Cerrado [Desafío 2.13] Temperatura engañosa

[La esfinge]

¡Konichiwa!

Chicos, que desastre lo de Japón, ¿verdad? Llevo una semana sin poder dormir, de hecho tan pronto como me enteré fui volando (literalmente, que para algo me sirven las alas) para ver si podía ayudar.

Por suerte, Japón va sobrado de amigos con ganas de ayudar. Mientras intentaba ayudar al rescate de supervivientes en las ruinas que ha dejado la ola gigante, se unieron dos voluntarios de excepción: Godzilla y Gamera.

Yo ya los conocía desde hacía tiempo, podemos decir siempre han sido mi comité de bienvenida al país del sol naciente. Aunque hubiera preferido reencontrarlos en mejores circunstancias, la verdad es que me hacía ilusión comprobar que están bien.

Por desgracia, hemos tenido poco tiempo para charlar. Tan sólo un poco en la pausa para comer, que obviamente procuramos hacer lo más corta posible, siempre puede haber alguien a que le vaya la vida en esos pocos minutos.

En una de estas pausas Gamera me estuvo contando algo muy interesante. Me comentó que antes del terrible terremoto se encontraba ayudando a despertarse algunos de sus congéneres más pequeños, que con la proximidad de la primavera ven la oportunidad de salir de la hibernación. En particular, me introgó el caso de una pequeña tortuguita que tuvo la mala fortuna de despertarse antes de lo previsto.

Se ve que el animalito pensó que ya había pasado el duro invierno, e intentó salir de su refugio subterráneo. Como era de esperar, el pobre reptil acabó pillando una pulmonía y volviéndose a enterrar con el rabo dentro del del caparazón. Según le explico a Gamera, pensaba que había terminado la estación invernal ya que, enterrada a dos metros bajo tierra (sí, se ha esmerado mucho este año en ocultarse) la temperatura no cambia a penas a lo largo de todo el año.

Gamera se rió al recordarlo: pues claro que la temperatura no varía demasiado bajo tierra, si no fuera por eso no nos enterraríamos para refugiarnos de los rigores del invierno. La verdad que un instante de distensión rodeados de las consecuencias de un maremoto nos subieron los ánimos a todos. Cuando termine todo esto, la tortuga gigante tiene intención de ponerse a estudiar termodinámica, y la ecuación de difusión del calor, para poderse explicar a su resfriada amiga los razonamientos Físicos que hay tras este fenómeno.

[La esfinge]

Re: [Desafío 2.13] Temperatura engañosa

La respuesta mejor valorada ha sido la de Carmelo, quien con su 8,05 se reencuentra con la victoria 9 desafíos después. Ha superado por tan solo 5 centésimas al segundo clasificado, Stormkalt; lo suficiente para arrebatarle la segunda posición en la clasificación general.


Criterios de valoración propuestos para este desafío

Bajo tierra, el intercambio de calor con el ambiente sólo se puede producir por conducción (convección y radiación no son posibles). Debido a que el coeficiente de conducción no es muy elevado, la capa de tierra actúa como aislante térmico, retrasando la salida del calor durante el invierno.

Por lo tanto, una respuesta completa debería basarse en la ecuación de conducción del calor. Una forma de resolverla (propuesta por dj_jara):

La temperatura se puede deducir usando ley de Fourier, la temperatura oscila armónicamente (dependiendo del periodo que se quiera estudiar, para el problema nos interesan variaciones T = 1 año), consideramos que la conductividad es constante y en el infinito nos podemos olvidar de las oscilaciones.

$T = \bar T + A_0 e^{-\epsilon z} \cos (\omega( t - \frac{\epsilon z}{\omega}))$

donde $\epsilon =\sqrt{ \frac{\omega}{2D}}$

Esta solución es de un tal Marshall && Holmes de 1988.

1. ¿Como se ajusta este modelo a los experimentos?

- Extremadamente bien. El pequeño ruido de fondo (pequeñas variaciones respecto del modelo) disminuye con la profundidad.

2. ¿Temperatura de la atmosfera = temperatura del suelo?

No, si alguien considera la temperatura del aire esta subestimando la temperatura. En algún experimento realizado en algún lugar de china, la diferencia es de unos 2ºC. Sí alguien toma datos de algún centro meteorológico tipo aemet,.... para poner algún caso concreto esta cometiendo un error (los termómetros meteorológicos siempre se ponen sobre 1m o 1.5m del suelo, los datos concretos estará en algún sitio, pero esta muy fijado hasta el tipo de hierba que puede haber debajo y miden temperatura del aire).

