Cerrado [Desafío 1.03] En lo más hondo

[La esfinge]

¡Hola a todos!

Acabado enero me encuentro de nuevo en la necesidad de proporcionaros un nuevo desafío para alimentar vuestras neuronas. Como viene siendo habitual, me basaré en una conversación que tuve con uno de mis muchos amigos. En esta ocasión, me remontaré al pasado verano cuando tuve a bien visitar a mi amiga Nessie, en el corazón de Escocia.

Estábamos en el castillo Urquhart, a orillas del lago. El mal llamado monstruo me estaba contando una jocosa historia acerca de como le encanta escibar a los miles de curiosos y turistas que se se adentran en las aguas en barca para verla. Al parecer, se aprovecha de la gran profundidad del lago para evitar cualquier avistamiento definitivo. "Dicen que tiene 230m en el punto más profundo", me estaba explicando cuando su cara cambió de repente, para adoptar una pose inquisitiva: "Esfinge, tú que sabes tanto de Física, ¿cómo podemos comprobar si el dato de la profundidad es correcto? Cuento tan sólo con esta cinta métrica de dos metros". No pude más que responderle "¡De muchas formas diferentes! El único límite es la imaginación".

Como seguramente estáis adivinando, el desafío de esta quincena trata precisamente de dar ideas a la pobre Nessie sobre como se puede medir la profundidad de un lago. Supondremos que el único instrumento de medición de longitudes ya calibrado que tenemos es la cinta métrica de dos metros. En caso necesario, podemos disponer de cualquier material, aparato o instrumento que sea de uso cotidiano en cualquier casa, o en cualquier barca utilizada para navegar en el lago. Por ejemplo, un reloj, una cuerda o una balanza serán aceptables; pero un palo de 230m metros no. Supondremos también que el agua del lago está completamente quieta en todo su volumen, y que es perfectamente cristalina.

En esta desafío no hay una única respuesta correcta, cualquier procedimiento que permita obtener el resultado correcto con una precisión razonable. Ganará la persona que proporcione la mejor idea, la más imaginativa y eficaz.

[La esfinge]

Re: [Desafío 1.3] En lo más hondo

Pos	Nombre	Puntos	Reputación
1	N30F3B0	8	40
1	Dj_jara	8	40
3	Quasarilla	4	20
3	alefriz	4	20

Puedes consultar las normas del desafío aquí.

[Dj_jara]

Respuesta : [Desafío 1.3] En lo más hondo

Supondremos que el único instrumento de medición de longitudes ya calibrado que tenemos es la cinta métrica de dos metros. En caso necesario, podemos disponer de cualquier material, aparato o instrumento que sea de uso cotidiano en cualquier casa, o en cualquier barca utilizada para navegar en el lago.

Yo solo voy a usar un equipo de buceo o la ayuda de nessie , dos termómetros (uno de ello de inmersión completa), papel, regla, un cilindro con embolo y aire.

Mi idea es bastante sencilla, cogemos el cilindro y recubrimos las paredes papel. una vez hecho le ponemos la "tapa" (el embolo). En este instante tenemos aire a temperatura ambiente, presión ambiente y un volumen $V=\pi R^2 h$(R es el radio del cilindro y h la altura), la temperatura del ambiente la podemos medir con un termómetro y la presión no hay demasiado problema en suponer que es una atmósfera (o usar un barometro para una medida más precisa, pero entonces se empieza a usar demasiado instrumentación técnica ya).

En este momento nos ponemos el traje de buceo, el cilindro y el termómetro de inmersion completa y nos vamos a bucear al fondo, una vez en el fondo colocamos el cilindro hacia abajo (debido a que la presión en el fondo es mayor que en la superficie el embolo deberá moverse hasta que se igualen las presiones (la distancia que se mueve se quedara marcada en el papel ya que se mojara), ahora calculamos la temperatura en el fondo y volvemos a la barca y medimos la longitud de papel que se ha mojado.

Vamos a hacer cálculos, la ley de los gases ideales nos dice que $PV=nRT$ en este caso el aire esta encerrado en un cilindro con embolo móvil por tanto$\frac{PV}{T} =nR = cte$
La temperatura del ambiente y la del fondo la tenemos, y la presión del ambiente también, el volumen del ambiente $V_a = \pi R^2 h$ y el del fondo $V_f = \pi R^2 (h-x)$ donde x es el tramo de papel que se ha mojado (y por tanto donde no había aire).

$\frac{P_aVa}{T_a}=\frac{P_fV_f}{T_f}$ el subindice a indica ambiente y el f fondo.

$P_f=\frac{P_aT_a}{T_f} \frac{h}{h-x}$
Si tenemos en cuenta la presión hidrostatica

$\int_{P_a}^PdP=-\int_{0}^H\rho g dz$ suponiendo que el agua es incompresible
$P = P_a-\rho g H$
Poniendo en P la presión que hemos calculado en el fondo, la altura que le corresponde es:
$H=\frac{P-P_a}{\rho g}=P_a\left(\frac{T_ah}{\rho g T_f (h-x)} -\frac{1}{\rho g}\right)$

[alefriz]

en lo más hondo

Buenas,

Pues a mí así de primeras y algo sencillo se me ocurre lo siguiente:

Supongamos que tenemos un cubo (de plástico duro por ejemplo) para achicar el agua cuando entra un poco en la barca y que lo consideraremos indeformable y de diámetro $D$. Sujetamos la cinta métrica (supongo que es flexible) por el interior del cubo dado la vuelta, con pegamento o con alguna chincheta (sin perforar el cubo), de forma que no se mueva. Impregnamos la cinta con aceite por ejemplo o simplemente humedecida y a continuación le echamos sal, azucar, harina o algo similar de manera que quede pegada a la cinta (suponiendo que esto sea algo que pueda llevar en el bote).

Ahora, le decimos a nuestra monstrua que baje el cubo, dado la vuelta, hasta el fondo del lago de manera lenta (para considerar un proceso isotermo). Cuando el cubo esté situado en el fondo, el agua subirá por el interior de cubo, llevándose el azucar/sal/harina en cuestión hasta una altura $z$, menor que la altura del cubo $L$.

Después de estar un rato el cubo abajo (una vez se alcance el equilibrio térmico), Nessie tendrá que ir dejar subir el cubo en esa posición hasta la superficie, y una vez lo tengamos en nuestras manos, ver cuál es la longitud de cinta métrica que no tiene impregnada azucar/sal/harina, así ya tenemos el valor de $z$.

Ahora solo hace falta un poco de Termodinámica.

La temperatura la supondremos 15ºC y que no variará significativamente con la profundidad del lago (al menos la variación en la temperatura del agua no supondrá ninguna variación importante en la algura del líquido dentro del cubo cuando esté en el fondo).

Cubo dado la vuelta y estando en la superficie:
Masa aire atrapada: $m_o = \frac{p_o V_o}{R T}= \frac{p_o \pi D^2 L}{4 R T}$

Cubo dado la vuelta y estando en el fondo:
Masa aire atrapada: $m_1 = m_o$
Volumen aire: $V_1 = \frac{\pi}{4}D^2 (L-z)$

Como supusimos antes que es un proceso isotermo: $p_1 V_1 = p_o V_o$

$p_1 = \frac{p_o V_o}{V_1} = p_0 \frac{L}{L-z}$

Esta es la presión de la masa de aire encerrada en el cubo, que es la que ejerce el agua debido a la presión del agua encima, es decir:

$p_1 = p_o + \rho g (H-z)$

Sólo basta igualar ambas expresiones y despejar la profundidad del lago $H$:

$p_0 \frac{L}{L-z}=p_o + \rho g (H-z) \rightarrow H = \frac{p_o}{\rho g}(\frac{L}{L-z}-1) + z$

Si como decía Nessie, la profundidad es aproximadamente 230 m, la altura $z$ que subiría el agua en el cubo cuando está en el fondo sería (hay que tomar el raiz negativa de la ecuación de 2º grado):

$z^2 - z(H+L+\frac{p_o}{\rho g})+ H L = 0$

Saludos

[quasarilla]

El lago

Hola,

Mi solución seria utilizar una caña deportiva con un carrete de 300 metros con un peso para que llegará al fondo sin ningún problema, haria una marca y recogeria el hilo para poderlo medir.

Un saludo;

Quasarilla

[[Beto]]

Respuesta a desafío [1.3]

[FONT=Comic Sans MS]Para poder resolver este problema haré uso de los siguientes materiales que supongo encontraré en la embarcación:

[/FONT]

• [FONT=Comic Sans MS]Cinta métrica de dos metros.
  [/FONT]
• [FONT=Comic Sans MS]Un tubo transparente de preferencia, que en el caso de no ser transparente simplemente se corta uno de sus lados y se le pega una cinta transparente (seguramente se podrá conseguir un tubo en la embarcación).
  [/FONT]
• [FONT=Comic Sans MS]Agua del lago.
  [/FONT]
• [FONT=Comic Sans MS]Un cronómetro.[/FONT]
• [FONT=Comic Sans MS]Una balanza.[/FONT]
• [FONT=Comic Sans MS]Una esferita metálica (la cual si se debe de encontrar pues normalmente todos los vehículos tienen en alguna parte).[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]La solución que planteo es bastante simple y consiste en soltar la esferita en la superficie del lago y tomar el tiempo que demora en tocar el fondo haciendo uso del cronómetro (ya que esto si se puede hacer debido a que el lago es transparente por condición del problema).

