastón de tu amigo Puff, se debe a por lo que él mismo explicaba, la dilatación térmica, en este caso la dilatación lineal. Cuando un sólido esta presente en condiciones de alta temperatura, tiende a expandirse, debido a la transferencia de energía en forma de calor, haciendo que la propia energía de enlace de los átomos aumente, y por ende aumente su longitud. Ahora, cuando el sólido esta expuesto a condiciones de bajas temperatura, al no haber transferencia de calor, la energia de enlace tiende a disminuir, haciendo que la longitud del material de igual manera disminuya.

Cuando estaban en Moscú, la longitud del bastón de Puff ya no era de 2 metros, sino de 1,98 metros.

Saludos.

[Jakost]

[Desafío 2.09] Dos centímetros perdidos por el mundo

[Desafío 2.09] Dos centímetros perdidos por el mundo

Hola, vengo a dar mi humilde respuesta al problema que aqueja a Puff, este desafío me ha complicado un poco las cosas espero que mi respuesta sea correcta.

No sé cual es el coeficiente de dilatación del material de mi bastón

Bueno, para calcular el coeficiente de dilatación hay que partir de esta fórmula:

$$\alpha = \frac{\Delta L / L_0}{\Delta T}$$

Donde

$\alpha$ Coeficiente de dilatacion.
$L_0$ Longitud inicial.
$\Delta L$ es la diferencia de longitud.
$\Delta T$ Diferencia de Temperatura.

Teniendo en cuanta que las temperaturas en Moscu en esta epoca del año son bajas, podemos tomar un promedio aproximado de unos -12 ºC.
En las aguas tropicales podemos tomar una temperatura de aproximadamente unos 20 ºC

$$\alpha = \frac{0,2 m / 2m}{ 32 ^o C}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por lo tanto el coeficiente de dilatacion del baston de Puff es de 0,003125 [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



Ahora voy a explicar el error en el razonamiento de Puff


Para calcular en cuanto se dilata la longitud de su bastón utilizamos esta fórmula:

$$\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\Delta L = 0,2m$$

Eso quiere decir que 0,2m es lo que se dilatará el basón cuando la temperatura cambie de -12 ºC a 20 ºC

Eso quiere decir que si volviéramos a Moscú, continuó, el palo volverá a perder el 10% de su longitud total.

Y aquí esta el error, él estando en las aguas tropicales se encuentra a unos 20 ºC y al regresar a Moscú volverá a los -12 ºC iniciales, por lo tanto su bastón no sufrirá una dilatación sino una contracción por la disminución de la temperatura.
En su razonamiento el sigue aplicando los datos de dilatación y por eso su cuenta es incorrecta.


Saludos!

[Stormkalt]

Dos centímetros

[FONT=Tahoma]Hola estimada Esfinge.[/FONT]

[FONT=Tahoma]Lo que ocurre aquí es que el porcentaje de variación en la dilatación térmica no es constante si se mantiene constante la variación de temperatura con respecto al ascenso o descenso de la misma. Esto se debe a que en realidad el coeficiente de dilatación lineal no es una constante, sino que depende de la temperatura. Es decir que alfa es una función de la temperatura.[/FONT]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[FONT=Tahoma]Esta ecuación se puede aproximar a[/FONT]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[FONT=Tahoma]Cuando el rango de temperaturas es pequeño. Pero en este caso no lo haremos.[/FONT]
[FONT=Tahoma]Entonces, el coeficiente de dilatación lineal que corresponde a las temperaturas cálidas tropicales no será el mismo que el correspondiente a las frías zonas de Moscú. Si desde el Moscú al trópico el bastón se dilata un 10 %, desde el trópico a Moscú se contraerá aproximadamente un 9,091%.[/FONT]
[FONT=Tahoma]De manera que no habrá 2 centímetros perdidos, sino que el bastón volverá a su forma original si va al Caribe y regresa a Moscú.[/FONT]

[FONT=Tahoma]Saludos[/FONT]

[Jakost]

[Desafío 2.09] Dos centímetros perdidos por el mundo

El problema en los cálculos de Puff es que el parte de esta formula:

$$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$$

en la cual afirma la igualdad

El error es que esta formula no es exacta sino aproximada.

