Cerrado [Desafío 2.07] El bosque inundado

[La esfinge]

¡Hola Físicos y Físicas!

Hoy estoy un poco triste, ya que por primera vez en mucho tiempo estoy sola. Resulta que tenía una cita con la Dama del Bosque, pero hace apenas unos minutos me ha llamado cancelando nuestro encuentro.

La verdad es que es una pena, siempre que me he encontrado con la Dama me he sentido mimada como si fuera mi madrina. Y cuando una se acerca a los 47 siglos de edad es una sensación extraña... aunque muy placentera.


Supongo a mi mitad de león, ya que la Dama siempre ha sentido una necesidad imperativa de cuidar todos los animales. De hecho, precisamente por eso ostenta el cargo de protectora de los bosques desde tiempos inmemoriales.

Se toma tan a pecho su ocupación que hacía literalmente siglos que no abandona la exuberante frondosidad del claro en el que vive. Por ese motivo insistí tanto en invitarla a mi dulce hogar, aquí en Guiza.

Como no quería abandonar a sus preciados amigos salvajes, Dama ha dedicado estos últimos días a almacenar toneladas de alimentos y un gran abrevadero.

Para preparar el enorme bebedero, Dama se basó en un diseño más que probado en miles de hogares, como el que veis en la imagen. Sin embargo, lo hizo con unas proporciones descomunales, cuando he visto las fotografías no me lo podía creer. El tanque que debería contener el agua tiene un diámetro de cien metros, y una altura de veinte.

Sin embargo, ha sido precisamente este monstruoso surtidor de agua el causante de la desafortunada cancelación de la quedada. Resulta que esta mañana, antes de partir hacia aquí, al abrir la compuerta gran parte del agua contenida en el enorme tanque se ha derramado, creando un nueva marisma donde toda la vida había habido una hermosa arboleda.

Por suerte, todos los animales han tenido suficientes reflejos para salvarse, no hay que lamentar víctimas. Sin embargo, la dulce dama no sale de su asombro, ya que había basado su diseño en un bebedero normal y corriente que encontró en un supermercado, que no sufría estos problemas.

¡Ai! Mi Dama, las cosas no son tan fáciles. No basta con imitar el diseño a una escala mayor. Si hubieras atendido un poco más en clase de Física, lo habrías previsto.

[La esfinge]

Re: [Desafío 2.07] El bosque inundado

Este ha sido un desafío muy ajustado, entre el primer y el sexto punto hay tan sólo medio punto de diferencia. Además, ha habido empate en la primera posición entre Stormkalt y Carmelo con un 9,15 de media, el primero es el ganador de la quincena por haber enviado su respuesta antes.

A continuación podéis encontrar todas las respuestas recibidas.

Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[Blasco]

Desafio El bosque inundado

En la superficie inferior del abrevadero en contacto con la atmósfera, la presión debida a la columna de agua debe ser igual a la presión atmosférica. Si la altura de la columna de agua generase una presión superior a la presión atmosférica, esta se saldría. (Como parece ser el caso).

Supongamos que el abrevadero estaba al nivel del mar donde la presión atmosférica fuese de 101325 pa.

Despreciamos la pequeña presión que pueda existir en la parte superior de la columna del abrevadero al crearse un vacío.

Supongamos que la aceleración de la gravedad donde se coloca el abrevadero es de 9,8 m/s2

También despreciamos la variación de la g con la altura, ya que la altura (20 m) es muy pequeña en relación al radio de la tierra).

Supongamos que la densidad del agua utilizada a la temperatura que se utiliza es practicamente igual que la densidad del agua destilada medida a nivel del mar y a 4ºC, es decir 1000 Kg/m3

Con estas consideraciones podemos calcular la altura máxima del abrevadero.

$P=\frac{F}{S}= \frac{\rho g V}{S}=\rho g h = P(atmos.)$

Despejando h resulta :

$h(Max)=\frac{P(atmos.)}{\rho g }$

Sustituyendo valores:

$h(Max)=\frac{101325}{1000 9,8 }=10,34 m$


El consejo que podemos dar a Dama es que si realmente necesita almacenar toda esa cantidad de agua, debería realizar un depósito de mayor diámetro de forma que con el mismo volumen, la altura del mismo no supere los 10 metros de altura.

Saludos.

