Analizando un caso particular:
Para resolver este problema primero primero lo haré para un caso particular en el cual la inclinación del hilo coincide con la inclinación de la parte donde tiene que caer la esferita es decir haré las siguientes consideraciones:
- A la bola se le imprime una velocidad , que es la que se tiene que encontrar.
- El hilo de longitud que sostiene la bola esta inicialmente inclinado un ángulo respecto de la vertical.
- En un instante determinado después del inicial, llegará un momento en el cual la tensión se haga nula, en ese instante se formará un ángulo a partir de allí el movimiento pasará de circular a parabólico.
- Luego la bola estando en la trayectoria parabólica tiene que caer en el deposito justamente con la inclinación que este tiene, es decir con un ángulo respecto de la vertical.
Primero por el principio de la conservación de la energía, entre el punto y se tiene que:
En el punto del diagrama de cuerpo libre ,aplicando la segunda ley de Newton en la dirección radial y teniendo en cuenta la consideración (b):
Además en el tramo , considerando que la trayectoria es parabólica se tienen en los ejes e se tiene respectivamente:
Luego de usar (2) y (3) en (4) y simplificar se obtiene una relación para :
Gráficamente haciendo se encuentran tres soluciones, de las cuales solamente se toma la que está entre y
Entonces:
También en el mismo tramo , teniendo en cuenta la consideración (c), se obtiene la siguiente ecuación:
Luego considerando (2), (3), (6) y luego reemplazando en (7) se obtiene que:
Finalmente habiendo encontrado los valores para y , reemplazandolos en (1) se tiene:
Como se puede observar en las ecuaciones (8) y (9) se ha obtenido el ángulo de inclinación del boliche, el cual es independiente de cualquier otra magnitud y también la velocidad inicial que se le debe de imprimir, la cual si depende de la gravedad y de la longitud de la cuerda del boliche.
El caso general:
Se puede concluir que:
El ángulo de inclinación del boliche siempre debe de ser .
Como en este caso la cuerda no tendrá inicialmente la inclinación del boliche, la velocidad inicial que se le debe imprimir debe de ser tal que al pasar o suponer que ha pasado por el punto del primer caso; es decir si es que el movimiento se inicia con una inclinación mayor o menor en grados con respecto a la posición , usando el principio de conservación de energía:
Si el movimiento se inicia grados antes:
Luego reemplazando valores y haciendo :
Si el movimiento se inicia grados después:
Luego reemplazando valores y haciendo :
Con lo cual quedaría completamente resuelto el problema y para el caso general, la velocidad inicial que se le debe de imprimir también dependería del ángulo inicial () que tiene el hilo que sostiene la esferita con respecto a la vertical.
Dejar un comentario: