Cerrado [Desafío 1.06] Talla de la Tierra

[La esfinge]

Hola, amigos. En esta ocasión, me voy a remitir a mi más tierna infancia. Cuando no era más que un cachorro de esfinge, solía pasar las tardes estudiando en la biblioteca de Alejandría. Como podéis suponer, el objetivo de mi estudio no era otro que inspirarme para proponer nuevos enigmas a aquellos ávidos de escucharlos.

Cierto día, no sabía muy bien que libro consultar, por lo que decidí consultar al bibliotecario: Eratóstenes. "¿Que te gustaría aprender, amiga mía?", me preguntó. Por aquél entonces, no había muchos libros de Física, y ya me había engullido todos los tratados de astronomía. Pensé que estaría bien bajar de los cielos un rato, y le pedí a Eratóstenes un libro donde pudiera aprender geografía. "Te interesa el mundo, ¿verdad?", comenzó a decir, "Cuando seas mayor, estoy seguro que viajarás mucho y podrás conocerlo. Hay mucho mundo."

Al pronunciar estas palabras, vi como cambiaba su expresión. Ponía la típica cara de quien acaba de encontrar una pregunta que no sabe como responder, y está dispuesto a darlo todo para dar una respuesta. Soy adicta a esa cara; supongo que por eso me dedico a esto. Las palabras que pronunció a continuación marcaron su vida e hicieron que sea aún hoy reconocido: "Me pregunto exactamente cuánto mundo hay... ¿Habrá alguna forma de medir la tierra?".

Y, como podéis imaginar, esta es la pregunta de éste nuevo desafío. ¿Cómo se puede medir el tamaño de la tierra, con material razonablemente asequible? Eratóstoenes dedicó sus mejores años, y halló su respuesta. ¿Seréis vosotros capaces de encontrar la vuestra, diferente de la suya?

[La esfinge]

Re: [Desafío 1.6] Talla de la Tierra

Esta es la clasificación de este desafío:

	Nombre	Puntos	Reputación
1	Faraday	10	50
2	N30F3B0	6	30

Puedes consultar las normas del desafío aquí.

[Faraday]

[Desafío 1.6] Talla de la Tierra

Mi método se basa en algo tan simple como la diferencia en la intensidad del campo gravitatorio a diferentes alturas.
Sabiendo que el valor estándar de la gravedad a nivel terrestre es de 9,81m/s·s, podemos establecer una comparacion con el valor que obtenemos en una altura
diferente y así, usando las leyes de Gravitación, obtener el radio de la Tierra.


La curva de disminucion de la gravedad dependiendo de la altura sigue este modelo.


Primero, cojemos un objeto cualquiera (una caja por ejemplo), y la pesamos a h=0m. Sabiendo la masa y el peso, comprobamos que el valor de la gravedad es de

9,81m/s·s. Ahora, cojemos esa misma caja y subimos a una cierta altura, pongamos 500metros. Ahora, volvemos a pesar la caja y utilizando la masa, veremos el

que el valor de la gravedad es ahora < 9,81.

Tenemos:
gravedad inicial: 9,81m/s·s
gravedad 500metros: < 9,81 m/s·s

Ahora, utilizaremos la ley de Gravitación que dice que el radio de un planeta puede hallarse a partir del campo gravitatorio que genera y de la Constante de

Gravitacion Universal (G) de la siguiente forma:

Intensidad de
campo gravitatorio = (G x Masa del planeta) / (radio del planeta+h)^2, donde el valor de G es de 6,67x10^-11.
(gravedad)

Ahora, solo nos falta dividir las dos expresiones de la formula anterior aplicada a cada valor obtenido de la gravedad, resultando:

gravedad a 500m / gravedad inicial = (Rtierra / Rtierra+ h)^2, donde h es la altura utilizada (500m).

Sustituimos los datos y obtenemos una ecuacion de segundo grado con el Radio de la Tierra como incógnita. Resolvemos y obtenemos que el valor del radio de la

Tierra es de 6371km.

[[Beto]]

Respuesta [Desafío 1.6]

Las palabras que pronunció a continuación marcaron su vida e hicieron que sea aún hoy reconocido: "Me pregunto exactamente cuánto mundo hay... ¿Habrá alguna forma de medir la tierra?".

Al leer "¿Cuánto mundo hay?", se me ocurrió que hay "bastante mundo" pero para responder esa pregunta no basta con eso si no que tengo que calcular algunas cantidades que podamos medir como por ejemplo:

• El radio terrestre "$R_T$".
• La masa de la tierra "$M_T$".

Veamos entonces:

Cálculo del radio terrestre:

Para ello aré uso de la figura 1, y asumiendo que la tierra tiene forma esférica, el procedimiento para calcular el radio terrestre cosiste en lo siguiente:

Se tiene una determinada persona de una altura "$h$" la cual observa el horizonte, por tanto el triángulo $OBC$ es rectángulo (recto en $B$) y se tiene que:

$$\cos\theta=\frac{R_T}{R_T+h}$$

Luego como suponemos una tierra esférica, y su consideramos que la longitud de la curva desde el punto $A$ hasta el punto $B$ es $\ell$, tendríamos que $\dst\theta=\frac{\ell}{R_T}$, luego la (1) quedaría más o menos así:

$$\cos\left(\frac{\ell}{R_T}\right)=\frac{R_T}{R_T+h}$$

De esta última ecuación lo que necesitamos es despejar $R_T$, para ello consideraremos que el ángulo $\theta$ es pequeño, esto debido a que la altura de una persona que mira el horizonte no es considerable (recordemos que al estar más alto el horizonte estará más lejos), entonces se puede aproximar la expresión para el coseno de la siguiente forma:

$$\cos\theta\approx 1-\frac{\theta^2}{2!}$$

Finalmente reemplazando (3) en (2), y operando se llega a que:

$$2hR_T^2-\ell^2R_T-\ell^2L=0$$

La cual es una ecuación de segundo orden y tiene dos soluciones pero como es evidente se tiene que tomar la solución positiva es decir:

$$\boxed{R_T=\frac{\ell^2}{4h}[1+\sqrt{1+8(h/\ell)^2}]}$$

Cálculo de la masa de la tierra:

Para esta parte haré uso de algo muy conocido por todos "la luna", considerando que esta tiene una masa $m_L$ y gira en torno a la tierra en una órbirta circular ubicada a una distancia $d$ con respecto al centro de la tierra, con un periodo de rotación es $T$ (el cual como conocemos es aproximadamente 28 días).

Entonces teniendo en cuenta que la fuerza de que le ejerce la tierra a la luna viene a ser la fuerza centrípeda involucrada en su rotación:

$$F_g=F_{\mbox{cp}} \Longrightarrow \frac{Gm_LM_T}{d^2} =m_L\frac{v^2}{d}\Longrightarrow M_T=\frac{v^2 d}{G}$$

Donde $G$ es la constante de gravitación universal, y además la velocidad de rotación de la luna $v$ es:

$$v=\frac{2\pi d}{T}$$

Lo único que nos faltaría determinar es la distancia $d$ a la que se encuentra la luna y para ello haré uso de la figura 2, donde el punto $A$ representa el lugar desde donde se observa a la luna saliendo por el horizonte y el punto $B$ el lugar donde la luna está justo sobre de nosotros, por tanto el triángulo $OAC$ es rectángulo, recto en $A$ (pues desde allí se observa a la luna en el horizonte); entonces de la figura:

$$\cos\alpha=\frac{R_T}{d}$$

Similarmente a cuando calculamos el radio de la tierra podemos obtener que el valor de $\dst\alpha=\frac{s}{R_T}$, luego:

$$d=\frac{R_T}{\cos(s/R_T)}$$

Por tanto reemplazando (9) y (7) en (6):

$$\boxed{M_T=\frac{4\pi^2R_T^3}{GT^2\cos^3(s/R_T)}}$$

Con lo cual se termina la solución del problema pues todos los datos involucrados en las fórmulas (5) y (10) pueden ser medidos.