[Stormkalt]

El bosque inundado

[FONT=Calibri]Hola estimada y bienquerida Esfinge.[/FONT]

[FONT=Calibri]El problema en cuestión es a causa de la presión atmosférica. Es decir, para que dicho sistema de abrevadero funcione, la presión del líquido en el interior del recipiente no puede exceder a la presión atmosférica; si esto ocurre, el agua se derrama hasta que las presiones se igualan.[/FONT]
[FONT=Calibri]Como la presión en el seno de un fluido depende solo de la altura y de la gravedad específica del fluido, no habría limitaciones en el diámetro del recipiente, sí en su altura. Para calcularla, supondremos la presión atmosférica normal = 101 325 Pa y apliquemos la ecuación para la presión manométrica en el fluido:[/FONT]
[FONT=Calibri][/FONT]

$$\[<br /> p = \delta gh<br /> \]$$

Despejando la altura para la presión atmosférica normal y usando una densidad para el agua de 1g/ml

$$\[<br /> h = 10,34m<br /> \]$$

Es decir, que el recipiente no podrá tener más de 10,34 metros de altura, independientemente de la longitud de su diámetro. Como tenía 20 metros, el agua se derramó hasta llegar a los 10,34 metros. Podemos calcular el volumen de agua derramada

$$\[<br /> V = \pi \left( {50m} \right)^2 \left[ {20m - 10,34m} \right] = 75869m^3 <br /> \]<br />$$

Lo que podría hacer, es aumentar arbitrariamente el diámetro del recipiente respetando la altura calculada o, generalizando más, para cualquier presión atmosférica y cualquier densidad del fluido, la altra será una función de ambas variables:

$$<br /> \[<br /> h\left( {p,\delta } \right) = \frac{p}<br /> {{\delta g}}<br /> \]<br /> <br />$$

Para el caso del mercurio, la altura para la presión atmosférica normal es de unos 76 cm.

Saludos


[FONT=Calibri][/FONT]

[Jakost]

Respuesta el Bosque Inundado

Les presento mi respuesta al problema planteado, como soy nuevo en la web todabia no se bien usar los comandos de abajo pero lo edito por pedido del jurado, espero hacerlo bien

Saludos

[Desafío 2.07] El bosque inundado

El error que cometió la dulce dama fue el no calcular que el volumen de agua dentro de ese tambor generaría una presión mucho mayor a la presión atmosférica y por eso el agua seguiría saliendo del tambor hasta que las presiones se igualen.

Datos: Un tambor de 20m de altura y un diámetro de 100m

Resolución:

Hay que demostrar que la presión generada por el agua en ese recipiente es mayor a la atmosférica, esto se puede demostrar utilizando la formula $P=\frac{F}{S}$

La fuerza será la que el volumen de agua genere sobre la superficie del tanque, por el principio de pascal sabemos que la presion que el agua genere sera igual en todos los puntos del recipiente.

El primer paso es calcular el volumen de agua que este tanque puede contener:

Volumen del cilindro= $\pi.r^2.H$

$\pi. (50m)^2. 20m= 157079.6327 m^3$

Sabiendo que 1 $m^3$ es igual a 1000 $cm^3$ y que 1000 $cm^3$ es igual a 1 L se deduce que el volumen de agua es de 157079632.7 L

Como la densidad del agua es de 1000 $Kg/ m3$, 157079632.7 L serán igual a 157079632.7 Kg.

Hasta aquí tenemos la masa de agua contenida en el tanque pero lo que debemos saber es la fuerza que el agua ejerce, por lo tanto debemos pasar de Kg a Kgf y esto lo hacemos multiplicando 157079632.7 Kg . 9.8 $m/s^2$ y nos da un resultado de 1539380400 Kgf

Teniendo ya la fuerza que el agua ejerce sobre la superficie ahora deberemos conocer la superficie del cilindro:

$\pi.r^2 = \pi. (50m)^2 =7853.981634 m^2$

Ahora podremos aplicar la formula de presión $P=\frac{F}{S}$

$P= \frac{1539380400 Kgf}{7853.981634 m^2}$

$P= 196000 Pa$

Sabiendo que la presión atmosférica es de 101325 Pa y que la presión ejercida por el agua es de 196000 Pa podemos deducir que el agua saldrá del recipiente hasta que las presiones atmosféricas y del agua se igualen.

Podemos aplicar $P = \delta .G.H$ para calcular a qué altura las presiones se igualarán:

$P = \delta .G.H$

Despejamos $H$


$H= \frac{P}{\delta .G}$


$H= \frac{101325 Pa} {1000 Kg . 9.8 m/s^2}$


$H= 10.33928571 m$


Esto quiere decir que cuando el agua haya descendido hasta los 10.33928571 m del recipiente las presiones estarán igualadas.

