Cerrado [Desafío 1.09] ¿Todo es relativo?

[La esfinge]

¡Hola amigos de La web de Física! Esta ha sido una semana muy movida, aquí en el foro. Ha habido muchos hilos nuevos interesantes. En particular, a mi me ha gustado mucho uno que iba acerca de cómo se observa un movimiento des de dos sistemas de referencia diferentes. Me ha llamado la atención por que me ha recordado una conversación que tuve hace mucho tiempo con Galileo Galilei.

Una adorable noche italiana del siglo XVII, el gran genio y yo disfrutábamos de una hermosa velada en la ya inclinada torre de Pisa. Cuando las campanas dejaron escuchar sus palabras, empezó a contarme su última teoría: la relatividad de Galileo.

"Las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores, independientemente de su posición o estado de movimiento", empezó. "Por ejemplo, imagínate un gran velero que se mueve a gran velocidad, de forma paralela a la costa. En la cima del palo mayor, un intrépido grumete deja caer una bala de cañón. Según las observaciones del grumete, y de cualquier persona que esté en el barco, la velocidad horizontal de la bala de cañón es nula. Por la ley de la inercia, ya que no hay ninguna fuerza paralela al suelo, la dicha velocidad será siempre nula; tan sólo actúa la vertical gravedad. Por lo tanto, para los viajeros del barco, la bala de cañón caerá verticalmente hasta la base del palo".

"Pero la ley de la inercia también debe ser válida para un observador que esté en la costa, quieto", continuó. "En ese sistema, la bala de cañón si tiene velocidad horizontal, y por inercia, dicha velocidad no variará. Por lo tanto la trayectoria será una sección de parábola".

Tras concluir su explicación, me miró satisfecho esbozando una sonrisa tras su frondosa barba. Mi respuesta, no obstante, le dejó sin respuesta: "Si las leyes de la física han de ser las mismas para cada observador, ¿cómo es que los observadores del barco ven que la bala de cañón cae en linea recta; y los de la costa ven una trayectoria parabólica? Si es la misma ley, ¿cómo es la trayectoria depende del sistema de referencia?".

Y, como podéis imaginar, esa es la pregunta que debéis responder para este desafío. Galileo, al final, fue capaz de esbozar una respuesta. Para vosotros, que ya conocéis las matemáticas de las ecuaciones diferenciales, debería ser aún más fácil. ¡Buena suerte!

[La esfinge]

Re: [Desafío 1.9] ¿Todo es relativo?

La clasificación final de este desafío es:

Pos	Nombre	Puntos	Reputación
1	chdward	8	40
1	entro	8	40
3	adosgel	4	20
3	n30f3bo	4	20

La respuesta correcta al desafío es que para determinar la trayectoria de un móvil, además de una ley física (que es la misma en todos los sistemas de referencia), hay que tener en cuenta las condiciones iniciales (que sí pueden cambiar entre sistemas de referencia).

[chdward]

Re: desafío

En efecto, la ley que gobierna el movimiento es la misma (la gravitación), lo que cambia son las condiciones iniciales del sistema; para el observador del barco el cuerpo parte del reposo y para el observador de la costa el cuerpo tendrá una velocidad inicial igual a la velocidad con la que se traslada el barco.

[Adosgel]

¿todo es relativo?

Como la respuesta es facil para quien conozca suficientemente la teoría de la Relatividad, yo te voy ha dar una que posiblemente no te esperes, y que provablemente consideres erronea.

La trayectoria de la bala de cañón no es según el sistema de referencia; sino que se obserba según el sistema de referencia.
La trayectoria de la bala no existe para la bala que es la que en realidad cuenta como suceso ¿no?. En realidad la bala no se desplaza de sí misma en absoluto, es la percepción de su entorno lo que cambia según su obserbación y desde sí misma como centro de su sistema referencial.

Saludos.

[Entro]

estoooo...

misma ley (ecuación) distintas condiciones iniciales (posición y velocidad inicial para cada observador inercial) = distinta trayectoria.

