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Autovectores, autovalores y operadores para el espín

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  • Secundaria Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Buenos días, estaba leyendo un libro de Mecánica Cuántica y me he encontrado con un ejercicio que sinceramente no soy capaz de resolver.

    Calcule los eigenvectores y eigenvalores de siendo =


    Asuma que |> = ) en forma de vector columna al ser un ket, donde alpha es un parámetro desconocido.

    Debo señalar que en el libro no enseñan diagonalización, o sea que supongo que habrá otra forma de hacerlo pero yo me he quedado atascado en todas. Resumiendo intenté hallar los autovalores y los autovectores a partir de la ec. |> = |> pero me quedé atascado.Muchas gracias!!

  • #2
    Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Escrito por Alofre Ver mensaje
    Debo señalar que en el libro no enseñan diagonalización, o sea que supongo que habrá otra forma de hacerlo pero yo me he quedado atascado en todas.
    Si es un libro de cuántica no tiene porque tener algo básico de matemáticas, si no sería imposible escribir un texto de cualquier cosa avanzada.

    ?Has obtenido los autovalores? Para los autovectores necesitaras alguna propiedad trigonométrica que se suelen olvidar, tipo ángulo doble, ángulo mitad,... Pero obtener los 2 autovalores debería ser fácil si tienes en cuenta que
    Última edición por Dj_jara; 25/06/2018, 11:51:46.
    "No one expects to learn swimming without getting wet"

    \displaystyle E_o \leq \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}

    Comentario


    • #3
      Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

      ¡Hola!

      Como dice Dj_jara, en los libros de mecánica cuántica no suele explicarse nada de álgebra lineal, cálculo o ecuaciones diferenciales porque son cosas que se dan por sabidas. Si quieres puedes mirarte la diagonalización en este documento. Es bastante aplicado, ni siquiera habla de espacios vectoriales, pero tiene ejemplos resueltos y te servirá para poder avanzar un poco más en el libro que estás siguiendo.
      Última edición por Weip; 25/06/2018, 12:51:09.
      \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

      Comentario


      • #4
        Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

        Disculpas porno explicarme bien, con un libro de Mecánica Cuántica me refería a un libro más o menos divulgativo, que por ejemplo, explica cosas bastante elementales como el producto escalar.
        En primer lugar muchas gracias por el documento, me lo leeré (o al menos lo intentaré :-))
        En segundo lugar yo llegué al siguiente sistema:
        cos(-)=*cos()
        sin(-)=*sin()

        Alguien podría darme una idea de como continuar? Muchas gracias!!

        Comentario


        • #5
          Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

          Escrito por Alofre Ver mensaje
          Disculpas porno explicarme bien, con un libro de Mecánica Cuántica me refería a un libro más o menos divulgativo, que por ejemplo, explica cosas bastante elementales como el producto escalar.
          En primer lugar muchas gracias por el documento, me lo leeré (o al menos lo intentaré :-))
          En segundo lugar yo llegué al siguiente sistema:
          cos(-)=*cos()
          sin(-)=*sin()

          Alguien podría darme una idea de como continuar? Muchas gracias!!
          Si divides la primera ecuación con la segunda tendrás algo que sólo depende de alfa y theta, si elevas las dos ecuaciones al cuadrado y las sumas tendrás algo que sólo depende the lambda.
          "No one expects to learn swimming without getting wet"

          \displaystyle E_o \leq \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}

          Comentario


          • #6
            Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

            Ya veo, muchas gracias!!

            Comentario


            • #7
              Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

              Escrito por Alofre Ver mensaje
              Calcule los eigenvectores y eigenvalores de siendo

              Uso "x" en vez de "" para no escribir tanto LateX. Si la matriz es



              El polinomio característico queda:









              Por lo tanto los valores propios (eingenvalues) son





              La matriz diagonalizada está formada por los valores propios en la diagonal, por lo tanto será:



              Cada vector propio (eingenvector) asociado al valor propio se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo

              Para k=-1 planteando el sistema y resolviéndolo, obtengo como vector propio.



              Y para k=1 obtengo como vector propio:



              NOTA: lo he comprobado y todo es correcto.

              Sobre este tema puede interesarte el hilo Operador asociado a determinados valores y vectores propios

              Saludos.
              Última edición por Alriga; 27/06/2018, 09:05:05. Motivo: Añadir cálculo de los vectores propios
              "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

              Comentario


              • #8
                Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

                Esto ... tres cosas
                - "A" en tu ejemplo que es?
                - D se tendría que diagonalizar así o también podría ser:

                - En el libro el resultado es

                Autovector 1 = (cos x/2, sin(x/2))
                Autovector 2 = (-sin(x/2), cos(x/2))

                Muchas gracias y disculpad tantas preguntas

                Comentario


                • #9
                  Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

                  Buenas

                  -A es la matriz que quieres diagonalizar

                  - Se podría diagonalizar perfectamente de ese modo, a cada autovalor hay un autovector asociado y el orden que les pongas sólo te cambiará el orden de la base de autovectores que estés usando.

                  - Si te das cuenta, multiplicando por coseno en uno y multiplicando por seno en el otro te quedan los mismos resultados. Hay infinitos autovectores pero se escoge una base de ellos, de modo que tanto los que puso Alriga como los que ponen en el libro son equivalentes.
                  Última edición por Lorentz; 27/06/2018, 12:51:20.
                  [FONT=times new roman]"An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."
                  [/FONT]

                  [FONT=times new roman]"When one teaches, two learn."[/FONT]

                  \dst\mathcal{L}_{\text{QED}}=\bar{\Psi}\left(i\gamma_{\mu}D^{\mu}-m\right)\Psi

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

                    Escrito por Alofre Ver mensaje
                    ... - "A" en tu ejemplo que es? ...
                    En la expresión en nuestro caso particular la matriz A es la matriz que aquí hemos llamado y que queremos diagonalizar. La solución que he obtenido en #7 es:

                    1)





                    Como correctamente te explica Lorentz, si intercambias los autovalores, hay que intercambiar los autovectores, por ello es igual de correcto:

                    2)





                    Como te explica Lorentz, cada vector propio lo puedes multiplicar por una constante y seguirá siendo un vector propio:

                    Escrito por Lorentz Ver mensaje
                    ... Si te das cuenta, multiplicando por coseno en uno y multiplicando por seno en el otro te quedan los mismos resultados. Hay infinitos autovectores pero se escoge una base de ellos, de modo que tanto los que puso Alriga como los que ponen en el libro son equivalentes ...
                    Por lo tanto la opción (2) es equivalente a





                    Ahora si te apetece, como ejercicio para practicar, calcula la matriz inversa de P, (en este caso es muy fácil porque la matriz es 2x2 y el determinante es 1)



                    Con la matriz inversa que obtengas, haz los productos . Si no yerras en los cálculos, deberás obtener como resultado de esos productos la matriz original

                    Saludos.
                    Última edición por Alriga; 28/06/2018, 15:13:05. Motivo: LaTeX
                    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

                      En efecto, lo que te ha escrito Alriga es a lo que me refería (pero de una forma mucho más clarificadora que la mía )

                      Si tienes alguna duda más no dudes en preguntar
                      [FONT=times new roman]"An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."
                      [/FONT]

                      [FONT=times new roman]"When one teaches, two learn."[/FONT]

                      \dst\mathcal{L}_{\text{QED}}=\bar{\Psi}\left(i\gamma_{\mu}D^{\mu}-m\right)\Psi

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

                        Vale, muchas gracias por todo, creo que lo he entendido

                        Comentario

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