[nico_palermo]

Respuesta a desafío

El bebedero al cual hacen referencia funciona basado en el experimento de Torricelli, donde la presión atmosférica actuando sobre el área descubierta se equilibra con la presión que hace la columna de agua.

$P_a_t_m=\delta_H_2_O.g.h$

$h= \displaystyle\frac{P_a_t_m}{\delta_H_2_O.g}$

$h= \displaystyle\frac{101325 \frac{kg}{m.s^2} }{1000 \frac{kg}{m^3} .9,8 \frac{m}{s^2}}$

$h=10,339 m$

Siendo esa la altura máxima de la columna de agua dentro del "botellón", por lo cual los 20 metros de altura hicieron que desborde el tanque derramándose aproximadamente 7853 litros de agua (equivalente a 10 metros de altura en el botellón).

Saludos

[carmelo]

Respuesta desafio &quot;Bosque inundado&quot;

Hola a todos:

En la figura 1 se expone un esquema simplificado de lo que es un dispensador de agua para mascotas como el que se hace referencia en el desafio.

Figura 1

Descripción del funcionamiento

Cuando la mascota toma agua el nivel $h$ del recipiente bebedero desciende y de este modo la boca del recipente deposito pierde el contacto con el agua del bebedero, e ingresa aire el cual desplaza agua hasta que el nivel del bebedero alcanza justo el nivel del borde inferior del deposito.

Descripción del fundamento

Ya habrán notado que para que la configuarión anteriormente expuesta sea estable, la presión $P_{int}$ debe de ser menor que la presión atmosférica, por lo tanto cualquier fisura en el depósito que permita el ingreso de aire desde el exterior haría el sistema inestable.
Fundamentemos lo anterirmente dicho con algunas ecuaciones.
Consideremos que la sección del recipiente depósito en su parte inferior es $S$ y la presión correspondiente $P^\prime$, despreciaremos la viscosidad del líquido. Apliquemos la segunda ley de Newton al sistema formado por un cilindro cuya base es la sección ya mencionada, que supondremos cilindrica sin pérdida de generalidad.

$$-P_{int}S-\rho gHS+P^\prime S=0$$

Como ya dijimos el nivel del recipiente bebedero coincide con el borde inferior del recipiente depósito, por lo tanto $P^\prime=P_{atm}$
Sustituyendo en (1) y reacomodando se tiene:

$$H=\dst\frac{P_{atm}-P_{int}}{\rho g}$$

Analizando esta relación vemos que el nivel $H$ se va ajustar de acuerdo a la diferencia de presiones, y que existe un nivel máximo $H_{max}$ que la columna de agua no va a superar.
Consideremos que logramos llenar el recipiente depósito sin incorporar nada de aire, por lo tanto $P_{int}=P_{v,H_2O}$. Haciendo una estimación para el valor de $H_{max}$ se obtiene:

$$H_{max}= \dst\frac{(760-23,8)\text{mmHg}}{1000\text{kg.}\text{m}^{-3}\cdot 9,81\text{m.s}^{-2} } \cdot\frac {101325\text{Pa}}{760\text{mmHg}}\approx 10,0\text{m}$$

Donde se tomó la presión de vapor del agua a $25^\circ$ como $23,8 \text{mmHg}$, la densidad del agua como $1000\text{kg}.\text{m}^{-3}$ y la presión atmosférica normal como $760\text{mmHg}$.

Por lo tanto si yo construyo un depósito de $100\text{m}$ de diámetro, por $20\text{m}$ de alto, la presión atmosférica no va a poder contrarrestar el peso de una columna de agua de $20\text{m}$ y va a comenzar a salir agua hasta que si lo pueda hacer, o sea hasta una diferencia de nivel de $\approx 10,0\text{m}$, por lo tanto se derramaría una cantidad de agua de $V=\pi\cdot (50\text{m})^2\cdot (20-10,0)\text{m}\approx 78540\text{m}^3$ de agua.
Para corregir este inconveniente se podría hacer un depósito cuyo radio sea mayor y cuya altura no supere la $H_{max}$ de $10,0\text{m}$ ya calculada.
Considerando que se construye un depósito de esta altura, para almacenar $157079\text{m}^3$ se debería de tener un depósito de radio mayor a $r_{min}\approx70,7\text{m}$.