[[Beto]]

Respuesta [Desafío 1.9]

Hola, para contestar a la pregunta planteada por la Esfinge, primero hay que responder algunas cuestiones previas:

¿Qué son observadores inerciales y que se cumple en sus sistemas de referencia?

1. Los observadores inerciales son aquellos que se mueven con velocidad constante o no tienen velocidad.
2. Cualquiera de esos observadores, al apreciar un movimiento en un primer instante percibirá una velocidad respecto de su sistema de referencia (velocidad inicial), la cual es diferente para cada uno.
3. La aceleración medida en cualquiera de esos sistemas de referencia inercial es la misma para todos ellos.

¿Cómo se calcula la ecuación de la trayectoria de la partícula en estudio?

Partiendo de este último punto (c) se tendrá una ecuación más o menos así:

$$F=m\frac{\dd^2 r}{\dd t^2}$$

Donde $F$, es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula a la cual se va a estudiar su movimiento.

Hay que notar que la ecuación (1) es la misma para todos los observadores inerciales. Integrando esa ecuación se obtiene otra que debe de tener más o menos la siguiente forma:

$$\frac{\dd r}{\dd t}=v_{(t)}+v_0$$

Luego si se integra (2), se obtendrá una ecuación paramétrica:

$$x=x_{(t)}+v_0t+r_0$$

que representará a la curva que aprecia cada observador.

¿Por qué no es la misma curva para todos los observadores inerciales?

Esto es justamente porque todos ellos observan diferentes condiciones iniciales en el movimiento.

¿Entonces cuáles son esas condiciones iniciales?

Esas condiciones son dos la posición inicial $r_0$ y la velocidad inicial $v_0$.

¿Qué es lo que me determina la posición inicial en la gráfica?

Como se puede observar la posición inicial en la ecuación paramétrica de la curva es una constante que se suma al final, entonces dependiendo de que observador la posición inicial lo que hace es desplazar la curva, pero no determina su forma.

¿Qué es lo que determina la velocidad inicial?

Como se puede apreciar esta es una constante a la cual se le va a integrar para obtener la curva que describa el movimiento, entonces esta es la que determina la forma de la gráfica, de modo sencillo se puede decir que lo que hace es contraer o extender a la curva.

¿Y ahora como aplico todo esto a lo planteado por la Esfinge?

Bueno la cosa ya está sencilla, primero hay que notar que:

$$F_g=m(0,g)=m\frac{\dd^2 r}{\dd t^2}$$

Supongamos las siguientes condiciones iniciales:

Posición inicial:$r_0=(x_0,y_0)$

Velocidad inicial: $v_0=(v_{x0},v_{y0})$

Entonces:

$$r=(v_x,gt+v_{y0})$$

Con lo que se obtiene que:

$$r=(v_{x0}t+x_0,\frac{1}{2}gt^2+v_{y0}t+y_0)$$

Esta última vendría a ser la ecuación paramétrica de la trayectoria, en dos dimensiones para una partícula afectada por la acción de la gravedad en cercanías de la superficie terrestre, que claramente depende de las condiciones iniciales que mida cada observador.

¿Y los dibujitos?

Esta bien haré algunos dibujitos para los que aun no están convencidos, pero para ello también consideraré un observador más, que aprecie el movimiento con determinadas condiciones iniciales, según la tabla: ( Ojo que los daros los colocaré para poder graficar.)

Observador	Posición inicial	Velocidad inicial	Aceleración	Ecuación de la curva
(1) Bote	(0,5)	(0,0)	(0,-10)	$r=(0,-5t^2)$
(2) Playa	(4,5)	(6,0)	(0,-10)	$r=(6t+4,-5t^2+5)$
(3) Otro	(3,50)	(3,4)	(0,-10)	$r=(-5t^2+4t+5)$

Por tanto las gráficas son:

Observador 1	Observador 2	Observador 3

Conclusión:

Como ya mencioné anteriormente las diferentes trayectorias observadas por cada uno de los observadores se deben a que las condiciones iniciales en sus respectivos sistemas de referencia no son las mismas.

Espero que la explicación que se me ocurrió quedara clara