3. Efecto de la humedad.

Del grado de humedad depende la capacidad calorífica de la tierra y su conductividad térmica, con el aumento de humedad aumentan ambas, con lo que el coeficiente de difusión térmica depende con la humedad, pero no existe una tendencia univoca y depende del tipo de suelo, para suelos minerales aumenta para baja humedad y luego decrece.

4. Efecto del manto terrestre.

La temperatura a nivel de la corteza terrestre sube como mucho unos 30ºC por km debido al manto terrestre. En 2m estaríamos hablando de como mucho 0.06ºC lo cuál es de unos 3 ordenes de magnitud menor que la variación entre temperatura de superficie y a 2m. (Aparte que seguramente el gradiente geotermico no este pensado para capas tan superficiales de la corteza terrestre).

Para puntuar yo consideraría:

1. Dicen que es debido a la tierra, conductividad térmica, hasta 7 puntos.
2. Ponen la formula, hasta 10 puntos.


Penalizaciones:

- Confundir temperatura del suelo y temperatura del aire. -2 puntos.
- Atribuirlo al manto terrestre. -2 puntos.

Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[Blasco]

Temperatura engañosa

Si bien es cierto que a esa profundidad, la temperatura es bastante constante a lo largo del año, esta puede verse afectada por algunos factores.

Antes de un movimiento sismico, generalmente se produce un incremento de temperatura debido al calor desprendido por el rozamiento interno al deslizarse las capas tectónicas rozando unas contra otras.

Este calor se emite en forma fundamentalmente de infrarrojos y produce incrementos en la temperatura.

De hecho el incremento de la temperatura está considerado como un predictor de los seismos.

Es posible que fuese este hecho el que originó el calentamineto del terreno y engañase a la tortuga para terminar su hibernación.

Saludos.

[arreldepi]

Respuesta al Desafío 2.13

Al igual que el Sol, como todo cuerpo con una determinada temperatura, la Tierra también emite. La radiación terrestre es de longitud de onda larga (Tef = 15ºC), de esta manera, las capas interiores a la Tierra también se ven afectadas por dicha radiación (a la cual hay que sumarle la solar). Si en la superficie terrestre no hubiese variaciones de presión y, por tanto, no hubiese viento y además la radiación incidiese de forma más o menos uniforme, la temperatura en la superficie sería parecida a la que encontraríamos bajo tierra (a pocos metros). No obstante, esto no es así y, además de recibir la radiación de forma no uniforme, los fenómenos atmosféricos (que se acentúan con la altura) contribuyen a crear flujos de calor haciendo que la superficie se enfríe: es decir, en la superficie la convección es muy importante como fenómeno de transporte de calor. No obstante, a dos metros bajo tierra esto no sucede, la única forma de lograr que haya transporte de calor es mediante conducción y radiación. Ambos procesos son muy lentos. Si a todo ello le sumamos que la capacidad calorífica es MUY elevada, tenemos que hacer variar la tempratura a dos metros bajo tierra, es una tarea prácticamente imposible.

[Stormkalt]

Temperatura engañosa

Hola estimada Esfinge

Intentaré arrojar un poco de luz sobre el asunto.

Todos los materiales (ya sean formados por sustancias simples o compuestas) se comportan de diferente manera ante la transferencia de calor. Dicha transferencia se puede dar básicamente de tres maneras diferentes:
Conducción, convección o radiación.
La tierra es una mezcla de gran cantidad de sustancias, pero por ella el calor sólo se puede transmitir por conducción (ya que la convección implica movimiento de masas y la radiación sustancias transparentes o translúcidas). ENtonces, la única forma de transmitir calor a través de la tierra es por conducción.
El frío desde el punto de vista termodinámico no existe. Lo que ocurre es un flujo neto de calor de un sistema a otro. Todos los cuerpos emiten radiación en forma de calor, pero los que están a mayor temperatura emiten más que los que están a menor temperatura, con el resultado de un flujo neto de calor del cuerpo más "caliente" al más "frío". Entiéndase que coloquialmente decimos que un cuerpo que está a mayor temperatura que el otro está más caliente y el otro más frío.
Consideremos una porción delgada de tierra de espesor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y área [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en su sección transversal. La temperatura es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en una cara (supongamos la superficie) y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en la otra (supongamos a 2 metros de profundidad).
La razón del flujo calorífico a través de la porción de tierra es directamente proporcional al área y al gradiente térmico e inversamente proporcional a la profundidad. Ahora bien, si consideramos que la tierra está rodeada de tierra será equivalente considerar áreas pequeñas que grandes. Y el flujo calórico dependerá en gran medida de la profundidad.
Matemáticamente podemos expresar esto como:

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Siendo la constante k propia de cada material y denominada conductividad térmica y H la razón de transferencia de calor. Si un material tiene un valor alto de k, será un buen conductor del calor (como el caso de los metales) y con una k pequeña, un buen aislante del calor (como el aire).
Se puede considerar asimismo la resistencia térmica de un material, dada por

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
De modo tal que cuando más baja sea la conductividad térmica, más alto será el valor de R. La conductividad térmica de la tierra húmeda es de 0,8 W/m.Ky de la tierra seca, la cual contiene gran porcentaje de aire, de 0,08.

Si consideramos tierra seca, con un área de 1 metro cuadrado y una profundidad de 2 metros, y si consideramos además un gradiente térmico de 50 ºC (lo que equivaldría en verano a 40ºC y en invierno a -10ºC) la razón de transferencia de calor (que se mide en unidades de potencia) será de 2W. Es decir, una pérdida de calor ínfima. Y dicho valor decrece constantemente al comenzar a acercarse las temperaturas. Pero sin pérdida de objetividad, tomaremos dicho valor por exceso y con él trabajaremos; para evitarnos cálculos de integración.

Bueno, consideremos ahora que tenemos tierra a 15ºC (donde se encuentra invernando la tortuga, a 2 metros de profundidad) y en el exterior -15ºC. La capacidad calorífica específica de la tierra es de 1840 J/kg.K. Y si consideramos una densidad relativa aproximada de la tierra de 5, tendríamos que hacer descender la temperatura de 10000 kg de tierra de 15ºC a -15ºC, con lo cual el flujo de calor sería de:

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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y como vimos que el máximo valor para la potencia emisora sería de 2W (de ahí, como se dijo, descendería a medida que las temperaturas se acercan mutuamente), el tiempo requerido para "enfriar" esa porción de tierra será de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .O sea de 8,8 años. Un tiempo muy superior a los 3 meses que dura la estación fría.
Es decir, en esos tres meses de invierno la temperatura de la tierra en la que se halla enterrada la tortuga desciende en no más de 5ºC. Con lo que concluimos que la tierra seca es un muy buen aislante de la temperatura.

¡Salute!

[carmelo]

Respuesta "Temperatura engañosa"

Hola.

Tengamos presente la siguiente figura.

Para responder la pregunta que propone el enunciado del desafio, debemos estudiar como se realiza la transferencia de calor desde el subsuelo a la superficie en función del tiempo.

Consideraremos que la transferencia de calor se da de modo unidimensional entre una capa y la adyacente, por lo que sólo consideraremos como variable la profundidad $x$.
Supondremos que la temperatura del subsuelo en el instante inicial es independiente de la profundidad e igual a $T_i$.
Asumiremos que la temperatura en la superficie se mantiene en un valor constante $T_\circ$.

Con estas consideraciones la ecuación de difusión del calor a resolver es:

$$\dst\frac{\partial^2 T(x,t)}{ \partial x^2}=\dst\frac1\alpha\dst\frac{\partial T(x,t)}{\partial t}$$

donde $\alpha$ es la difusividad térmica.
Con las siguientes condiciones de frontera:

$$\begin{matrix}T(x,0)=T_i&T(0,t)=T_\circ\end{matrix}$$

Consideremos el siguiente cambio de variable:

$$\Theta(x,t)=\dst\frac{T(x,t)-T_\circ}{T_i-T_\circ}$$

que no modifica la forma de la ecuación diferencial y nos lleva a las siguientes condiciones de frontera.