Para ello primero hay que plantear la ecuación de movimiento de la esferita, sobre la cual actúan las siguientes fuerzas (ver figura 1): el empuje que ejerce el agua ([/FONT]$E$[FONT=Comic Sans MS]), la fuerza de rozamiento con el agua ([/FONT]$F_r$[FONT=Comic Sans MS]) y además el peso de la esferita ([/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [FONT=Comic Sans MS]); entonces tomando todas estas consideraciones y empleando la segunda ley de Newton se llega a la siguiente ecuación:[/FONT]

$$m_{\mbox{esfera}}a=w_{\mbox{esfera}}+E+F_r$$

[FONT=Comic Sans MS] Donde:[/FONT]

$w_{\mbox{esfera}}=\rho_{\mbox{esfera}}\dfrac{4}{3}\pi r^3g$

$E=-\rho_{\mbox{agua}}\dfrac{4}{3}\pi r^3g$

$F_r=-6\pi r\eta v$
----------------------------------------------------------

[FONT=Comic Sans MS]Antes de continuar calcularé los términos o constantes que aparecen en el problema es decir las densidades ([/FONT]$\rho_{\mbox {esfera}}$[FONT=Comic Sans MS] y [/FONT]$\rho_{\mbox {agua}}$[FONT=Comic Sans MS]) y el coeficiente de viscosidad del agua [/FONT]($\eta$).
[FONT=Comic Sans MS]
Primeramente se mide el radio del tubo transparente y se le pega la cinta métrica a su costado.[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]Procedimiento para calcular las densidades:

De la esfera: Se obtiene su masa haciendo uso de la balanza, y el volumen se obtiene viendo que cantidad de agua desplaza al sumergirla en el tubo el cual previamente debe de estar relleno de agua.

Del agua: Medimos una cierta cantidad de volumen en tubo y luego lo pesamos haciendo uso de la balanza.

Procedimiento para el cálculo de la viscosidad:

Para ello haré uso del tubo con la cinta métrica y la esfera teniendo en cuanta que luego de recorrer cierta longitud alcanza su velocidad límite [/FONT]$v_l$ (velocidad constante pues luego de determinado tiempo la resultante de las fuerzas verticales es cero)[FONT=Comic Sans MS] y esta será igual a:

[/FONT]

$$v_l=\frac{y}{t}=\frac{2g(\rho_{\mbox{esfera}}- \rho_{\mbox{fluido}})}{9\eta}$$

[FONT=Comic Sans MS] Donde $y$ es la distancia entre dos marcas ubicadas en un tramo del tubo y $t$ es el tiempo que demora en atravesar estas dos marcas el cual se obtiene con el cronómetro (ver figura 2). Por tanto el coeficiente de viscosidad del agua será igual a:

$$\eta=\frac{2g(\rho_{\mbox{esfera}}- \rho_{\mbox{fluido}})t}{9y}$$

[/FONT]

----------------------------------------------------------

[FONT=Comic Sans MS]Siguiendo con el problema, la ecuación (1) quedaría más o menos así:[/FONT]

$$m_{\mbox{esfera}}\frac{dv}{dt}=\rho_{\mbox{esfera}} \dfrac{4}{3}\pi r^3g-\rho_{\mbox{agua}}\dfrac{4}{3}\pi r^3g-6\pi r\eta v$$

[FONT=Comic Sans MS] Luego de resolver esta ecuación diferencial considerando que $v_0=0$ y $h_0=0$ se obtiene para la velocidad que:[/FONT]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[FONT=Comic Sans MS] Y para la profundidad:

Para abreviar consideramos que:[/FONT]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$B=\left({\dfrac{9 \eta}{2r^2\rho_{\mbox{esfera}}}}\right)$$

[FONT=Comic Sans MS]Entonces:[/FONT]

$$\boxed{h=\frac{A}{B^2} \left(1+\frac{Bv_0}{A}\right)(1-e^{-Bt})-\frac{A}{B}t}$$

[FONT=Comic Sans MS]
Con esto concluye la solución que propongo para calcular la profundidad del lago Nessie pues conocidas las constantes necesarias y la ecuación del movimiento de la esferita solo bastará ubicarse sobre la zona más profunda del lago (que es la que piden calcular) y soltar la esferita en su superficie para luego tomar el tiempo en el que alcanza el fondo.[/FONT]