Como reflexión final, hay que notar la importancia de la presión atmosférica en este tipo de bebedero, un astronauta que lo quisiera utilizar en la luna por ejemplo (donde hay gravedad pero no hay atmósfera) no tendría éxito, ya que no podría almacenar nada de agua en el depósito (estrictamente el nivel en el depósito estaría por debajo del nivel del bebedero debido a la presion de vapor del agua).


Saludos y hasta la próxima.

[neometalero]

Desafío 2.7

Analicemos el caso del vaciado del depósito desde el punto de vista de la hidrodinámica de fluidos. Tenemos un depósito de una cierta altura h, repleto de un fluido y con una cierta sección ${S}_{ 1}$, además de un orificio de salida del fluido con una sección ${S}_{ 2}$ que será menor que ${S}_{1}$ en general.
Podemos partir de la famosa ecuación de continuidad, según la cual:

${v}_{1 }{S}_{ 1}={v}_{ 2} {S}_{ 2}$

Análogamente, escribimos la ecuación de Bernoulli:

$\rho gh+\frac{1}{ 2}\rho {v}^{2 }+P=cte$

En realidad, los términos "P" para los dos orificios valen lo mismo, puesto que se corresponden con la presión atmosférica. Usaremos esta ecuación tanto en la superficie libre del líquido como en su salida en el orificio. De estas dos ecuaciones, combinándolas y con algo de manipulación matemática, es fácil obtener la velocidad de salida del líquido
en el segundo orificio, cuyo valor es:

${v}_{2}={S}_{ 1}\sqrt{\frac{2gh}{{{S}_{1 } }^{2 }-{{S}_{2 } }^{2 } } }$

Es posible con los datos del problema y dando valores posibles a la sección del orificio de salida, desde un radio de 0.5m a uno próximo al radio del depósito, por ejemplo, de 49.5m, comprobar cómo la velocidad del fluido a salida es enorme, debido a la enorme presión de la gran columna de agua (20m), con lo cual es normal que se "derrame" como dicen el enunciado, fluyendo el líquido sin control y con gran violencia.

El tratamiento exacto del problema debería considerar que el depósito se va vaciando progresivamente y que tal vez, si el vacío no es ideal, a medida que sale el fluido, por encima de éste dentro del depósito se halla una columna de gas a una cierta presión. En ese caso, la velocidad de salida del fluido por el orificio tendría este otro valor:

${v}_{2 } =\sqrt{\frac{\frac{{p}_{0 }(H-{h}_{ 0} }{H-h }+\rho gh-{p}_{atm } }{ \frac{1}{ 2} \rho [1-(\frac{{S}_{2 } }{{S}_{ 1} } )^2]}}$

Considerando la expansión isotérmica y siendo la presión atmosférica, la presión del aire encerrado y las alturas iniciales y actuales del fluido respectivamente: ${p}_{atm }, {p}_{ 0}, {h}_{ 0}$ y H.

[arreldepi]

Respuesta.

El motivo por el cual no funciona es porque la altura del bidón es de 20 metros y la presión ejercida sobre la base de un recipiente depende tan sólo de la altura, y no de la superfície de dicha base. En los bevederos domésticos las alturas suelen ser pequeñas, por lo tanto, la presión que ejerce el recipiente sobre la base es

$$p=\rho g h$$

la densidad del agua es aproximadamente 1000 kg/m^3,aproximamos el valor de la gravedad a 10 m/s^2 y podemos suponer, por ejemplo, una altura de 0,5 metros.

$$p=\rho g h = 1000 \frac{kg}{m^3}\cdot 9,8 \frac{m}{s^2} \cdot 0,5 m = 4900 Pa$$

La presión atmosférica es de $1.013\times 10^5$ Pa, así que, a la que ha caído un poco de agua, las presiones se igualan y deja de caer. Es sólo cuando el animal beve que poco a poco sale el agua de todo el recipiente.

El caso límite, es, por lo tanto, el caso en que la presión del recipiente es la misma que la atmosférica, esto corresponde a una altura de

$$h=\frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}=\frac{1,013\times 10^5}{1000\cdot9,8}\approx 10 m$$

Como vemos, la altura máxima que puede tener el recipiente es la mitad de la altura del bevedero considerado. Por lo tanto, antes de compensarse con la presión atmosférica, habrá derramado gran parte del contentido.