Cerrado [Desafío 1.02] Terrenos resbaladizos

[La esfinge]

Hola amigos, ¿cómo estáis?

Bien, ya es hora de iniciar el segundo desafío oficial. Igual que en el primero, os hablaré de algo que me ocurrió en mi reciente viaje a tierras nórdicas las pasadas navidades. Fui a pasear con Magni y Móði, los hijos de mi amigo Thor.

Recorrimos toda la región, admirando el paisaje nevado, desde la vetusta ciudad de Tønsberg, hasta el monte Galdhøpiggen. Llegamos al Lago Mjøsa, cuya superfície estaba completamente helada. Magni me explicó que era el lago más grande de la zona, por lo que ahorraríamos mucho tiempo si lo atravesábamos caminando en vez de bordearlo. Entonces tuve que presenciar una de las numerosas discusiones entre ambos hermanos de padre: Móði insistía que para atravesar la superfície helada, era mejor alargar el paso, de forma que la base de sustentación es mayor. Sin embargo, Magni sostenía que lo más seguro era caminar con pasos cortos.

Como suele pasar en estas situaciones, resolvieron solucionar la trifulca realizando la travesía cada cual a su manera. Yo les convencí para llamar a Eir, una Ásynjur conocedora de las artes de la curación, ya que me temía que uno de ellos necesitaría sus servicios.

Como podéis imaginar, de eso va este desafío. ¿Quien de los dos tiene más posibilidades de teñir la superfície helada de malva? Por supuesto, conocimientos básicos de física ahorrarían muchos quebraderos de cabeza... nunca mejor dicho.

[La esfinge]

Re: Terrenos resbaladizos

La clasificación final de este desafío es:

Pos	Nombre	Puntos	Reputación
1	N30F3B0	8	40
1	Ser	8	40
3	alefriz	4	20

La respuesta correcta es que Móði probablemente acabará dando con sus huesos contra el hielo, ya que con pasos largos es más fácil resbalarse en un pavimento de bajo rozamiento.

Puedes consultar las normas del desafío aquí.

[alefriz]

terrenos resbaladizos

Evidentemente, tiene razón el hermano que aconseja dar pasos cortos.

Si hacemos una descomposición de fuerzas, para una persona de masa $m$ y con un coeficiente de rozamiento estático con el hielo $\mu_e$, y una apertura de zancada (paso) de $2 \alpha$, tenemos que:

Fuerzas verticales (peso = reaccion del suelo en cada pie):
$mg = 2R \rightarrow R = \frac{mg}{2}$

Fuerzas horizontales (para cada pie, por descomposición del peso):
$\frac{mg}{2}tan \alpha = \mu_e \frac{mg}{2} \rightarrow tan \alpha = \mu_e$

Esta es la situación de equilibrio, es decir, un ángulo de apertura entre piernas $2 \alpha$, tal que se cumpla que $tan \alpha = \mu_e$

Por lo tanto, cuando menor sea el ángulo $\alpha$ ($\alpha \leq arctan (\mu_e)$) menor será la posiblidad de salir de la situación de equilibrio y caer al suelo, teniendo en cuenta que el valor del coeficiente de rozamiento de zapato-hielo debe ser pequeño.

Un saludo.

[[Beto]]

Respuesta

[FONT=Comic Sans MS]Este problema resulta algo interesante, porque al cruzar por la superficie se presentan dos problemas:
[/FONT]

• [FONT=Comic Sans MS]La superficie por donde caminan puede ser delgada como para romperse.[/FONT]
• [FONT=Comic Sans MS]La superficie del hielo es resbaladiza $\displaystyle ^{(1)}$.
  [/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]Lo primero lo daré por descartado pues se menciona que la superficie está completamente helada, en ese caso asumiré que la capa de hielo formado sobre el agua es lo suficientemente gruesa como para soportar a una persona.

Entonces solo queda ver como se debe de caminar para que no se resbale y se caiga. Para ello veamos cual de las formas propuestas por Móði y magni son las correctas:

[/FONT]

Móði insistía que para atravesar la superfície helada, era mejor alargar el paso, de forma que la base de sustentación es mayor. Sin embargo, Magni sostenía que lo más seguro era caminar con pasos cortos.