Para calcular el coeficiente de dilatación empleamos:

$$\alpha \approx \frac{\Delta L / L_0}{\Delta T}$$

El material del que esta echo el baston de Puff parece ser muy susceptible a los cambios de temperatura ya que incrementa un 10% de su longitud inicial con pocos grados de temperatura de diferencia, lo cual demuestra que tiene un coeficiente de dilatación bastante elevado.

Esta aproximacion en el calculo del coeficiente de dilatacion se hace mas notable mientras mas altas sean las temperaturas, ya que $\alpha$ esta directamente relacionada con la diferencia de temperatura. Se puede demostrar con un ejemplo

El aluminio tiene un $\alpha$ igual a 0,000024 [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Supongamos que tenemos una barra de aluminio de 10m en un ambiente a -20 ºC, si cambiamos esa temperatura a 500 ºC podemos calcular cuanto se dilatará:

$$\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$$

$$\Delta L = 10m .\alpha .520$$

$$\Delta L = 0,1248m$$

Esto quiere decir que nuestra barra se dilatará $0,1248m$ entonces se los sumamos a los 10m iniciales: $10 + 0,1248 = 10,1248m$

Si ahora la temperatura vuelve a ser de -20 ºC tendremos que calcular:

$$\Delta L = 10,1248m .\alpha .-520$$

$$\Delta L = -0.126357504m$$

Entonces tendremos que $10,1248m + (-0.126357504m) = 9.998442496$
Si la variación de temperatura o el coeficionte de dilatacion serían mas grandes, el error de nuestra cuenta también lo sera, por la relación que tiene $\alpha$ con la $\Delta T$

Esto es justamente lo que le pasa al bastón de puff que lo puede notar a simple vista porque sufre una gran dilatación, en cambio con nuestra barra no nos daríamos cuenta a simple vista ya que la dilatación es muy pequeña

[Jakost]

[Desafío 2.09] Dos centímetros perdidos por el mundo

Hola, vengo a dar mi humilde respuesta al problema que aqueja a Puff, esta vez el desafío me ha complicado un poco las cosas, espero que mi respuesta este bien

El problema en los cálculos de Puff es que el parte de esta formula:

$$\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$$

en la cual afirma la igualdad

El error es que esta formula no es exacta sino aproximada.

Para calcular el coeficiente de dilatación empleamos:

$$\alpha \approx \frac{\Delta L / L_0}{\Delta T}$$

El material del que esta echo el baston de Puff parece ser muy susceptible a los cambios de temperatura ya que incrementa un 10% de su longitud inicial con pocos grados de temperatura de diferencia, lo cual demuestra que tiene un coeficiente de dilatación bastante elevado.

Esta aproximacion en el calculo del coeficiente de dilatacion se hace mas notable mientras mas altas sean las temperaturas, ya que $\alpha$ esta directamente relacionada con la diferencia de temperatura. Se puede demostrar con un ejemplo

El aluminio tiene un $\alpha$ igual a 0,000024 [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Supongamos que tenemos una barra de aluminio de 10m en un ambiente a -20 ºC, si cambiamos esa temperatura a 500 ºC podemos calcular cuanto se dilatará:

$$\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$$

$$\Delta L = 10m .\alpha .520$$

$$\Delta L = 0,1248m$$

Esto quiere decir que nuestra barra se dilatará $0,1248m$ entonces se los sumamos a los 10m iniciales: $10 + 0,1248 = 10,1248m$

Si ahora la temperatura vuelve a ser de -20 ºC tendremos que calcular:

$$\Delta L = 10,1248m .\alpha .-520$$

$$\Delta L = -0.126357504m$$

Entonces tendremos que $10,1248m + (-0.126357504m) = 9.998442496$
Si la variación de temperatura o el coeficionte de dilatacion serían mas grandes, el error de nuestra cuenta también lo sera, por la relación que tiene $\alpha$ con la $\Delta T$

Esto es justamente lo que le pasa al bastón de puff que lo puede notar a simple vista porque sufre una gran dilatación, en cambio con nuestra barra no nos daríamos cuenta a simple vista ya que la dilatación es muy pequeña.

Saludos!