$$\begin{matrix}\Theta(x,0)=1&\Theta(0,t)=0\end{matrix}$$

Ahora definamos la función $f(\eta)=\Theta(x,t)$ donde asumiremos que $\eta$ es de la forma $\eta=\dst\frac{ax}{t^{1/2}}$, donde $a$ es una constante a definir a nuestra conveniencia.
Efectuemos las derivadas:

$$\begin{matrix}\dst\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial t}=\dst\frac{\dd f}{\dd \eta}\dst\frac{\partial \eta}{\partial t} =-\dst\frac{ax}{2t^{3/2}}\dst\frac{\dd f}{\dd \eta}\\ \dst\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}=\dst\frac{\dd f}{\dd \eta}\dst\frac{\partial \eta}{\partial x}=\dst\frac{a}{t^{1/2}}\dst\frac{\partial f}{\partial \eta}\\ \dst\frac{\partial^2\Theta(x,t)}{\partial x^2}=\dst\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\dd f}{\dd \eta}\dst\frac{a}{t^{1/2}}\right)=\dst\frac {a^2} t\dst\frac{\dd^2 f}{\dd \eta^2}\end{matrix}$$

Ahora sustituyamos en (1) y obtendremos:

$$\dst\frac {a^2} t\dst\frac{\dd^2 f}{\dd \eta^2}+\dst\frac{ax}{2\alpha t^{3/2}}\dst\frac{\dd f}{\dd \eta}=0$$

operando,

$$\begin{matrix} \dst\frac{\dd^2 f}{\dd \eta^2}+\dst\frac{x}{2\alpha a t^{1/2}}\dst\frac{\dd f}{\dd \eta}=0&t>0\end{matrix}$$

Ahora llegó el momento de escoger $a$ de acuerdo a nuestra conveniencia. Impongamos la condición de que, $2a=\dst\frac{1}{2\alpha a}$, con lo que $a=\dst\frac{1}{2\alpha^{1/2}}$ y $\eta=\dst\frac x {2\sqrt{\alpha t}}$

Donde vemos que llegamos a una ecuación dada por:

$$\dst\frac{\dd^2 f}{\dd \eta^2}+2\eta\dst\frac{\dd f}{\dd \eta}=0$$

donde podemos resolver esta ecuación mediante un nuevo cambio de variable, $\xi=\dst\frac{\dd f}{\dd \eta }$ y la ecuación que obtenemos es como sigue:

$$\dst\frac{\dd \xi}{\dd \eta}+2\eta\xi=0$$

que es de variables separables. Resolviendo:

$$\dst\frac{\dd \xi}{\xi}=-2\eta\dd \eta\Rightarrow \xi=Ae^{-\eta^2}$$

Integrando para obtener la función $f(\eta)$ se llega a:

$$f(\eta)=A\dst\int_{\eta_\circ}^{\eta}e^{-s^2}\dd s$$

Ahora nos queda deshacer el cambio de variable y evaluar las constantes $A$ y $\eta_\circ$
Deshaciendo el cambio de variable:

$$\Theta(x,t)=A\dst\int_{\eta_\circ}^{\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}}e^{-s^2}\dd s$$

Considerando
$\Theta(0,t)=A\dst\int_{\eta_\circ}^0e^{-s^2}\dd s=0$ donde el integrando no se anula en ningún caso, por lo tanto necesariamente $\eta_\circ=0$.
Ahora consideremos:
$\Theta(x,0)=\dst\lim_{t\to0}\Theta(x,t)=A\dst\int_0^\infty e^{-s^2}\dd s=1$ de donde vemos que $A=\dst\frac{2}{\sqrt{\pi}}$. Tenga en cuenta que se ha utilizado el resultado conocido de $\dst\int_0^\infty e^{-s^2}\dd s=\dst\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Con lo que finalmente la solución sería:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] siendo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la función error, la cual se la puede encontrar en tablas y programas de uso matemático.

Ahora consideremos un ejemplo cuantitativo de como sería la variación de la temperatura en función del tiempo a una profundidad dada [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en este caso. Consideraremos un valor de difusividad térmica para el suelo de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Tomaremos como la temperatura del exterior [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y la del subsuelo inicialmente como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Se adjunta figura con los cálculos realizados.

Fig 2.

Vemos que la temperatura en un punto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] debajo de la superficie, su temperatura a pasado de ser $15^\circ C$ a $8.6^\circ C$ luego de 120 días (4 meses), y el el primer mes se puede decir que la temperatura casi no ha variado. Como era de suponer si observamos el segundo gráfico, vemos que a mayor profundidad, debe de pasar un tiempo mayor para tener una variación de temperatura significativa. Esto se debe a la baja difusividad térmica del suelo, que realmente actúa como un excelente aislante térmico. En virtud de la escala de tiempos manejada, la costumbre de estos animalitos a ivernar en cavernas bajo la superficie está mas que justificada. Como se dice normalmente "La naturaleza es sabia".

Saludos