[FONT=Comic Sans MS]Para ello haré uso de la figura de la izquierda, como se puede apreciar representa la posición de una pierna al apoyarse sobre una superficie luego de dar un paso, entonces viendo el diagrama de fuerzas que actúa sobre esta en el momento en que se produce la acción se puede apreciar que la fuerza con la que presiona el cuerpo el piso tiene una componente $F\sin\theta$ la cual si es mayor que la fuerza de rozamiento $f$ hará que la persona resbale, además como la superficie es resbaladiza tiene un coeficiente de rozamiento bastante pequeño [/FONT]$\mu<<1$ [FONT=Comic Sans MS]entonces [/FONT]$f_{\mbox{max}}=\mu N$[FONT=Comic Sans MS] luego para que no resbale la persona se debe de cumplir la condición siguiente:

[/FONT]

$F\sin\theta\leq f_{\mbox{max}}$

[FONT=Comic Sans MS]Luego se tiene que:

[/FONT]

$\sin\theta\leq\left(\dfrac{\mu N}{F}\right)$

[FONT=Comic Sans MS]Pero como el coeficiente de rozamiento es pequeño y teniendo en cuenta la expresión anterior se tendrá que $\sin\theta<<1$, lo cual indica que el ángulo es pequeño, en otras palabras la forma mas adecuada de caminar sobre la superficie resbaladiza es con pasos cortos y no pasos largos.

Entonces respondiendo a la pregunta:[/FONT]

¿Quien de los dos tiene más posibilidades de teñir la superfície helada de malva?

[FONT=Comic Sans MS]
El que tiene mas posibilidades de salir golpeado será Móði.
--------------------------------
(1) Para explicar el por que el hielo es resbaladizo se tienen dos explicaciones: la primera es que el frotamiento de la superficie del calzado con el hilo lo funde generando así una superficie resbaladiza y la segunda dice que las moléculas que están en la superficie al estar más libres vibran mas que las que están por debajo y es por eso que en la superficie hay una capa delgada de líquido (agua) y es por eso que es resbaladiza.
[/FONT]

[ser]

Quebradero de cabeza

Hola!

Parece que Eir tendrá que aplicar sus artes de curación para curar el morrazo que probablemente se dará Móði, pues su estrategia de alargar los pasos, hará que se resvale y se rompa algún que otro hueso.

Como bien dice Magni, lo más seguro es caminar con pasos lo más cortos posibles, por la siguiente razón:

Al caminar, es imprescindible un rozamiento entre los pies y el terreno.
Imáginemos un paso, y centrémonos en la pierna que queda detrás. Esta pierna forma un cierto ángulo $\phi$ con la horizontal y ejerce una cierta fuerza $\vec{F_p}$ sobre la capa de hielo.
Así mismo, la capa de hielo ejerce una fuerza de rozamiento $\vec{F_r}$ sobre el pie, siendo $|\vec{F_r}| = \mu N = \mu F_p \sin(\phi)$, donde N es la fuerza normal al terreno y $\mu$ es el coeficiente de rozamiento entre la capa de hielo y el pie (la bota).
Para simplificar el problema, estas son las dos únicas fuerzas a considerar, y su resultante ha de ser tal que el rozamiento sea mayor que la fuerza del pie sobre el hielo, porque en caso contrario el caminante resvalará.

Para tratar este problema elejimos un sistema de coordenadas cartesiano, donde uno de los ejes tiene la dirección de la horizontal.
Centrémonos en este eje, pues las fuerzas que ocurren en la direccion perpendicular se anulan (suponemos que la capa de hielo es suficientemente gruesa para soportar el peso de una persona en pie y en reposo).
En el eje horizontal tenemos:

$F_p \cos(\phi) - F_r = F_p \cos(\phi) - \mu F_p \sin(\phi) \le 0$

Por tanto: $\quad \tan \phi \ge \frac{1}{\mu}$

Cuando $\mu$ es muy pequeño ( como en este caso ), la parte de la derecha de la desigualdad tiende a infinito:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por tanto, cuanto más pequeños sean los pasos, más cercano a $\frac{\pi}{2}$ será el ángulo con la horizontal, y menor será la probabilidad de resvalarse y romperse la crisma.

Hasta otra!