Cerrado [Desafío 1.04] El boliche de Sísifo

[La esfinge]

Parece que no pasa el tiempo, pero ya estamos en situación de enfrentarnos con el cuarto desafío del año. En esta ocasión os contaré algo que me ocurrió apenas hace diez días, volviendo de los carnavales de Venecia, sobre los cuales ya os hablaré en otra ocasión.

De vuelta a Giza, hice un alto en Corinto (Grecia). Para mi sorpresa, me encontré con Sísifo, el tirano que engañó a la muerte a un alto precio. Los dioses le permitieron vivir para siempre, pero a cambio debía arrastrar una gran piedra hasta la cima de una una ladera... que volvía a rodar hasta el principio antes de conseguir llegar.

Al parecer, los dioses le han perdonado parcialmente. Ahora, en vez de estar arrastrando continuamente la piedra, debe estar continuamente jugando al boliche. Me comentó que estaba intentando buscar cuál es la velocidad justa que debía imprimir a la bolita para que ésta dé toda la vuelta y caiga sobre la cesta. "También importa el ángulo en que sostienes la cazoleta", añadió.

Yo le respondí que, con un poco de Física, no es difícil calcular la velocidad, e incluso el ángulo. No le dije nada más, ¿quién quiere ayudar a quien se ganó tan horrible castigo? No obstante, creo que es un bonito problema para vosotros.

[La esfinge]

Re: [Desafío 1.4] El boliche de Sísifo

La de N30F3B0 es la única respuesta correcta, y se lleva los 10 puntos de este desafío.

Puedes consultar las normas del desafío aquí.

[[Beto]]

Respuesta al [Desafío 1.4]

Analizando un caso particular:

Para resolver este problema primero primero lo haré para un caso particular en el cual la inclinación del hilo coincide con la inclinación de la parte donde tiene que caer la esferita es decir haré las siguientes consideraciones:

1. A la bola se le imprime una velocidad $v_0=v_A$, que es la que se tiene que encontrar.
2. El hilo de longitud $\ell$ que sostiene la bola esta inicialmente inclinado un ángulo $\theta$ respecto de la vertical.
3. En un instante determinado después del inicial, llegará un momento en el cual la tensión se haga nula, en ese instante se formará un ángulo $\alpha$ a partir de allí el movimiento pasará de circular a parabólico.
4. Luego la bola estando en la trayectoria parabólica tiene que caer en el deposito justamente con la inclinación que este tiene, es decir con un ángulo $\theta$ respecto de la vertical.

Ahora teniendo en cuenta lo anterior y ayudándome con el gráfico que coloco a continuación, procederé a desarrollar el problema:

Primero por el principio de la conservación de la energía, entre el punto $A$ y $B$ se tiene que:

$\boxed{T_A=T_B+U_B}$

$$\frac{1}{2}mv_A^2= \frac{1}{2}mv_B^2+mg\ell(\cos\theta+\sin\alpha)\Longrightarrow v_A=\sqrt{g\ell(\sin\alpha+2\cos\theta)}$$

En el punto $B$ del diagrama de cuerpo libre $\sum F=ma_{\mbox{cp}} \Longrightarrow\dst (mg\sin\alpha+T)=m\frac{v_B^2}{\ell}$,aplicando la segunda ley de Newton en la dirección radial y teniendo en cuenta la consideración (b):

$$v_B^2=g\ell\sin\alpha$$

Además en el tramo $BC$, considerando que la trayectoria es parabólica se tienen en los ejes $X$ e $Y$ se tiene respectivamente:

$\boxed{\dst x_{\mbox{BC}}=v_B\sin\alpha t}$

$$\ell\cos\alpha=v_B\sin\alpha t$$

$\boxed{ \dst y_{\mbox{BC}}=v_B\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2}$

$$-\ell\sin\alpha=v_B\cos\alpha t-\frac{1}{2}gt^2$$

Luego de usar (2) y (3) en (4) y simplificar se obtiene una relación para $\alpha$:

$$2\sin^5\alpha-2\sin^4\alpha-2\sin^3\alpha- \sin^2\alpha+1=0$$

Gráficamente haciendo $x=\sin\alpha$ se encuentran tres soluciones, de las cuales solamente se toma la que está entre y $1$

Entonces:

$$\sin\alpha\approx 0,6267\Longrightarrow \alpha\approx 38,8^{\circ}$$

También en el mismo tramo $BC$, teniendo en cuenta la consideración (c), se obtiene la siguiente ecuación:

$\boxed{\dst -v_{\mbox{C}y}=v_B\cos\alpha-gt}$

$$-v_B\sin\alpha\tan\theta=v_B\cos\alpha-gt$$

Luego considerando (2), (3), (6) y luego reemplazando en (7) se obtiene que:

$$\tan\theta\approx \cot^3 38,8^{\circ}\Longrightarrow \theta\approx 62,54^{\circ}$$

Finalmente habiendo encontrado los valores para $\theta$ y $\alpha$, reemplazandolos en (1) se tiene:

$$v_0=v_A\approx 1,67\sqrt{g\ell}$$

Como se puede observar en las ecuaciones (8) y (9) se ha obtenido el ángulo de inclinación del boliche, el cual es independiente de cualquier otra magnitud y también la velocidad inicial que se le debe de imprimir, la cual si depende de la gravedad y de la longitud de la cuerda del boliche.

El caso general:

Se puede concluir que:

El ángulo de inclinación del boliche siempre debe de ser $\theta=62,54^{\circ}$.

Como en este caso la cuerda no tendrá inicialmente la inclinación del boliche, la velocidad inicial que se le debe imprimir debe de ser tal que al pasar o suponer que ha pasado por el punto $A$ del primer caso; es decir si es que el movimiento se inicia con una inclinación mayor o menor en $\varepsilon$ grados con respecto a la posición $A$, usando el principio de conservación de energía:

Si el movimiento se inicia $\varepsilon$ grados antes:

$\dst\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_A^2-mg\ell[\cos\theta -\cos(\theta+\varepsilon)] \Longrightarrow v_0=\sqrt{v_A^2-2g\ell [\cos\theta -\cos(\theta+\varepsilon)]}$

Luego reemplazando valores y haciendo $\theta+\varepsilon=\psi$:

$$v_0=\sqrt{g\ell(1,87+2\cos\psi)}$$

Si el movimiento se inicia $\varepsilon$ grados después:

$\dst\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_0^2-mg\ell[\cos( \theta-\varepsilon) -\cos\theta] \Longrightarrow v_0=\sqrt{v_A^2 +2g\ell [\cos( \theta-\varepsilon) -\cos\theta]}$

Luego reemplazando valores y haciendo $\theta-\varepsilon=\psi$:

$$v_0=\sqrt{g\ell(1,87+2\cos\psi)}$$

Con lo cual quedaría completamente resuelto el problema y para el caso general, la velocidad inicial que se le debe de imprimir también dependería del ángulo inicial ($\psi$) que tiene el hilo que sostiene la esferita con respecto a la vertical.